歡迎來到索償頻率（Claim Frequencies）的世界！

在 FAM 考試的「嚴重性、頻率與總和模型」（Severity, Frequency, and Aggregate Models）單元中，我們花了不少時間探討頻率（Frequency）——這其實就是精算界的一種說法，用來問：「某件事發生了多少次？」

為了避免在每個可能的分佈中死記硬背數十個不同的公式，精算師運用了兩類名為 (a,b,0) 類與 (a,b,1) 類的分佈。這些類別讓我們能用一個簡單的遞迴公式（recursive formula），就能找出現實生活中常見分佈的機率。如果一開始覺得很數學化也不用擔心；一旦你看懂了當中的規律，就像按照食譜煮菜一樣簡單！

核心秘訣：遞迴公式

這些類別的奧秘在於發生 \(k\) 次索償的機率與發生 \(k-1\) 次索償的機率之間的一個單一關係。對於這些類別中的任何分佈，其機率都遵循以下規則：

\[ \frac{p_k}{p_{k-1}} = a + \frac{b}{k} \]

其中：
\(p_k\) 是索償次數 \(N\) 等於 \(k\) 的機率。
\(a\) 與 \(b\) 是該分佈特有的常數。
\(k\) 是索償次數 (1, 2, 3...)。

比喻時間：想像你在爬梯子。(a,b,0) 規則就像告訴你，根據你目前所站的階梯，爬到下一階需要多少力氣。你不需要從地面直接跳到第 10 階；你只需要知道怎麼從第 9 階爬到第 10 階就好！

溫習錦囊：
如果你知道 \(p_0\) 以及 \(a\) 和 \(b\) 的值，你就能算出 \(p_1\)。一旦有了 \(p_1\)，你就能算出 \(p_2\)，依此類推！這是一場連鎖反應。

第一部分：(a,b,0) 類

(a,b,0) 類是「基礎」家族。它從 \(k=0\) 開始，並對所有 \(k = 1, 2, 3, ...\) 的值遵循遞迴公式。這個專屬俱樂部裡只有三位成員：

1. 卜瓦松分佈 (Poisson Distribution)

卜瓦松是頻率計算中的「家常便飯」。它假設事件是以恆定速率獨立發生的。
對於 Poisson(\(\lambda\))：
\(a = 0\)
\(b = \lambda\)
\(p_0 = e^{-\lambda}\)

記憶小撇步：Poisson 以 "P" 開頭，而在 (a,b,0) 公式中，\(a\) 是 0。「Poisson 沒有 a (Zero 'a')。」

2. 二項分佈 (Binomial Distribution)

當試驗次數固定 (\(n\)) 且成功機率 (\(q\)) 也固定時使用。
對於 Binomial(\(n, q\))：
\(a = \frac{-q}{1-q}\)
\(b = \frac{(n+1)q}{1-q}\)
\(p_0 = (1-q)^n\)

注意：在二項分佈中，\(a\) 永遠是負數。這是因為可能結果的數量是有限的（你不可能有超過 \(n\) 次的索償）。

3. 負二項分佈 (Negative Binomial Distribution)

通常用於索償頻率比卜瓦松分佈更「分散」（波動性更大）的情況。
對於 Negative Binomial(\(r, \beta\))：
\(a = \frac{\beta}{1+\beta}\)
\(b = \frac{(r-1)\beta}{1+\beta}\)
\(p_0 = (1+\beta)^{-r}\)

(a,b,0) 類總結表

Poisson: \(a=0, b=\lambda\)
Binomial: \(a < 0\)
Neg. Binomial: \(a > 0\)

第二部分：(a,b,1) 類

有時，「零」的情況並不符合上述規律。例如，保單可能設有非常小的自付額，導致零索償的事件從未被上報，或者存在零索償獎勵。這就是 (a,b,1) 類發揮作用的地方。

在 (a,b,1) 類中，遞迴公式依然適用，但僅從 \(k=2\) 開始。\(p_0\) 與 \(p_1\) 之間的關係被「打破」或修正了。

此類別包含兩種類型的分佈：

1. 零截斷分佈 (Zero-Truncated (ZT) Distributions)

這些分佈不可能為零。機率 \(p_0^T = 0\)。
如果你看到上標 \(T\)（如 \(p_k^T\)），即代表截斷 (Truncated)。

2. 零修正分佈 (Zero-Modified (ZM) Distributions)

這些分佈為零設定了自定義的機率，我們稱之為 \(p_0^M\)。其餘的機率 (\(p_1, p_2, ...\)) 會相應調整，確保總和維持在 100%。

你知道嗎？
零修正分佈其實就是將「零點處的巨大尖峰」與「零截斷分佈」進行「加權平均」！

計算 (a,b,1) 類的機率

如果你需要計算零修正 (Modified, \(M\)) 分佈的機率，請按照以下步驟：

步驟 1：找出「常規」(a,b,0) 的零機率 \(p_0\)。
步驟 2：找出題目給定的新修正零機率 \(p_0^M\)。
步驟 3：使用以下公式計算第一個修正機率 \(p_1^M\)：
\[ p_1^M = \frac{p_0^M - 1}{p_0 - 1} \cdot p_1 \]
步驟 4：使用標準遞迴公式 (\(p_k = p_{k-1}(a + b/k)\))，根據 \(p_1^M\) 找出所有後續機率 (\(p_2, p_3, ...\))。

常見錯誤：許多學生試圖直接用 (a,b,0) 的遞迴關係從 \(p_0^M\) 推導至 \(p_1^M\)。千萬不要這樣做！在 (a,b,1) 類中，遞迴僅適用於 \(k \ge 2\)。你必須使用上述「步驟 3」的公式來跨越 \(p_0\) 與 \(p_1\) 之間的障礙。

主要差異總結

(a,b,0) 類：遞迴從 \(k=1\) 開始。包含 Poisson、Binomial 和 Negative Binomial。
(a,b,1) 類：遞迴從 \(k=2\) 開始。包含上述分佈的零截斷 (Zero-Truncated) 和零修正 (Zero-Modified) 版本。
"a" 的符號：
- 若 \(a=0\)：它是 Poisson 的變體。
- 若 \(a<0\)：它是 Binomial 的變體。
- 若 \(a>0\)：它是 Negative Binomial 的變體。

最後的鼓勵

(a,b,0) 和 (a,b,1) 類別只是讓你事半功倍的工具。與其死記 10 個不同的機率質量函數 (PMF)，你只需要掌握如何運用這個遞迴比率。多練習分辨題目要求的是「截斷」(無零) 還是「修正」(特殊零) 分佈，你很快就能精通頻率模型了！

關鍵重點：在開始計算之前，務必檢查該分佈是否為「零修正」(Zero-Modified)。如果是，請先用特殊公式處理 \(p_1\)，然後再讓遞迴公式完成剩下的工作！