即期利率與遠期利率簡介
在你的 CM1 學習旅程中，到目前為止你通常會對每一筆現金流量使用單一且固定的利率 \(i\)，而不會考慮現金流量發生的時間。然而在現實世界中，利率通常會根據你打算借入或貸出資金的時間長短而有所不同。這就是我們所說的利率期限結構 (term structure of interest rates)。
在本章中，我們將拆解精算師描述這種結構的兩種主要方式：即期利率 (Spot Rates)（「即時」投資的利率）和遠期利率 (Forward Rates)（我們今天可以約定在「未來」投資的利率）。無論是以離散還是連續形式表示，其背後的邏輯都是一樣的。如果一開始覺得符號看起來很複雜，請不要擔心——一旦你理解了「時間線」邏輯，一切都會豁然開朗！
1. 即期利率：從「現在」開始投資
即期利率是零息債券的收益率。簡單來說，它是今天約定的年利率，用於從今天開始並持續 \(t\) 年的貸款。
離散即期利率
期限為 \(t\) 的離散即期利率，通常記作 \(y_t\) 或 \(s_t\)，是適用於從時間 \(0\) 到時間 \(t\) 期間的年度實質利率。
如果你今天以即期利率 \(y_t\) 投資 \(1\) 並持有 \(t\) 年，你在時間 \(t\) 的累積價值將為：
\( (1 + y_t)^t \)
相反，在時間 \(t\) 到期的款項 \(C\) 的現值 (PV)，是使用該特定期限的即期利率進行折現來計算的：
\( PV = C \cdot (1 + y_t)^{-t} \)
連續即期利率
有時候，在數學上使用利息強度 (force of interest)會更方便。連續即期利率 \(\bar{y}_t\) 是在 \([0, t]\) 期間作用的恆定利息強度，其產生的累積結果與離散即期利率相同。
兩者的關係為：
\( e^{\bar{y}_t \cdot t} = (1 + y_t)^t \cloud \)
使用連續即期利率計算在時間 \(t\) 的款項 \(C\) 的現值為：
\( PV = C \cdot e^{-\bar{y}_t \cdot t} \)
小貼士：務必檢查題目要求的是「年度實質利率」（離散）還是「利息強度」（連續）。如果題目只提到「即期利率」，請觀察所提供公式的上下文！
2. 遠期利率：鎖定未來
想像一下，你知道自己在 2 年後將有 $1,000 可以投資，並且你想在今天就為那筆未來的投資鎖定一個利率。這個「預先鎖定」的利率就是遠期利率。
離散遠期利率
離散遠期利率 \(f_{t, n}\) 是今天約定的年度實質利率，用於在時間 \(t\) 進行、期限為 \(n\) 年（至時間 \(t+n\) 結束）的投資。
這裡的基本原理是無套利 (No Arbitrage)原則。這意味著以即期利率 \(y_{t+n}\) 投資 \(t+n\) 年的結果，應該與以即期利率 \(y_t\) 投資 \(t\) 年，然後再以遠期利率 \(f_{t, n}\) 進行再投資的結果相同。
核心公式：
\( (1 + y_{t+n})^{t+n} = (1 + y_t)^t \cdot (1 + f_{t, n})^n \)
由此，我們可以求出遠期利率：
\( (1 + f_{t, n})^n = \frac{(1 + y_{t+n})^{t+n}}{(1 + y_t)^t} \)
連續遠期利率
在連續的情況下，遠期利率通常表示為時間 \(t\) 的瞬時利息強度，記作 \(f(t)\) 或 \(\delta_t\)。
連續即期利率 \(\bar{y}_T\) 與瞬時遠期利率之間的關係是：即期利率是該段期間內遠期利率的平均值：
\( \bar{y}_T = \frac{1}{T} \int_0^T f(t) dt \)
關鍵要點：即期利率是從今天向後看，而遠期利率則是看未來的一個特定窗口。它們通過一個簡單的累積「鏈條」聯繫在一起。
3. 即期利率與遠期利率的比較
為了幫助你記住兩者的區別，可以想像這個比喻：
即期利率就像是一輛汽車從旅程起點到某個特定里程碑的平均速度。遠期利率則像是一輛汽車預計在未來旅程中某段特定路程行駛的速度。
常見關係：
- 如果即期利率隨時間增加（「向上傾斜的收益率曲線」），那麼未來一段期間的遠期利率將高於總期間的即期利率。
- 如果即期利率隨時間減少（「倒掛的收益率曲線」），那麼遠期利率將低於即期利率。
- 如果所有期限的即期利率都相等，那麼遠期利率將等於即期利率。
4. 逐步計算：計算遠期利率
如果已知 1 年期即期利率 \(y_1 = 4\%\)，2 年期即期利率 \(y_2 = 5\%\)，你該如何計算從 1 年後開始的 1 年期遠期利率 (\(f_{1, 1}\))？
- 建立關聯： \((1 + y_2)^2 = (1 + y_1)^1 \cdot (1 + f_{1, 1})^1\)
- 代入數值： \((1.05)^2 = (1.04) \cdot (1 + f_{1, 1})\)
- 整理公式： \(1 + f_{1, 1} = \frac{1.05^2}{1.04}\)
- 計算結果： \(1 + f_{1, 1} = 1.0601\)
- 最終答案： \(f_{1, 1} = 6.01\%\)
註：由於收益率曲線向上傾斜，因此 1 年期遠期利率高於這兩個即期利率。
5. 總結與常見陷阱
總結：
- 離散即期利率 (\(y_t\))： 從 \(0\) 到 \(t\) 的年度實質利率。
- 連續即期利率 (\(\bar{y}_t\))： 從 \(0\) 到 \(t\) 的利息強度。
- 離散遠期利率 (\(f_{t, n}\))： 從 \(t\) 到 \(t+n\) 的年度實質利率。
- 瞬時遠期利率 (\(f(t)\))： 時間 \(t\) 的利息強度。
應避免的錯誤：
- 混淆離散與連續： 確保在該使用 \((1+i)\) 的時候不要用了 \(e\)，反之亦然。請仔細讀題！
- 年期錯誤： 在公式 \((1+f_{t, n})^n\) 中，指數是 \(n\)（遠期期間的長度），而不是 \(t+n\)（結束日期）。
- 忽略「無套利」邏輯： 如果你忘記了公式，只需畫一條時間線。從 \(0 \to t\) 的累積加上從 \(t \to t+n\) 的累積，必須等於直接從 \(0 \to t+n\) 的累積。
在接下來的章節中，我們將使用這些利率來計算平價收益率 (Par Yields)並評估現金流量的存續期 (Duration)，屆時對利率變動的敏感度將成為我們的關注焦點。