歡迎來到頻率的世界！
在 Exam FAM（精算數學基礎）的「損失嚴重性、頻率與總損失模型」章節中，我們花了很多時間在計算事物——具體來說，就是計算在特定期間內發生的索償次數，這就是我們所說的頻率 (Frequency)。與其死背幾十個互不相關的公式，精算師通常會使用兩個「家族」或類別的分配：(a, b, 0) 類別和 (a, b, 1) 類別。
你可以把這些類別想像成一個「模板」。如果一個分配符合這個模板，我們就能使用一套標準規則來找出其機率。這一章就是你掌握這些模板的指南。如果剛開始覺得數學看起來有點複雜，別擔心；我們會一步一步把它拆解開來！
1. 基礎構建模塊：(a, b, 0) 類別
(a, b, 0) 類別包含三個著名的離散分配：卜瓦松分配 (Poisson)、二項分配 (Binomial) 以及 負二項分配 (Negative Binomial)。它們之所以被歸為同一個「家族」，是因為連續機率的比率遵循一個非常具體的線性規律。
神奇公式
對於 (a, b, 0) 類別中的任何分配，發生 \(k\) 次索償的機率 (\(p_k\)) 與發生 \(k-1\) 次索償的機率 (\(p_{k-1}\)) 之間存在以下關係：
\(\frac{p_k}{p_{k-1}} = a + \frac{b}{k}, \quad k = 1, 2, 3, ...\)
等等，這是什麼意思？ 想像你在爬梯子。每一級台階 (\(p_k\)) 都與它下方的那一級 (\(p_{k-1}\)) 相關，透過一個隨著高度 (\(k\)) 稍微變化的簡單乘數來連接。(a, b, 0) 中的「0」告訴我們，這條規則從第一級台階就開始生效，也就是從 \(p_0\) 開始。
認識家族成員
只有三種分配符合這條規則。以下是如何辨識它們的 a 和 b 參數的方法：
- 卜瓦松分配 (Poisson, \(\lambda\))：
\(a = 0\)
\(b = \lambda\)
關鍵特徵： 由於 \(a=0\)，比率僅為 \(\lambda/k\)。 - 二項分配 (Binomial, \(m, q\))：
\(a = \frac{-q}{1-q}\)
\(b = \frac{(m+1)q}{1-q}\)
關鍵特徵： 在此類別中，\(a\) 永遠是負數。 - 負二項分配 (Negative Binomial, \(r, \beta\))：
\(a = \frac{\beta}{1+\beta}\)
\(b = \frac{(r-1)\beta}{1+\beta}\)
關鍵特徵： \(a\) 永遠是正數且小於 1。
快速回顧： 如何判斷你看到的是哪種分配？
- 如果 \(a < 0\)：它是 二項分配。
- 如果 \(a = 0\)：它是 卜瓦松分配。
- 如果 \(a > 0\)：它是 負二項分配。
你知道嗎？ 幾何分配 (Geometric distribution) 其實就是 \(r = 1\) 的負二項分配。這意味著對於幾何分配，\(b\) 將永遠為 0！
總結要點： (a, b, 0) 類別利用簡單的遞歸比率來計算機率。熟記 \((a, b)\) 與分配參數 (\(\lambda, m, q, r, \beta\)) 之間的關係，對於在考試中爭取速度至關重要。
2. 進階學習：(a, b, 1) 類別
有時候，現實世界的數據並不能完美契合 (a, b, 0) 分配。最常見的問題是什麼？就是「零索償」結果的數量，往往比模型預測的要多得多或少得多。這就是 (a, b, 1) 類別 派上用場的時候了。
差別在哪裡？
(a, b, 1) 類別使用 完全相同 的遞歸公式：\(\frac{p_k}{p_{k-1}} = a + \frac{b}{k}\)。然而，它僅適用於 \(k = 2, 3, ...\)。零次索償的機率 (\(p_0\)) 是「被破壞」或「被修改」的，不遵循該規則。
此類別包含兩種分配：
- 零截尾 (Zero-Truncated, ZT)： 這些分配 完全沒有零值 (\(p_0 = 0\))。想想醫院的病人紀錄；如果你沒有看診，就不會出現在病人名單中！
- 零修正 (Zero-Modified, ZM)： 這些分配有一個 自訂的零機率 (\(p_0^M\))，由你自己設定。
如何計算 (a, b, 1) 的機率
要計算 (a, b, 1) 類別的機率，我們首先查看其「底層」的 (a, b, 0) 分配（我們稱其機率為 \(p_k\)），然後再進行調整。
對於零截尾 (ZT)：
\(p_k^T = \frac{p_k}{1 - p_0}\)
解釋： 我們取原始機率，並將其「拉伸」以填補因缺少零而留下的空白。
對於零修正 (ZM)：
\(p_k^M = \frac{1 - p_0^M}{1 - p_0} p_k\)
小貼士： 另一種思考方式是 \(p_k^M = (1 - p_0^M) p_k^T\)。你基本上是在說：「我預留了 \(p_0^M\) 的機率給零值，然後將剩餘的機率分配給非零的結果。」
要避免的常見錯誤： 計算 (a, b, 1) 分配的比率時，請記住你能計算的第一個比率是 \(\frac{p_2}{p_1}\)。你 不能 使用該公式從 \(p_0\) 推算出 \(p_1\)，因為當 \(k=1\) 時，該規則並不適用！
總結要點： (a, b, 1) 類別其實就是 (a, b, 0) 類別加上一個在零點處的「特殊」機率。使用 ZT 或 ZM 公式來調整標準機率即可。
3. 綜合運用：解題步驟
當你遇到題目要求計算這些類別的參數或機率時，請遵循以下步驟：
第一步：辨識類別
題目是否提到 \(p_0, p_1\) 和 \(p_2\)？檢查一下比率。如果 \(\frac{p_1}{p_0}\) 和 \(\frac{p_2}{p_1}\) 都遵循相同的 \(a + b/k\) 規則，那就是 (a, b, 0)。如果只有後面的項遵循該規則，那就是 (a, b, 1)。
第二步：求解 a 和 b
如果你有兩個比率，你就有兩個方程式：
1. \(\frac{p_k}{p_{k-1}} = a + \frac{b}{k}\)
2. \(\frac{p_{k+1}}{p_{k}} = a + \frac{b}{k+1}\)
透過相減或代入法來求出 \(a\) 和 \(b\)。
第三步：辨識底層分配
一旦得到 \(a\)，就使用我們的「關鍵特徵」清單：
- \(a\) 為正？負二項分配。
- \(a\) 為 0？卜瓦松分配。
- \(a\) 為負？二項分配。
第四步：回答問題
題目可能會問平均值、變異數或特定的機率。現在你已經知道分配及其參數（如 \(\lambda\) 或 \(\beta\)），你可以利用標準公式來完成計算。
別擔心，如果剛開始覺得很難！ 最常見的挑戰是求解 \(a\) 和 \(b\) 時所涉及的代數運算。多練習幾組這樣的方程式，這就會變成你的直覺了。
4. 快速回顧框
(a, b, 0) 表格總結：
- 卜瓦松分配： \(a=0\), \(b=\lambda\), \(p_k/p_{k-1} = \lambda/k\)
- 二項分配： \(a < 0\), \(a = -q/(1-q)\)
- 負二項分配： \(a > 0\), \(a = \beta/(1+\beta)\)
(a, b, 1) 公式：
\(p_k^M = \frac{1 - p_0^M}{1 - p_0} p_k\)
關鍵詞彙：
- 零截尾 (Zero-Truncated)： \(p_0\) 精確為 0。
- 零修正 (Zero-Modified)： \(p_0\) 為題目給定的特定數值。
你一定做得到的！理解這些參數之間的關係是通過 Exam FAM 的重要一步。繼續練習那些比率吧！