歡迎來到「久期」（Duration）的世界！

歡迎各位未來的特許金融分析師（Charterholders）！如果你曾經好奇債券價格在利率變動時會如何波動，那麼你來對地方了。在本章中，我們將探討基於殖利率的久期（Yield-Based Duration）。別再只把久期看作單純的「時間」，請把它想像成一種敏感度（sensitivity）的衡量指標。它能告訴我們債券價格對其「到期殖利率」（YTM）的變化有多「敏感」。理解這一點至關重要，因為在固定收益的世界裡，當利率變動時，債券價格會往反方向移動，而久期正是告訴我們價格變動幅度的關鍵。

1. 麥考利久期（Macaulay Duration）：你的「等待時間」

久期的概念始於 Frederick Macaulay。他當時想知道投資者為了收回債券的所有現金流，平均需要等待的加權平均時間。

什麼是麥考利久期：

想像一架翹翹板。一端是收取各期利息與本金的時間。麥考利久期（MacDur）就是這些現金流的「平衡點」。如果你能較早收回大部分資金（例如高票息債券），平衡點會向今天靠近；如果你必須等到最後一刻才收到錢（例如零息債券），平衡點就會遠在天邊。

數學公式（別慌！）：

\( \text{MacDur} = \frac{\sum_{t=1}^{n} \frac{t \times CF_t}{(1+r)^t}}{PV} \)

簡單來說：我們將每一筆現金流折現，乘以它發生的時間，將總和加起來，再除以債券目前的價格。

必須記住的核心法則：

對於零息債券（Zero-Coupon Bond）而言，其麥考利久期精確等於其到期期限（time to maturity）。為什麼呢？因為債券只有在最後一刻才有一筆現金流，所以「平均等待時間」自然就是到期日囉！

快速複習：麥考利久期的單位是年（years）。

2. 修正久期（Modified Duration）：價格的推手

如果說麥考利久期談的是時間，那麼修正久期（ModDur）談的就是金錢。具體來說，它衡量的是當殖利率變動 1% 時，債券價格的百分比變化。

公式：

\( \text{ModDur} = \frac{\text{MacDur}}{1 + r} \)

其中 \( r \) 為每一期的殖利率。注意：如果債券是半年付息一次，你必須先將年化 YTM 除以 2，再加上 1。

為什麼要用它？

我們用它來估計價格變動。兩者是反向關係（負相關），意思是當殖利率上升，價格就會下跌：
\( \% \Delta \text{Price} \approx -\text{ModDur} \times \Delta \text{Yield} \)

例子：如果一檔債券的修正久期為 5.0，而利率上升了 1%（100 個基點），債券價格大約會下跌 5%。

別擔心，如果一開始覺得很複雜：只需記住 ModDur 基本上就是 MacDur 的「縮放版本」，讓討論價格波動變得更直觀。

重點總結：修正久期為殖利率的微小變動提供了一個線性估計，讓你快速判斷價格會如何反應。

3. 久期的三大特性

債券的特徵如何影響久期？這可是考試的熱門考點！請把這三個因素當作影響久期的「槓桿」：

  • 到期期限（Time to Maturity）：通常情況下，期限越長，久期越長。長期債券風險較高，對利率變化更敏感，因為現金流發生在較遙遠的未來。
  • 票面利率（Coupon Rate）：票面利率越高，久期越短。為什麼？因為你會更快透過高額的利息收回資金，縮短了「平均等待時間」。
  • 到期殖利率（YTM）：YTM 越高，久期越短。較高的殖利率意味著未來的現金流折現值會被大幅削減，使得遙遠的支付在今天看來「價值變低」了。

記憶口訣：記住「M.C.Y.」（Maturity, Coupon, Yield）。
- Maturity（期限）與久期同步移動（正相關）。
- Coupon（票息）和 Yield（殖利率）與久期反向移動（負相關）。

4. 金錢久期（Money Duration）與 PVBP

有時投資者想知道的是債券價格的「實際美元變動」，而不僅僅是百分比。這就是金錢久期（Money Duration）和 PVBP 的用途。

金錢久期（MoneyDur）

這是殖利率變動一個單位時，價格的貨幣變動值。
\( \text{MoneyDur} = \text{ModDur} \times \text{Full Price} \)

基點價格值（PVBP）

這是業界非常通用的術語。它告訴你如果殖利率變動一個基點（0.01%），債券價格具體會變動多少美元。
\( \text{PVBP} = \frac{\Delta \text{PV}_{up} + \Delta \text{PV}_{down}}{2} \) （針對 1 個基點的變動）。

簡化理解： \( \text{PVBP} = \text{Money Duration} \times 0.0001 \)

你知道嗎？交易員使用 PVBP 來快速調整倉位規模。如果一位交易員知道他們的 PVBP 是 500 美元，當利率上升 10 個基點時，他們立刻就知道損失了 5,000 美元。

5. 侷限性：「直線」的問題

久期是一個強大的工具，但它並不完美。它假設債券價格與殖利率的關係是直線（Straight line）。但事實上，價格與殖利率的關係是彎曲的（Convex/凸性）。

常見錯誤：在利率發生大變動時使用久期。久期在 0.1% 的變動下非常準確，但在 2% 的變動下準確度會降低。這就是為什麼我們之後需要「凸性」（Convexity）來修正誤差，但目前，你只要記住久期是一個線性近似值即可。

6. 快速總結檢核

在繼續往下讀之前，請確保你能回答以下問題：

  • 什麼是 MacDur？收回現金流的加權平均時間。
  • 什麼是 ModDur？殖利率變動 1% 時的價格百分比變動。
  • 哪種債券的久期最高？長期、零息、低殖利率的債券。
  • 反向關係：利率「上升」，價格就「下跌」。久期告訴你下跌多少。

重點總結：基於殖利率的久期（麥考利與修正）都假設債券自身的 YTM 變動是導致價格變化的唯一因素。它們是固定收益風險管理的基石！