歡迎來到算術年金（Arithmetic Annuities）的世界！
你好！如果你已經掌握了定額年金（即每期支付金額相同），現在準備好迎接下一個挑戰了。在現實世界中，支付金額往往會隨時間變化。例如，一家公司的利潤每年以固定金額增長，或者結構性結算每年遞增以應對通貨膨脹。這就是算術級數年金（Arithmetic Progression Annuities）派上用場的時候。
在本章中，我們將學習如何計算每期以固定金額遞增或遞減的現金流價值。如果公式起初看起來有點嚇人，別擔心——我們會將它們拆解，逐步剖析，直到它們變得像反射動作一樣自然！
1. 什麼是算術級數？
算術級數只是一個比較學術的說法，用來形容一組數列，其中相鄰項之間的差值是恆定的。
範例：$100, $110, $120, $130...
在這裡，第一次支付為 $100，隨後每期增加的恆定金額（Q）為 $10。
在 Exam FM 中，我們通常關注這類年金的兩種特定類型：
1. 遞增年金 (Increasing Annuities)：支付金額隨時間增加（例如：1, 2, 3, ..., n）。
2. 遞減年金 (Decreasing Annuities)：支付金額隨時間減少（例如：n, n-1, ..., 1）。
類比：將算術年金想像成樓梯。你每走一級台階，高度正好比上一級高（或低）一個單位。
2. 基本遞增年金 \((Ia)_{\overline{n}|}\)
讓我們從最基本的版本開始：一種期後付年金（annuity-immediate），第一次支付為 1，第二次為 2，以此類推，直到在時間 \(n\) 時支付最後一筆款項 \(n\)。
公式
其現值 (PV) 表示為 \((Ia)_{\overline{n}|}\)：
\( (Ia)_{\overline{n}|i} = \frac{\ddot{a}_{\overline{n}|i} - nv^n}{i} \)
等等，公式裡為什麼會有一個 \(\ddot{a}\)？
這是學生常遇到的「絆腳石」！儘管我們計算的是期後付年金（支付發生在期末），但公式分子中卻使用了期初付年金（annuity-due）的符號 \(\ddot{a}_{\overline{n}|}\)。
小貼士：只要記住公式裡的 "I" 會把一個額外的小點「拉」進分子的 "a" 裡就可以了！
重點總結：
要找出遞增年金的現值，你需要利率 (\(i\))、期數 (\(n\)) 以及定額期初付年金值 (\(\ddot{a}_{\overline{n}|}\))。
3. 基本遞減年金 \((Da)_{\overline{n}|}\)
在遞減年金中，第一次支付為 \(n\)，第二次為 \(n-1\)，支付額遞減，直到在時間 \(n\) 時支付最後一筆款項 1。
公式
其現值表示為 \((Da)_{\overline{n}|}\)：
\( (Da)_{\overline{n}|i} = \frac{n - a_{\overline{n}|i}}{i} \)
你知道嗎？遞減年金常被用來模擬貸款的利息部分或某些類型的折舊！
速查框：
遞增 (Ia)：從 1 開始，至 \(n\) 結束。公式：\(\frac{\ddot{a}_{\overline{n}|} - nv^n}{i\)}\)遞減 (Da)：從 \(n\) 開始，至 1 結束。公式：\(\frac{n - a_{\overline{n}|}}{i}\)
4. 一般情況：支付額為 \(P, P+Q, P+2Q, \dots\)
如果支付不是從 1 開始怎麼辦？如果它們從 $500 開始，且每次增加 $50 呢？我們可以使用通用公式。我們可以將任何算術年金拆分為兩部分：定額部分和遞增/遞減部分。
如果第一次支付為 P，後續每期增加 Q：
現值 = \(P a_{\overline{n}|} + Q \frac{a_{\overline{n}|} - nv^n}{i}\)
然而，許多學生覺得這樣想更容易：
1. 一個金額為 (P - Q) 的定額年金。
2. 一個金額為 Q 的遞增年金 \((Ia)\)。
範例：支付額為 10, 15, 20。
這裡 \(P = 10\) 且 \(Q = 5\)。
你可以將其視為：
- 一個金額為 5 的定額年金 (即 \(P-Q\))
- 一個金額為 5, 10, 15 的遞增年金 (即 \(Q \times (Ia)_{\overline{3}|}\))
常見錯誤：務必小心正負號！如果是遞減年金，\(Q\) 將會是負數。
5. 算術永續年金（有限期並不總是足夠！）
如果支付永遠持續下去怎麼辦？這就是算術永續年金（arithmetic perpetuity）。因為 \(n\) 趨向於無窮大，公式實際上變得簡單得多，因為 \(v^n\) 項變成了零！
遞增永續年金（期後付）
支付額：1, 2, 3, ... 永遠持續。
\( (Ia)_{\infty|i} = \frac{1}{i} + \frac{1}{i^2} \) 或者更常見的寫法：
\( (Ia)_{\infty|i} = \frac{1}{i \cdot d} \)
一般永續年金（期後付）
支付額：\(P, P+Q, P+2Q, \dots\) 永遠持續。
現值 = \(\frac{P}{i} + \frac{Q}{i^2}\)
類比：想像種了一棵魔法樹，每年永遠多結 1 個蘋果。要找出這棵樹今天的價值，你只需要這個簡單的公式！
6. 總結與最後的建議
解題步驟：
1. 識別規律：是遞增還是遞減？增減幅度 (\(Q\)) 是多少？
2. 找出 P 和 Q：\(P\) 是第一次支付，\(Q\) 是每期的變動量。
3. 檢查時點：是期後付年金（期末）還是期初付年金（期初）？
4. 檢查利率：確保你的利率與支付頻率相匹配。
5. 代入計算：使用上述公式計算價值。
重點回顧：
- 遞增年金：\((Ia)_{\overline{n}|} = \frac{\ddot{a}_{\overline{n}|} - nv^n}{i}\)
- 遞減年金：\((Da)_{\overline{n}|} = \frac{n - a_{\overline{n}|}}{i}\)
- 永續年金：\(\frac{P}{i} + \frac{Q}{i^2}\)
- 關係式：對於任何 \(n\)，\((Ia)_{\overline{n}|} + (Da)_{\overline{n}|} = (n+1)a_{\overline{n}|}\)。（這是檢查計算結果的好方法！）
如果剛開始覺得這很棘手，不用擔心！ "I" 和 "D" 公式是 Exam FM 中代數部分最繁重的地方。練習為每個題目畫出時間軸；一旦你在紙上畫出了這些「台階」，數學就會變得清晰多了。