引言：超越「生死」的框架
歡迎來到這裡！在 CM1 的課程中，大家至今可能已經花了很多時間處理簡單的「生存」或「死亡」模型。但現實生活往往沒有那麼簡單，對吧？人們可能會生病後康復、退休，或是在不同的護理層級之間轉換。
本章我們將探討多狀態模型（Multiple State Models）。你可以把它想像成一個關於人生旅程的「地圖」。我們將學習如何評估現金流，這些現金流取決於當事人處於哪個「狀態」（例如正在住院），或是從一個狀態轉換到另一個狀態（例如退休的那一刻）。如果這看起來比你之前學過的內容更複雜，別擔心，我們會一步步拆解！
1. 基礎概念：什麼是多狀態模型？
想像一個棋盤遊戲，你的棋子可以在不同的方格之間移動。在精算術語中，這些方格稱為狀態（States），而移動的規則則稱為轉移（Transitions）。
一個常見的例子是健康-患病模型（Health-Sickness Model）：
- 狀態 0： 健康（Healthy）
- 狀態 1： 患病（Sick）
- 狀態 2： 死亡（Dead）
在這個模型中，一個人可以從「健康」轉為「患病」，之後再轉回「健康」，或者從任何一個狀態轉為「死亡」狀態。
關鍵術語：一旦進入便無法離開的狀態（如「死亡」）稱為吸收狀態（Absorbing State）。可以離開的狀態則稱為暫態（Transient State）。
馬可夫性質（The Markov Property）
為了讓數學計算變得可控，我們通常會假設模型符合馬可夫性質。這是一個華麗的說法，意思是：「未來取決於你現在所處的狀態，與你如何到達這裡或已經在這裡待了多久無關。」
類比：這就像遊戲的存檔點。無論你是在戰鬥了 100 隻怪物後到達這裡，還是沒打怪就直接到達，當你讀取存檔時，進入下一關的選項是完全一樣的。
重點複習：
- 狀態（State）：生命的狀況（例如：在職、退休）。
- 轉移（Transition）：從一個狀態移動到另一個狀態。
- 馬可夫性質（Markov Property）：計算未來機率時，僅需考慮當前狀態。
2. 轉移強度（Transition Intensities）：變化的「速度」
為了評估現金流，我們需要知道某人轉移狀態的可能性。我們使用轉移強度（Transition Intensities），記作 \( \mu_{x+t}^{jk} \)。
這代表年齡為 \(x+t\) 的個體從狀態 \(j\) 轉移到狀態 \(k\) 的作用力。它與你已經學過的「死亡力」（force of mortality）非常相似，只是擴展到了其他生活事件上。
留在原地的機率
目前處於狀態 \(j\) 的人在時間 \(t\) 後依然留在狀態 \(j\) 的機率，記作 \( {}_t p_x^{\overline{jj}} \)。
這個公式看起來很嚇人，但它其實只是你已熟悉的生存機率的擴展：
\( {}_t p_x^{\overline{jj}} = \exp \left( -\int_{0}^{t} \sum_{k \neq j} \mu_{x+s}^{jk} ds \right) \)
為什麼要相加？因為要留在狀態 \(j\)，你必須避開所有可能轉移到其他狀態 \(k\) 的路徑。
3. 評估利益（現金流出）
在精算工作中，我們需要計算利益的期望現值（Expected Present Value, EPV）。在多狀態模型中，利益通常分為兩類：
A. 在特定狀態期間支付的利益（年金）
例子： 一份失能保險，只要保單持有人處於「患病」狀態，每月支付 $1,000。
為了評估這項利益，我們觀察在每個時間點處於狀態 \(s\) 的機率，將其折現到今天，並進行積分：
\( EPV = \int_{0}^{n} e^{-\delta t} \cdot {}_t p_x^{as} \cdot B_t dt \)
其中：
- \( e^{-\delta t} \) 是折現因子。
- \( {}_t p_x^{as} \) 是目前處於狀態 \(a\) 的人在時間 \(t\) 處於狀態 \(s\) 的機率。
- \( B_t \) 是利益支付率。
B. 轉移時立即支付的利益（整筆給付）
例子： 當某人從「健康」轉為「死亡」時立即支付的死亡賠償。
這需要時間 \(t\) 同時滿足三個條件：
1. 此人必須處於起始狀態 \(j\)。
2. 此人在那一瞬間轉移到狀態 \(k\)。
3. 我們將該賠償金折現到時間 0。
\( EPV = \int_{0}^{n} e^{-\delta t} \cdot {}_t p_x^{aj} \cdot \mu_{x+t}^{jk} \cdot S_t dt \)
其中 \( S_t \) 是轉移時支付的保險金額。
重點總結： - 年金式支付（處於某狀態）：使用 \( {}_t p_x^{jk} \)。 - 整筆給付（狀態間轉移）：使用 \( {}_t p_x^{aj} \cdot \mu_{x+t}^{jk} \)。
4. 評估保費（現金流入）
保費通常只在保單持有人處於特定狀態（例如「在職」或「健康」狀態）時收取。其評估方式與上述的年金完全相同。
價值恆等式：
與簡單模型一樣：
保費的 EPV = 利益的 EPV + 費用的 EPV
常見錯誤： 學生常忘記某人可能離開狀態後又回到該狀態。請務必確認該轉移是「一去不返」還是「可恢復」的狀態。如果你可以回到某個狀態，你必須使用考慮了所有可能路徑的機率 \( {}_t p_x^{jk} \)，而不僅僅是持續待在裡面的機率。
5. 分步解題：如何解決評估問題
如果你遇到多狀態評估題，請按照以下步驟操作：
步驟 1：繪製狀態空間。 畫出方格和箭頭。這有助於你釐清哪些轉移是可能的。
步驟 2：辨識現金流。 這是支付「處於某狀態」的費用，還是「轉移時」支付的費用？
步驟 3：寫出機率。 為每個現金流找出正確的 \( {}_t p_x \) 或轉移強度。
步驟 4：建立積分式。 結合折現因子、機率和現金流金額。
步驟 5：求解（或簡化）。 通常為了簡化積分，會假設強度和利率為常數。
6. 總結與快速回顧
你知道嗎？多狀態模型正是「重大疾病」保險的基礎，其賠付取決於具體的診斷結果！
要記住的關鍵點：
- 馬可夫性質：過去的歷史不重要；只有當前狀態才重要。
- 轉移強度 (\(\mu\))：轉移的「瞬時」風險。
- 評估年金：積分 \( (折現) \times (處於該狀態的機率) \)。
- 評估整筆給付：積分 \( (折現) \times (處於該狀態的機率) \times (離開該狀態的強度) \)。
如果剛開始覺得很棘手，別擔心！符號標記是最難的部分。一旦你意識到這些只是你已經熟練掌握的生命表（life tables）的詳細版本，邏輯就會變得清晰。練習先畫出圖表——這會讓數學運算變得明朗得多！