學習筆記：純數三 (Paper 3)
第 3.9 章：複數 (Complex Numbers)
歡迎來到複數的世界！本章將代數、幾何與三角學連結起來，提供了一個強大的數學工具，用以解決在實數系統中無法求解的方程式。
我們的旅程將從使複數成為可能的概念開始：虛數單位。
1. 基礎概念：引入 \(i\) 與笛卡兒形式 (Cartesian Form)
在引入複數之前，像 \(x^2 + 1 = 0\) 這樣的方程式在實數系統中是無解的。複數透過定義一個新單位解決了這個問題。
虛數單位 \(i\)
虛數單位，記作 \(i\)，其定義為：
\(i^2 = -1\)
\(i = \sqrt{-1}\)
由此定義，\(i\) 的整數冪次呈現四個一組的循環規律：
\(i^1 = i\)
\(i^2 = -1\)
\(i^3 = -i\)
\(i^4 = 1\)
定義與關鍵術語（笛卡兒形式）
一個複數通常記作 \(z\)，以笛卡兒形式寫為：
\(z = x + iy\)
其中 \(x\) 與 \(y\) 為實數。
• \(z\) 的實部 (Real Part) 為 \(x\)。（符號表示：\(\text{Re}\,z = x\)）
• \(z\) 的虛部 (Imaginary Part) 為 \(y\)。（符號表示：\(\text{Im}\,z = y\)。注意：虛部是實數 \(y\)，而不是 \(iy\)！）
• 兩個複數 \(z_1 = x_1 + iy_1\) 與 \(z_2 = x_2 + iy_2\) 相等 (\(z_1 = z_2\)) 的充要條件是，它們的實部相等且虛部相等：\(x_1 = x_2\) 且 \(y_1 = y_2\)。
1.1 笛卡兒形式的算術運算
對笛卡兒形式 (\(x + iy\)) 的複數進行運算，與標準代數運算類似，運用恆等式 \(i^2 = -1\)。
A. 加法與減法： 將實部與虛部分別相加或相減。
例子： 若 \(z_1 = 3 + 4i\) 且 \(z_2 = 1 - i\)：
\(z_1 + z_2 = (3 + 1) + (4 - 1)i = 4 + 3i\)
B. 乘法： 像展開二項式一樣相乘，並將 \(i^2\) 替換為 \(-1\)。
例子： 若 \(z_1 = 3 + 4i\) 且 \(z_2 = 1 - i\)：
\(z_1 z_2 = (3)(1) + (3)(-i) + (4i)(1) + (4i)(-i)\)
\(z_1 z_2 = 3 - 3i + 4i - 4i^2\)
\(z_1 z_2 = 3 + i - 4(-1) = 7 + i\)
C. 除法與共軛複數：
共軛複數 (\(z^*\))
\(z = x + iy\) 的共軛複數為 \(z^* = x - iy\)。你只需要改變虛部的符號即可。
• 當你將一個複數乘以它的共軛複數時，結果總是一個實數：
\(z z^* = (x + iy)(x - iy) = x^2 - i^2 y^2 = x^2 + y^2\)
除法步驟說明
要計算 \(z_1\) 除以 \(z_2\)，需將分子與分母同時乘以分母的共軛複數 \(z_2^*\)：
\(\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1 z_2^*}{z_2 z_2^*}\)
例子： 化簡 \(\frac{3 + 4i}{1 - i}\)：
\(\frac{3 + 4i}{1 - i} = \frac{(3 + 4i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{3 + 3i + 4i + 4i^2}{1^2 + 1^2} = \frac{-1 + 7i}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{7}{2}i\)
1.2 多項式方程式與共軛根
• 對於任何擁有實係數的多項式方程式，任何非實數根都必須成共軛對出現。
• 若 \(z = a + ib\)（其中 \(b \neq 0\)）是實係數方程式 \(P(z) = 0\) 的根，則 \(z^* = a - ib\) 也一定是其根。
• 例子： 若 \(z = 1 + 2i\) 是一個實係數三次方程式的根，則 \(z^* = 1 - 2i\) 也必定是其根，這意味著 \((z - (1 + 2i))(z - (1 - 2i)) = z^2 - 2z + 5\) 是該多項式的一個二次因子。
2. 幾何表示法：阿爾岡圖 (Argand Diagram)
複數可以在阿爾岡圖上進行幾何繪製：
• 水平軸是實軸 (Real Axis) (\(\text{Re}\))。
• 垂直軸是虛軸 (Imaginary Axis) (\(\text{Im}\))。
複數 \(z = x + iy\) 可以表示為點 \((x, y)\)，或表示為從原點指向 \((x, y)\) 的位置向量。
2.1 模 (Modulus) 與幅角 (Argument)
A. 模 (\(|z|\) 或 \(r\))：
模是指從原點到點 \(z\) 的距離：
\(|z| = r = \sqrt{x^2 + y^2}\)
B. 幅角 (\(\arg z\) 或 \(\theta\))：
幅角是指從正實軸到 \(z\) 的位置向量所夾的角（以弧度為單位）。
• 主幅角 (Principal argument) 取值範圍在 \(-\pi < \theta \le \pi\) 內。
• 要計算 \(\arg z\)，首先求出銳角參考角 \(\alpha = \arctan\left|\frac{y}{x}\right|\)，然後根據 \(x\) 與 \(y\) 的正負號判斷所在象限：
- 第一象限 (\(x > 0, y > 0\))：\(\theta = \alpha\)
- 第二象限 (\(x < 0, y > 0\))：\(\theta = \pi - \alpha\)
- 第三象限 (\(x < 0, y < 0\))：\(\theta = -(\pi - \alpha) = \alpha - \pi\)
- 第四象限 (\(x > 0, y < 0\))：\(\theta = -\alpha\)
3. 極形式與指數形式 (\(re^{i\theta}\))
利用模 \(r\) 與幅角 \(\theta\)，複數可以表示為：
• 極形式 (Polar Form)： \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\)
• 指數形式 (Exponential Form)： \(z = re^{i\theta}\)
3.1 極形式/指數形式下的乘法與除法
若 \(z_1 = r_1 e^{i\theta_1}\) 且 \(z_2 = r_2 e^{i\theta_2}\)：
A. 乘法： 模相乘，幅角相加。
\(z_1 z_2 = (r_1 r_2)e^{i(\theta_1 + \theta_2)}\)
• \(|z_1 z_2| = |z_1||z_2| = r_1 r_2\)
• \(\arg(z_1 z_2) = \arg z_1 + \arg z_2 = \theta_1 + \theta_2\)（如有需要，調整至 \(-\pi < \theta \le \pi\) 範圍內）
B. 除法： 模相除，幅角相減。
\(\frac{z_1}{z_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)e^{i(\theta_1 - \theta_2)}\)
• \(\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|} = \frac{r_1}{r_2}\)
• \(\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg z_1 - \arg z_2 = \theta_1 - \theta_2\)
4. 平方根、軌跡 (Loci) 與幾何效果
4.1 尋找複數的兩個平方根
求 \(\sqrt{a + ib}\)，設其平方根為 \(z = x + iy\)：
1. 建立方程式 \((x + iy)^2 = a + ib\)。
2. 展開：\(x^2 - y^2 + 2ixy = a + ib\)。
3. 比較實部與虛部：
\(x^2 - y^2 = a\)（實部）
\(2xy = b\)（虛部）
4. 將 \(y = \frac{b}{2x}\) 代入 \(x^2 - y^2 = a\)，得出關於 \(x^2\) 的二次方程式。
5. 解出 \(x\) 的實數值，並計算對應的 \(y\) 值。兩個平方根互為相反數：\(z = \pm(x_0 + iy_0)\)。
4.2 阿爾岡圖中的軌跡與不等式
令 \(z\) 代表動點，並令 \(a\) 與 \(b\) 為代表點 \(A\) 與 \(B\) 的固定複數。
1. 圓與圓形區域：
• \(|z - a| = k\) 代表以 \(a\) 為圓心、半徑為 \(k\) 的圓。
• \(|z - a| \le k\) 代表閉圓盤（邊界圓及其內部區域）。
• \(|z - a| < k\) 代表開內部區域（邊界圓以虛線繪製）。
2. 垂直平分線與半平面：
• \(|z - a| = |z - b|\) 代表連接 \(A\) 與 \(B\) 之線段的垂直平分線。
• \(|z - a| \le |z - b|\) 代表包含所有距離 \(A\) 小於或等於距離 \(B\) 的點的半平面。
3. 半直線（射線）與角區域：
• \(\arg(z - a) = \alpha\) 代表從 \(A\) 出發、與正實軸方向成 \(\alpha\) 角的半直線（射線）（點 \(A\) 本身不包含在內）。
• \(\alpha \le \arg(z - a) \le \beta\) 代表從 \(A\) 出發、夾在角度為 \(\alpha\) 與 \(\beta\) 的兩條射線之間的扇形區域。
4.3 運算的幾何效果
• 共軛 (\(z \to z^*\))： 關於實軸的反射。
• 加法/減法 (\(z_1 \pm z_2\))： 遵循平行四邊形法則的向量加法或減法。
• 乘以 \(re^{i\theta}\)： 以原點為中心，放大至 \(r\) 倍並逆時針旋轉角度 \(\theta\)。
• 除以 \(re^{i\theta}\)： 以原點為中心，縮放至 \(\frac{1}{r}\) 倍並順時針旋轉角度 \(\theta\)。