歡迎來到多重減損模型 (Multiple Decrement Models)！
在你的精算學習旅程中，你可能已經花了很多時間研究那些只有單一事件可能發生的模型：死亡。雖然「單一減損」(Single Decrement) 模型很有用，但現實世界卻複雜得多！舉個例子，在退休金基金中，成員可能會因為退休、身故，或僅僅是辭職跳槽而離開。這些都是該基金中不同的「退出」(exit) 方式。
本章的重點在於追蹤這些不同的離開方式，更重要的是，評估現金流的價值，而這些現金流取決於某人採取了哪種「退出」方式。如果這看起來比你之前見過的生命表複雜，別擔心——我們會一步步為你拆解！
1. 什麼是多重減損模型？
多重減損模型 (Multiple Decrement Model) 描述的是一種情況：個人處於一個「活躍」(active) 狀態，並可能基於多種不同原因（減損）離開該狀態。一旦他們離開，就不會再回來（這是多重減損模型與多狀態模型之間的主要區別）。
「漏水的桶子」類比：
想像一個裝滿水的桶子。這個桶子底部有三個不同的洞。一個洞代表「死亡」，另一個代表「退休」，第三個則代表「辭職」。水（代表人群）可以從這些洞中的任何一個漏出。要了解還剩下多少水，你需要知道每一個洞的流速以及它們如何共同作用。
需要記住的關鍵術語：
- 減損 (Decrement)： 一種具體的退出原因（例如：死亡、殘疾、退出）。
- 相依機率 (Dependent Probability) \( q_x^{(j)} \)： 一位 \( x \) 歲的人在考慮所有其他原因的情況下，在一年內特別因原因 \( j \) 而離開該群體的機率。
- 總退出機率 (Total Probability of Exit) \( q_x^{\tau} \)： 一位 \( x \) 歲的人在一年內因任何原因離開該群體的機率。這僅僅是所有個別相依機率的總和：\( q_x^{\tau} = \sum q_x^{(j)} \)。
快速複習： 在多重減損表 (MDT) 中，我們使用 \( l_x^{\tau} \) 來代表 \( x \) 歲時的活躍人數。因原因 \( j \) 而離開的人數記為 \( d_x^{(j)} \)。
2. 減損強度 (Forces of Decrement)
就像我們有死亡強度 \( \mu_x \) 一樣，我們也有針對每個原因的減損強度 (Force of decrement)。我們將 \( x \) 歲時原因 \( j \) 的減損強度記為 \( \mu_x^{(j)} \)。
總減損強度 (Total force of decrement)，\( \mu_x^{\tau} \)，是每個個別原因強度的總和：
\( \mu_x^{\tau} = \mu_x^{(1)} + \mu_x^{(2)} + ... + \mu_x^{(m)} \)
生存機率 (Survival Probability)：
一個人保持活躍狀態 \( t \) 年的機率為：
\( _{t}p_x^{\tau} = \exp( -\int_{0}^{t} \mu_{x+s}^{\tau} ds ) \)
等等！一個原因會影響另一個嗎？
在這些模型中，我們假設各種強度是同時發生作用的。如果某人死亡了，他們就無法再退休。這就是為什麼我們稱這些機率為「相依」——退休的可能性取決於該個人是否在死亡等其他風險中倖存下來！
3. 相依與獨立費率 (Dependent vs. Independent Rates)
這往往是學生覺得比較棘手的地方，但這裡有一個簡單的思考方式。
相依費率 (Dependent Rates)（現實世界）
如前所述，這些是我們在所有退出原因同時運作的群體中所觀察到的機率。符號：\( q_x^{(j)} \)。
獨立費率 (Independent Rates)（「假設」世界）
這些也被稱為相關單一減損費率 (Associated Single Decrement Rates)。我們想像一個只有一個退出原因存在的世界。例如，「如果假設這個人絕對不會死亡或退休，那麼他們辭職的機率是多少？」符號：\( q_x^{'(j)} \)。
要避免的常見錯誤：
絕對不要單純將獨立費率 \( q_x^{'(j)} \) 相加來得到總數。你只能將相依費率 \( q_x^{(j)} \) 相加來獲得總退出機率。
記憶小撇步：
將相依費率視為「競爭」。所有的退出原因都在競賽，看誰先「抓到」這個人。
4. 費率之間的轉換（假設條件）
要在獨立費率 \( q_x^{'(j)} \) 與相依費率 \( q_x^{(j)} \) 之間進行轉換，我們通常需要對年度內減損如何發生作出假設。
假設 1：多重減損表中的減損均勻分佈 (UDD in the MDT)
如果我們假設每個減損 \( d_x^{(j)} \) 在多重減損表中均勻地分佈在全年，我們使用以下近似公式：
\( q_x^{(j)} \approx q_x^{'(j)} [1 - \frac{1}{2} \sum_{k \neq j} q_x^{'(k)}] \)
注意：當你擁有獨立費率並想求出相依費率時，會使用此公式。
假設 2：恆定減損強度
如果我們假設每個減損的強度在該歲數的一年內保持不變，則關係為：
\( q_x^{(j)} = \frac{\mu^{(j)}}{\mu^{\tau}} \cdot q_x^{\tau} \)
其中 \( \mu^{(j)} / \mu^{\tau} = \ln(1 - q_x^{'(j)}) / \ln(1 - q_x^{\tau}) \)。
關鍵要點： 相依費率 \( q_x^{(j)} \) 總是小於獨立費率 \( q_x^{'(j)} \)。為什麼？因為在相依的世界中，一些原本會因為原因 \( j \) 而離開的人，先被其他原因「搶走」了！
5. 預測與評估預期現金流
現在進入最重要的部分：計算福利的價值。在 CM1 中，你經常會被要求找出在特定退出條件下所支付福利的預期現值 (Expected Present Value, EPV)。
EPV 的通用配方：
1. 識別機率： 此人在 \( t \) 時刻仍然「活躍」，然後恰好在該時刻因原因 \( j \) 而離開的機率是多少？\( _{t}p_x^{\tau} \cdot \mu_{x+t}^{(j)} \)
2. 識別現金流： 支付的金額是多少？ \( B_{t} \)
3. 識別折現因子： 將金額折算回今日價值。 \( v^t \)
4. 積分（或加總）： 在可能的時間範圍內將它們全部加總。
因減損 \( j \) 而立即支付 1 單位的福利公式：
\( \bar{A}_x^{(j)} = \int_{0}^{\infty} v^t \cdot _{t}p_x^{\tau} \cdot \mu_{x+t}^{(j)} dt \)
現實世界範例：
雇主規定，如果員工在職期間死亡，則支付 50,000 美元的總付額，但如果員工辭職則不支付任何費用。為了評估這一點，精算師只關心死亡強度 \( \mu^{(death)} \)，但必須使用總生存機率 \( _{t}p_x^{\tau} \)，因為如果員工辭職了，「在職死亡」福利就不再可能發生了！
6. 一步步解決評估問題
如果你遇到計算題，請遵循以下步驟：
步驟 1： 識別所有可能的減損（例如：死亡、退出）。
步驟 2： 計算總強度或總生存機率。你需要知道此人仍然「處於隨時可能經歷感興趣的特定減損」狀態的機率。
步驟 3： 為特定福利設定 EPV 方程。僅包含觸發付款原因的「強度」或「費率」。
步驟 4： 如果福利是「生存福利」（例如 65 歲開始領取的退休金），你只需要總生存機率 \( _{t}p_x^{\tau} \)，看看他們是否在沒有發生任何減損的情況下活到了 65 歲。
你知道嗎？
退休金精算師花費大量時間在這些計算上。他們必須假設有多少人會留任到退休年齡，以確保公司已經儲存了足夠的錢來支付他們的退休金！
總結與關鍵要點
- 多重減損： 當離開狀態的方式不只一種時使用（例如：死亡 vs. 退休）。
- 強度： 減損強度是可以相加的：\( \mu_x^{\tau} = \sum \mu_x^{(j)} \)。
- 相依性： 因某個原因而離開的機率取決於其他原因，因為它們在競爭「移除」處於該狀態的生命。
- EPV： 在評估原因 \( j \) 的福利時，務必將總生存機率 \( _{t}p_x^{\tau} \) 與原因 \( j \) 的特定費率/強度結合使用。
- 準確性： 在開始計算之前，請務必確認題目給出的是獨立還是相依費率！
如果符號起初看起來像是一堆亂碼，別擔心。專注於邏輯：生存到 \( t \) 時刻的機率（使用桶子裡所有的洞）乘以在 \( t \) 時刻的退出率（僅使用觸發付款的特定那個洞）。你一定做得到的！