Trigonometry

AS & A Level Mathematics (9709) Pure Mathematics 1: 三角學

各位未來的數學家，大家好！歡迎來到奇妙的三角學世界。這一章將會在大家熟悉的 SOH CAH TOA 基礎上進一步延伸，讓你能夠處理任意大小的角、繪製三角函數圖象，並解出強大的循環方程。

三角學至關重要，因為它描述了所有呈循環規律的現象，例如波、聲音、光線和軌道。掌握這一部分不僅是 Paper 1 取得成功的關鍵，也為 Paper 2 和 Paper 3 中更深入的恆等式和微積分打下堅實基礎。讓我們開始吧！

1. 圓形度量：弧度制 (Circular Measure: The Radian System, 複習 1.4)

在進入高等三角學之前，我們必須確保你已經習慣使用弧度 (radians)，因為它們是微積分和高等數學運算中的標準單位。

什麼是弧度？

弧度是指圓心角，其對應的弧長等於半徑。
類比：想像一條長度剛好等於圓半徑的繩子。當你把這條繩子沿着圓周拉直所形成的圓心角，正好就是 1 弧度。

角度與弧度的轉換

你必須牢記的核心關係是：
\(180^\circ = \pi \text{ 弧度}\)

• 角度轉弧度：乘以 \(\frac{\pi}{180}\)。
• 弧度轉角度：乘以 \(\frac{180}{\pi}\)。

快速複習：常見的弧度對應值

• \(360^\circ = 2\pi\)
• \(90^\circ = \frac{\pi}{2}\)
• \(45^\circ = \frac{\pi}{4}\)
• \(30^\circ = \frac{\pi}{6}\)
• \(60^\circ = \frac{\pi}{3}\)

弧長與扇形面積公式

這些公式只有在角度 \(\theta\) 為弧度時才適用。記得時刻檢查你的單位！

1. 弧長 (\(s\))： 曲線的長度。
\(s = r\theta\)

2. 扇形面積 (\(A\))： 「披薩切片」的面積。
\(A = \frac{1}{2}r^2\theta\)

關鍵提示（圓形度量）： 當題目要求使用弧長或扇形面積公式，或者涉及微積分（微分/積分通常預設使用弧度）時，請務必將單位換算為弧度。

2. 核心三角函數圖象與變換

你需要能夠繪製並使用三個基本三角函數在任意角度下的圖象。了解它們的形狀、週期、值域 (range) 和振幅 (amplitude) 對於解方程至關重要。

正弦函數：\(y = \sin x\)

• 週期： \(360^\circ\) 或 \(2\pi\) 弧度。（每 \(360^\circ\) 重複一次）
• 值域： \(-1 \le y \le 1\)。
• 振幅： 1。
• 起點： 從 \((0, 0)\) 開始。（SINE 以 Zero 開始）

餘弦函數：\(y = \cos x\)

• 週期： \(360^\circ\) 或 \(2\pi\) 弧度。
• 值域： \(-1 \le y \le 1\)。
• 振幅： 1。
• 起點： 從 \((0, 1)\) 開始。（COSINE 以 One 開始）

正切函數：\(y = \tan x\)

• 週期： \(180^\circ\) 或 \(\pi\) 弧度。（重複得更快！）
• 值域： \(y \in \mathbb{R}\)（所有實數）。
• 漸近線 (Asymptotes)： 出現在 \(\cos x = 0\) 的地方，即 \(x = 90^\circ, 270^\circ\) 等。

圖象變換（教學大綱要求）

你必須能夠繪製出顯示變換效果的圖象。這些遵循與一般函數變換（1.2 節）相同的規則。

1. 垂直拉伸 / 振幅改變：\(y = a \sin x\)

圖象垂直拉伸了 \(a\) 倍。新的振幅是 \(|a|\)，值域變為 \(-|a| \le y \le |a|\)。
例子：對於 \(y = 3 \sin x\)，振幅是 3，值域是 \(-3 \le y \le 3\)。

2. 週期改變 / 水平拉伸：\(y = \sin (b x)\)

圖象在水平方向上被壓縮。週期變為 \(\frac{360^\circ}{b}\) 或 \(\frac{2\pi}{b}\)。\(b\) 代表在 \(360^\circ\) 內完成的週期數。
例子：對於 \(y = \cos (2x)\)，週期是 \(180^\circ\) (\(\frac{360^\circ}{2}\))。

3. 垂直平移 / 中線改變：\(y = \sin x + d\)

圖象向上平移 \(d\) 個單位。新的中線為 \(y=d\)。
例子：對於 \(y = 1 - \cos 2x\)，原本的餘弦波（通常在 -1 到 1 之間）被翻轉 (\(-\cos\)) 並向上平移了 1 個單位。現在的值域是 \(0 \le y \le 2\)。

4. 水平平移 / 相位改變：\(y = \sin (x - c)\)

圖象水平平移 \(c\) 個單位。（記住：\(-c\) 向右移，\(+c\) 向左移）。
例子：對於 \(y = \tan(x + \frac{1}{4}\pi)\)，正切圖象向左平移了 \(\frac{\pi}{4}\) 個單位。

關鍵提示（圖象）： 熟記正弦、餘弦和正切的基本值域和週期。變換會以可預測的方式影響這些屬性。務必密切注意題目所要求的範圍！

3. 基本恆等式與精確值

A. 精確值

你必須在不使用計算機的情況下，知道 \(30^\circ, 45^\circ, 60^\circ\)（以及它們對應的弧度值）的精確值。這些常在證明題或要求以根式形式作答的問題中考查。

精確值表

| 角度 \(\theta\) | \(30^\circ\) (\(\frac{\pi}{6}\)) | \(45^\circ\) (\(\frac{\pi}{4}\)) | \(60^\circ\) (\(\frac{\pi}{3}\)) |
|---|---|---|---|
| \(\sin \theta\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) 或 \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) |
| \(\cos \theta\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) 或 \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) |
| \(\tan \theta\) | \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) 或 \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) | \(1\) | \(\sqrt{3}\) |

你知道嗎？這些數值源自兩個三角形：一個對半切開的等邊三角形（用於 30° 和 60°）和一個對半切開的正方形（用於 45°）。

B. P1 三角恆等式

在 P1 中，你只需要掌握兩個核心恆等式。它們是你簡化表達式、證明恆等式以及將方程轉化為單一函數（通常是二次方程）的工具。

1. 商數恆等式

\(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)

2. 畢氏恆等式 (Pythagorean Identity)

這直接來自於單位圓內直角三角形的畢氏定理（其中斜邊為 1）。
\(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)

這個恆等式極具靈活性！你應該能夠熟練地將其變形為兩個重要形式：

• \(\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta\)
• \(\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta\)

C. 證明三角恆等式

劍橋 P1 經常考核恆等式證明。要證明一個恆等式成立：

1. 選擇較複雜的一邊（通常是左邊，LHS），並對其進行化簡運算，直到它等於另一邊（RHS）。切勿像解方程那樣跨越等號移項。
2. 在適當的時候將 \(\tan\theta\) 表示為 \(\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)。
3. 在合適的情況下將分數通分化為同分母，或進行因式分解。
4. 利用 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)（或其變形）消除混合的平方項。

關鍵提示（恆等式）： 如果你同時看到 \(\sin\) 和 \(\cos\)，或者出現平方項，請考慮使用 \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\) 來簡化，或者將表達式轉換為二次方程。

4. 解簡單三角方程

解三角方程意味着尋找滿足給定方程的角度，通常是在特定的範圍內（例如 \(0^\circ \le x \le 360^\circ\) 或 \(-\pi < x < \pi\)）。

CAST 圖或「All Students Take Calculus」記憶法

由於三角函數是週期的，在給定區間內通常有多於一個解。CAST 圖可以幫你在四個象限中找到具有相同基本比率的角度。

• A (All)： 所有比率 (\(\sin, \cos, \tan\)) 均為正值（第 1 象限：\(0^\circ \text{ 到 } 90^\circ\)）。
• S (Sine)： 只有 \(\sin\) 為正值（第 2 象限：\(90^\circ \text{ 到 } 180^\circ\)）。
• T (Tangent)： 只有 \(\tan\) 為正值（第 3 象限：\(180^\circ \text{ 到 } 270^\circ\)）。
• C (Cosine)： 只有 \(\cos\) 為正值（第 4 象限：\(270^\circ \text{ 到 } 360^\circ\)）。

如何找到第二個解：

• 若基本角為 \(\alpha\)：
• 第 1 象限：\(\alpha\)
• 第 2 象限：\(180^\circ - \alpha\) (或 \(\pi - \alpha\))
• 第 3 象限：\(180^\circ + \alpha\) (或 \(\pi + \alpha\))
• 第 4 象限：\(360^\circ - \alpha\) (或 \(2\pi - \alpha\))

如果起初覺得棘手，不用擔心！ 熟能生巧，請務必每次都按照以下結構化方法進行。

解 \(3 \cos x + 1 = 0\) (範圍 \(0^\circ \le x \le 360^\circ\)) 的步驟指南

第一步：分離三角比

我們需要獨立出 \(\cos x\)：
\(3 \cos x = -1\)
\(\cos x = -\frac{1}{3}\)

第二步：找出基本角 (\(\alpha\))

暫時忽略負號，使用 \(\cos^{-1}\) 找出銳角 \(\alpha\)：
\(\alpha = \cos^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) \approx 70.53^\circ\)

第三步：使用 CAST 圖或圖象確定象限

由於 \(\cos x\) 是負數，解必須位於 S (Sine) 和 T (Tangent) 象限（第 2 和第 3 象限）。

第四步：計算最終解

• 解 1 (第 2 象限)：\(x = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 70.53^\circ \approx 109.5^\circ\) (角度通常保留 1 位小數)。
• 解 2 (第 3 象限)：\(x = 180^\circ + \alpha = 180^\circ + 70.53^\circ \approx 250.5^\circ\) (1 位小數)。

\(109.5^\circ\) 和 \(250.5^\circ\) 都在 \(0^\circ \le x \le 360^\circ\) 的範圍內。

處理複雜的角度（例如 \(2x\) 或 \(x+30^\circ\)）

如果角度本身發生了變換（例如 \(3 \sin(2x) = 1\)），則必須先變換定義域 (domain)。

例子：在 \(0^\circ \le x \le 360^\circ\) 的範圍內解 \(\sin(2x) = 0.5\)。

第一步：變換定義域

如果 \(0^\circ \le x \le 360^\circ\)，那麼 \(2x\) 的新定義域是 \(0^\circ \le 2x \le 720^\circ\)。我們必須在兩次完整的圓周旋轉中找到所有解。

第二步：找出 \(2x\) 的基本角和解

基本角 \(\alpha = \sin^{-1}(0.5) = 30^\circ\)。因為 \(\sin\) 為正，我們使用第 1 和第 2 象限。
第一圈的解 (\(0^\circ \text{ 到 } 360^\circ\))：

• \(2x = 30^\circ\) (Q1)
• \(2x = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ\) (Q2)

第二圈的解 (\(360^\circ \text{ 到 } 720^\circ\))：

• \(2x = 30^\circ + 360^\circ = 390^\circ\)
• \(2x = 150^\circ + 360^\circ = 510^\circ\)

第三步：解出 \(x\)

將所有角度除以 2：
\(x = 15^\circ, 75^\circ, 195^\circ, 255^\circ\)

解三角二次方程

許多複雜的三角問題都需要利用恆等式將方程轉換為二次方程形式（以 \(\sin \theta\), \(\cos \theta\) 或 \(\tan \theta\) 表示）。

例子：解 \(3 \sin^2 \theta - 5 \cos \theta - 1 = 0\)。

第一步：轉換為單一三角函數

使用恆等式 \(\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta\)：
\(3(1 - \cos^2 \theta) - 5 \cos \theta - 1 = 0\)
\(3 - 3 \cos^2 \theta - 5 \cos \theta - 1 = 0\)
\(2 - 3 \cos^2 \theta - 5 \cos \theta = 0\)
乘以 -1 並整理：
\(3 \cos^2 \theta + 5 \cos \theta - 2 = 0\)

第二步：解二次方程

設 \(y = \cos \theta\)。方程變成 \(3y^2 + 5y - 2 = 0\)。
因式分解得到 \((3y - 1)(y + 2) = 0\)。
因此，\(y = \frac{1}{3}\) 或 \(y = -2\)。
所以，\(\cos \theta = \frac{1}{3}\) 或 \(\cos \theta = -2\)。

第三步：篩選無效解並找出角度

由於 \(\cos \theta\) 的值域是 \(-1 \le \cos \theta \le 1\)，所以 \(\cos \theta = -2\) 是不可能的。
我們只需解 \(\cos \theta = \frac{1}{3}\)。

針對 \(\cos \theta = \frac{1}{3}\) 按照前面提到的步驟 2–4 進行計算。

關鍵提示（解方程）： 如果角度不僅僅是 \(\theta\)，請務必先調整區間。必要時使用恆等式將其變成二次方程形式，並始終檢查最終角度是否在指定的範圍內。