歡迎來到選擇權的世界！

哈囉！如果你曾經覺得 CFA Level I 考試中的衍生性金融商品（Derivatives）章節像是外語一樣難懂，別擔心——你並不孤單。在本章中，我們將要徹底掌握選擇權的定價與評價（Pricing and Valuation of Options）。

你可以把選擇權想像成一張小型的保險單，或是餐廳的「訂位」。它賦予你在未來做某件事的權利，但沒有義務。今天，我們要學會如何計算這個權利值多少錢，以及這些價值會如何隨時間變動。讓我們開始吧！

1. 基本區別：價值 vs. 價格

在看公式之前，我們必須區分兩個常被搞混的術語：

  • 選擇權價格（權利金，Premium）：這是你為了買入選擇權而預先支付的金額。把它想像成「門票費用」。
  • 選擇權價值（Option Value）：這是選擇權在其存續期間內任何特定時刻的價值。在剛開始時，價值等於價格；在到期日，價值就僅僅是它的獲利金額（Payoff）。

內含價值 vs. 時間價值

選擇權的價值由兩部分組成：價值 = 內含價值 + 時間價值。

內含價值（Intrinsic Value）：這是「履約價值」。也就是說，如果你現在立刻執行該選擇權，你能賺多少錢。它永遠不會小於零。

  • 對於買權（Call Option）：\( \text{Intrinsic Value} = \max(0, S - X) \)
  • 對於賣權（Put Option）：\( \text{Intrinsic Value} = \max(0, X - S) \)

（其中 \(S\) 是當前股票價格，\(X\) 是履約價格/執行價格。）

時間價值（Time Value）：這是「投機」的部分。這是買方願意多付出的金額，因為股價還有時間往對他們有利的方向變動。隨著到期日越近，這個時間價值會「衰減」或消失。這就是所謂的時間衰減（Time Decay）。

快速複習：具有內含價值的選擇權稱為「價內」（In-the-Money, ITM）。\(S = X\) 的選擇權稱為「價平」（At-the-Money, ATM）。沒有內含價值（只有時間價值）的選擇權稱為「價外」（Out-of-the-Money, OTM）。

重點提示：在到期時，選擇權的時間價值為零。其總價值僅為其內含價值。

2. 什麼因素影響選擇權價格？

有幾個因素像是「無形之手」，推動著選擇權價格上漲或下跌。理解這些因素對考試至關重要。

對於買權（Call Options）：
  • 股價 (\(S\)) \(\uparrow\)：買權價值 \(\uparrow\)（對你有利！）
  • 履約價格 (\(X\)) \(\uparrow\)：買權價值 \(\downarrow\)（更難達到獲利區間）
  • 到期時間 (\(T\)) \(\uparrow\)：買權價值 \(\uparrow\)（有更多時間等待大幅波動）
  • 波動率 (\(\sigma\)) \(\uparrow\)：買權價值 \(\uparrow\)（波動越大，變成價內的機會越高）
  • 無風險利率 (\(r\)) \(\uparrow\)：買權價值 \(\uparrow\)（因為你未來必須支付的履約價格之現值下降了）
  • 股利/利益 \(\uparrow\)：買權價值 \(\downarrow\)（當股票發放股利時，股價會下跌，這對買權持有人不利）
對於賣權（Put Options）：
  • 股價 (\(S\)) \(\uparrow\)：賣權價值 \(\downarrow\)
  • 履約價格 (\(X\)) \(\uparrow\)：賣權價值 \(\uparrow\)
  • 到期時間 (\(T\)) \(\uparrow\)：賣權價值 \(\uparrow\)（通常情況下）
  • 波動率 (\(\sigma\)) \(\uparrow\)：賣權價值 \(\uparrow\)
  • 無風險利率 (\(r\)) \(\uparrow\)：賣權價值 \(\downarrow\)
  • 股利/利益 \(\uparrow\)：賣權價值 \(\uparrow\)

記憶小撇步：波動率是唯一讓買權和賣權都變得更貴的因素。當你是選擇權持有者時，大家都愛波動！

3. 二項式模型（Binomial Model）：兩步舞曲

CFA 教材使用二項式模型來為選擇權定價。別被名字嚇到了——「二項（Bi-nomial）」意思就是假設股價只會往兩個方向移動：上漲或下跌。

運作步驟：

1. 計算獲利（Payoffs）：找出期末在「上漲」與「下跌」情境下，選擇權的價值。

2. 風險中立機率（Risk-Neutral Probabilities）：計算股價上漲或下跌的理論機率。注意：這不是「現實世界」的機率，而是用來確保市場不存在套利機會的數學工具。

3. 折現：將預期的未來價值（根據上述機率計算得出）使用無風險利率折現回今日。

你知道嗎？此模型基於無套利原則（No-Arbitrage Principle）。它假設你可以建立一個由股票和選擇權組成的「避險」投資組合，該組合是完全無風險的，因此應該獲得無風險利率。

重點提示：二項式模型的優點在於它可以用於美式選擇權（American options）（可以提前履約），這與其他一些複雜模型不同。

4. 買賣權平價關係（Put-Call Parity，最重要的公式！）

這是考官最愛的主題。買賣權平價關係揭示了歐式買權、歐式賣權、股票以及無風險債券價格之間的關係。

公式為：\( c + \frac{X}{(1+r)^T} = S + p \)

要記住這一點，請想像兩個完全相同的投資組合：

  1. 受託買權（Fiduciary Call）：一個買權（\(c\)）加上一個支付履約價格的零息債券（\(\frac{X}{(1+r)^T}\)）。
  2. 保護性賣權（Protective Put）：標的股票（\(S\)）加上一個賣權（\(p\)）。

為什麼這很重要？因為如果你知道其中三個價格，就可以算出第四個。例如，如果你需要計算賣權的價值，只需重新排列代數即可：\( p = c + \frac{X}{(1+r)^T} - S \)。

常見錯誤：學生經常忘記將履約價格（\(X\)）折現。記住，我們是在比較今天的價值，所以未來的現金支出（\(X\)）必須折現回現值！

5. 買賣權與遠期契約平價關係（Put-Call-Forward Parity）

如果我們使用遠期契約（Forward Contracts）而不是標的股票，公式會稍微調整。由於遠期契約在今日的價值為零（忽略逐日結算），該關係變為：

\( \frac{c - p}{(1+r)^T} = \frac{F_0(T) - X}{(1+r)^T} \)

簡單來說：買權減去賣權等於遠期價格與履約價格之差的現值。

重點提示：買賣權平價關係僅適用於歐式選擇權。美式選擇權因為可以提前履約，有不同的規則。

6. 美式與歐式選擇權：提前履約規則

歐式選擇權：只能在最後（到期日）履約。

美式選擇權：可在到期前的任何時間履約。

何時應該提前履約？
  • 買權：對於不發放股利的股票，你永遠不應該提前執行美式買權。選擇權「活著」（因為有時間價值）比「死亡」（已履約）更有價值。然而，如果有高額股利，在除權息日前提前履約可能是合理的。
  • 賣權：如果公司瀕臨破產且股價極低，提前執行美式賣權是合理的。現在拿到現金比等待更好。

快速複習：因為美式選擇權給你更多的彈性，它們的價值永遠大於或等於相同的歐式選擇權。

成功總結檢核表

在結束本章之前，請確保你能：

  • 定義內含價值與時間價值。
  • 識別哪些因素（波動率、\(r\)、\(S\) 等）會使買權和賣權價格上漲或下跌。
  • 背誦買賣權平價關係公式：\( c + X/(1+r)^T = S + p \)。
  • 解釋為什麼非股利股票的美式買權通常不會提前履約。
  • 了解二項式模型使用風險中立定價來防止套利。

如果剛開始覺得很難，別擔心！衍生性金融商品的精髓在於不同資產之間的關聯性。持續練習買賣權平價關係的代數推導，其餘的部分就會迎刃而解。你一定做得到的！