歡迎來到固定收益：含權債券的定價與分析

歡迎！如果你已經來到 Level II，你應該已經知道債券並不總是單純的「今天買入、收利息、到期拿回本金」。有時候，債券會附帶一些額外條款，這些條款稱為隱含期權（embedded options）。在本章中，我們將學習如何為這些期權定價，並理解它們如何改變債券的表現。如果一開始覺得數學部分很複雜，別擔心，我們會一步步拆解！

為什麼這很重要？ 在現實世界中，許多公司債和市政債都會允許發行人「贖回」（買回）債券，或允許投資人「賣回」（退還）債券。如果你不懂得如何評估這些條款的價值，你可能會買貴了，或者賣得太便宜！

1. 理解基礎：可贖回債券（Callable Bonds）與可賣回債券（Putable Bonds）

在進入數學計算前，我們先釐清這些期權是什麼。你可以把隱含期權想像成是一份與債券本身密不可分的「附帶合約」。

可贖回債券（發行人的好幫手）

可贖回債券（Callable bond）賦予發行人權利，以預定的價格（贖回價格，call price）提前償還債券。
比喻：想像你有一個房貸。如果利率下降，你可能會選擇轉按（refinance）以獲得更低的利率。這本質上就是「贖回」了你的舊貸款並開始一份新貸款。企業的做法也是如此！

關鍵公式： \( Value_{CallableBond} = Value_{StraightBond} - Value_{CallOption} \)

由於這項期權對發行人有利，因此與普通債券相比，投資人會要求更低的買入價格（或更高的收益率）。

可賣回債券（投資人的安全網）

可賣回債券（Putable bond）賦予投資人權利，以預定的價格（賣回價格，put price）將債券賣回給發行人。
比喻：這就像擁有「保證滿意」的退貨政策。如果利率上升導致你的債券價格下跌，你可以直接把它退還給公司並拿回現金。

關鍵公式： \( Value_{PutableBond} = Value_{StraightBond} + Value_{PutOption} \)

由於這項期權對投資人有利，因此你必須為這份「保險」支付更高的價格。

快速總結：
- 可贖回（Callable）： 發行人可以「贖回」債券。對發行人有利。債券價格較低。
- 可賣回（Putable）： 投資人可以「賣回」債券。對投資人有利。債券價格較高。

2. 二項式利率樹（Binomial Interest Rate Tree）

要為這些債券定價，我們不能只用一個折現率，因為利率會隨時間變動。我們使用二項式樹（Binomial Tree）——這是一張未來潛在利率的分布圖。

樹狀圖如何運作

1. 節點（Nodes）： 樹上的每一個點代表特定時間點的一個可能利率。
2. 波動率（Volatility）： 「上升」與「下降」利率之間的差距是由假設的波動率（\( \sigma \)）決定的。波動率越高，分支擴散得越寬。
3. 關係： 在標準模型中，任何節點上的高利率（\( i_H \)）與低利率（\( i_L \)）之間的關係為：
\( i_H = i_L \times e^{2\sigma} \)

定價過程（反向歸納法，Backward Induction）

這是最關鍵的視覺化步驟。要找到今天的價格，我們從最後（到期日）開始，一路回推到現在。這稱為反向歸納法。

逐步定價：
1. 從最後一年開始。債券價值等於本金 + 最後一期利息。
2. 向後退一步。計算每個節點的預期價值（Expected Value）：
\( Value = \frac{0.5 \times (BondValue_{Up} + Coupon) + 0.5 \times (BondValue_{Down} + Coupon)}{1 + r_{node}} \)
3. 「檢查」： 如果是可贖回債券，任何節點上的價值都不能超過贖回價格。如果你計算出的價值更高，則必須將其替換為贖回價格！
4. 重複此步驟直到回到節點 0（今天）。

你知道嗎？ 我們在每個節點使用一年期遠期利率（forward rate）來折現一年後的現金流。我們不使用即期利率（spot rate）！

3. 波動率與收益率曲線形狀的影響

學生常覺得這部分很棘手，但有一個簡單的記憶方式：

利率波動率

當波動率增加時，期權（無論是 Call 還是 Put）的價值都會變得更高。
- 對於可贖回債券：當波動率 \( \uparrow \)，贖回期權價值 \( \uparrow \)。因為你要扣除期權價值，所以可贖回債券價格 \( \downarrow \)。
- 對於可賣回債券：當波動率 \( \uparrow \)，賣回期權價值 \( \uparrow \)。因為你要加上期權價值，所以可賣回債券價格 \( \uparrow \)。

收益率曲線形狀

- 如果收益率曲線為向上傾斜（Upward Sloping），債券被贖回的機率較低（因為未來的遠期利率較高）。
- 如果收益率曲線為平坦或倒掛（Flat or Inverted），被贖回的機率會高得多。

記憶口訣： 「波動對期權是好事（Vol is Good for Options）」。如果你擁有期權（可賣回），你會喜歡波動率；如果你是發行人擁有期權（可贖回），你會討厭波動率，因為這增加了被贖回的風險。

4. 期權調整利差（Option-Adjusted Spread, OAS）

比較債券時，我們常看「利差」（相對於基準的額外收益率）。但對於含權債券，利差會被期權成本「污染」。我們需要將其「淨化」。這就是OAS的作用。

定義： OAS 是加在二項式樹中所有一年期遠期利率上的固定利差，使得計算出來的樹狀價值等於市場價格。

需記憶的關鍵關係：
1. 對於可贖回債券： \( OAS < Z-Spread \)。(Z-spread 包含了你給予發行人的期權「成本」；OAS 將其剔除)。
2. 對於可賣回債券： \( OAS > Z-Spread \)。(Z-spread 較低是因為你為賣回權付了錢；OAS 將該價值加回)。
3. 如果波動率增加：
- 對於可贖回債券：計算出的價格下跌 \( \rightarrow \) OAS 減少。
- 對於可賣回債券：計算出的價格上漲 \( \rightarrow \) OAS 減少。

快速複習： 如果你看到兩隻相似的債券，其中一隻 OAS 較高，它被視為低估（值得買入）。如果 OAS 較低，則是高估。

5. 有效存續期（Effective Duration）與有效凸性（Effective Convexity）

標準的「修正存續期（Modified Duration）」和「麥考利存續期（Macaulay Duration）」不能用於含權債券，因為它們假設現金流不會改變。但當債券被贖回時，現金流確實會改變！我們必須使用「有效」指標。

有效存續期

\( EffDur = \frac{V_- - V_+}{2 \times V_0 \times \Delta y} \)

- 可贖回債券： 當利率走低時，債券很可能被贖回。這產生了一個「價格上限」。因此，當利率低時，可贖回債券的有效存續期比普通債券更低。
- 可賣回債券： 當利率走高時，債券很可能被賣回。這產生了一個「價格下限」。因此，當利率高時，可賣回債券的有效存續期比普通債券更低。

有效凸性

這就是著名的圖表：
- 可贖回債券在利率低時呈現負凸性（Negative Convexity）。這意味著當利率下降時，價格不會如預期般漲得那麼多（因為觸碰了「上限」）。
- 可賣回債券呈現正凸性（Positive Convexity）。價格下限使得利率上升時，價格維持得比普通債券更高。

常見錯誤： 不要混淆修正存續期與有效存續期。如果題目提到含權債券，請務必尋找「有效存續期」。

6. 設有上限與下限的浮動利率票據（Capped and Floored FRNs）

有時，浮動利率票據（FRNs）會對利率的波動幅度設限。

1. 設有上限（Capped FRN）： 有一個最高利率（Cap）。
- 上限是發行人的期權。
- \( Value_{Capped FRN} = Value_{Straight FRN} - Value_{Cap} \)

2. 設有下限（Floored FRN）： 有一個最低利率（Floor）。
- 下限是投資人的期權。
- \( Value_{Floored FRN} = Value_{Straight FRN} + Value_{Floor} \)

關鍵總結： 就像可贖回/可賣回債券一樣，上限對投資人不利（價格較低），而下限對投資人有利（價格較高）。

最終總結清單

- [ ] 我知道可贖回債券 = 普通債券 - 贖回期權？
- [ ] 我知道可賣回債券 = 普通債券 + 賣回期權？
- [ ] 我能解釋為什麼用 OAS 來比較含權債券？
- [ ] 我記得更高的波動率會增加期權的價值，但不一定增加債券的價值嗎？
- [ ] 我是否熟悉有效存續期是此類債券唯一有效的存續期指標？

你做得到！固定收益 Level II 的核心在於理解「為什麼」背後的邏輯。持續練習那些二項式樹，這些邏輯很快就會變成你的直覺！