到期收益率與平價收益率簡介

在期限結構、存續期與免疫法 (Term structure, duration and immunisation)章節的前幾部分中，我們探討了利率如何隨著投資期限的長短而變化（即期限結構）。我們研究了即期利率 (spot rates) 和遠期利率 (forward rates)，這些工具讓我們能精確地為個別現金流進行估值。

然而，在現實世界中，投資者通常希望有一個單一的「摘要」數字來描述債券或項目的回報。這就是到期收益率 (Yield to Maturity, YTM) 和平價收益率 (Par Yield) 的用途。這些概念幫助我們在複雜的即期利率與市場上看到的實際價格之間建立聯繫。如果起初覺得這些概念有點抽象，請別擔心；我們會將它們拆解為簡單的價值方程式 (equations of value)！

註：本章假設你已經熟練掌握價值方程式的概念以及即期利率的基本定義。

到期收益率 (Yield to Maturity, YTM)

到期收益率（通常稱為贖回收益率 Redemption Yield）是一個單一固定的年度實際利率，它使得債券所有未來現金流的現值等於其目前的市場價格。

你可以把它想像成債券的「內部報酬率」(IRR)。如果你今天買入債券，持有至到期，並將所有票息以相同的利率進行再投資，那麼 YTM 就是你將獲得的年度回報率。

YTM 的價值方程式

如果一張債券的價格為 \(P\)，年度票息為 \(C\)，且在時間 \(n\) 的贖回價值為 \(R\)，那麼 YTM（我們稱之為 \(y\)）即為下列方程式的解：

\(P = C \cdot a_{\overline{n}|y} + R \cdot v_y^n\)

其中：

  • \(a_{\overline{n}|y} = \frac{1 - (1+y)^{-n}}{y}\)
  • \(v_y = (1+y)^{-1}\)

重要區別：與即期利率（針對每一年的現金流使用不同的利率）不同，YTM 對於每一筆現金流都使用相同的利率 \(y\)，無論該現金流在何時發生。

為什麼我們要使用 YTM？

這是新聞報導和交易室中引用債券回報的標準方式。它讓投資者能夠使用單一的百分比數字來比較 5 年期債券和 10 年期債券，即使它們的票息率不同。

重要訣竅：YTM 是債券目前市場價格所隱含的「平均」利率。如果價格上升，YTM 就會下降。

平價收益率 (Par Yield)

平價收益率是指使債券市場價格恰好等於其名義價值（平價，par value）的特定票息率。換句話說，如果一張債券「以平價交易」，其價格就是面值的 100%。

在精算考試中，通常會要求你根據給定的一組即期利率，計算特定期限 \(n\) 的平價收益率。

平價收益率的邏輯

想像一張面值為 1 的債券。它在 \(n\) 年內每年年末支付票息 \(c\)，並在第 \(n\) 年年末償還面值 1。為了讓這張債券今天的價值恰好等於 1，這些支付款項的現值（使用即期利率計算）必須等於 1。

\(1 = c \cdot v(0,1) + c \cdot v(0,2) + \dots + (c+1) \cdot v(0,n)\)

其中 \(v(0,t)\) 是使用該特定期限的即期利率計算出的在時間 \(t\) 到期的 1 的現值。

計算平價收益率 (\(c_n\))

透過整理上述方程式，我們可以求得平價收益率 \(c_n\)：

\(1 = c_n \sum_{t=1}^{n} v(0,t) + v(0,n)\)

\(c_n = \frac{1 - v(0,n)}{\sum_{t=1}^{n} v(0,t)}\)

你知道嗎？如果收益率曲線是平坦的（即所有即期利率都相同），平價收益率將會恰好等於該即期利率！

重要訣竅：平價收益率是「損益平衡」的票息率。如果債券的實際票息高於平價收益率，該債券將以溢價 (premium, 價格 > 100) 交易。如果票息較低，則以折價 (discount, 價格 < 100) 交易。

比較 YTM 與平價收益率

這兩個概念很容易混淆。這裡有一個簡單的方法來記住它們的區別：

  • 到期收益率 (YTM)：已知價格和票息；求利率。
  • 平價收益率 (Par Yield)：已知即期利率（利率）並設定價格為 100；求票息率。

與收益率曲線的關係

平價收益率是構建「平價收益率曲線 (Par Yield Curve)」的實用工具，該曲線描繪了不同期限的平價收益率。對於從業人員來說，觀察平價收益率曲線通常比「即期利率曲線」更容易，因為許多債券在發行時的價格都接近平價。

核心公式總結

1. 到期收益率 (\(y\))： 為未知的利率 \(y\) 解價值方程式。
\(價格 = \sum 現值(\text{以利率 } y \text{ 計算之現金流})\)

2. 平價收益率 (\(c_n\))： 使用即期利率使價格 = 平價的票息率。
\(c_n = \frac{1 - v(0,n)}{\sum_{t=1}^n v(0,t)}\)

快速複習：常見誤區

錯誤 1：混淆年度利率與每年支付 p 次的利率。
如果債券每半年支付一次票息，記得調整你的收益率計算。如果 \(y\) 是年度實際收益率，則半年票息應以 \((1+y)^{-0.5}\) 進行折現。不過，除非另有說明，教學大綱在討論這些特定定義時通常側重於年度現金流。

錯誤 2：混淆即期利率與 YTM。
請記住：即期利率是「特定時間點」的（第 1 年一個利率，第 2 年另一個利率）。而 YTM 是應用於特定債券所有年份的「單一平均利率」。

如果起初覺得這很困難，請別擔心！ 最重要的技能是列出價值方程式 (Equation of Value)。只要方程式列對了，剩下的就只是代數運算，或是使用計算機的求解 (solver) 或插值 (interpolation) 功能。

重要訣竅： 這些收益率只是以百分比回報的形式來表達債券價格的不同方式。掌握它們對於後續學習存續期 (Duration) 和免疫法 (Immunisation) 至關重要。