歡迎來到增長型支付的世界！

在之前的課程中，我們研究了支付金額始終不變的年金（定額年金）。但在現實世界中，情況總是會改變！試想一下，如果你每年能獲得 3% 的加薪，或者養老金為了抵禦通貨膨脹而逐年增加，這些就是幾何級數年金（Geometric Progression Annuities）。

在本章中，我們將學習如何計算每期按固定百分比增長（或縮減）的現金流價值。如果這看起來比定額年金複雜，請別擔心——一旦你掌握了其中的規律，它就像拼圖一樣，完美契合！

什麼是幾何級數？

在深入研究公式之前，我們先確保理解這個概念。幾何級數（Geometric Progression）是一組數列，其中每一項都是將前一項乘以一個固定的非零數字，這個數字稱為公比（common ratio）。

現實生活類比：想像你有一枚神奇的硬幣，它每天的價值會翻倍。第一天你有 1 分錢，第二天有 2 分錢，第三天有 4 分錢，以此類推。每一天都乘以 2，這就是一個幾何級數！

在 Exam FM 中，我們通常使用字母 \(g\) 來表示增長率（growth rate）。如果你的支付金額增長了 5%，那麼你的公比就是 \((1 + 0.05) = 1.05\)。

幾何年金的構成

讓我們看看標準的期末付年金（annuity-immediate）（即第一筆支付發生在第一期期末，\(t=1\)）：

1. 第一筆支付為 \(P\)，發生在 \(t = 1\)。
2. 第二筆支付為 \(P(1+g)\)，發生在 \(t = 2\)。
3. 第三筆支付為 \(P(1+g)^2\)，發生在 \(t = 3\)。
4. 第 \(n\) 筆支付為 \(P(1+g)^{n-1}\)，發生在 \(t = n\)。

快速複習：請注意，增長項的指數總是比時間週期少一。例如，在第 10 期，增長已經發生了 9 次。

計算現值 (PV)

現值（Present Value）是所有這些未來增長的支付在現在（\(t=0\)）的價值。要找到這個值，我們需要使用利率 \(i\) 將每一筆支付折現回起點。

對於 \(n\) 期的幾何期末付年金，其現值公式為：

\(PV = P \left[ \frac{1 - (\frac{1+g}{1+i})^n}{i - g} \right]\)

關鍵條件：只要 \(i \neq g\)，這個公式就適用。如果它們相等會怎樣，我們稍後再討論！

分步示例

情境：你將獲得連續 10 年的支付。第一筆支付為 1,000 美元，於一年後（即今日起計一年）支付。隨後每一筆支付增加 4%。年有效利率為 6%。

1. 確定變數：\(P = 1000\), \(g = 0.04\), \(i = 0.06\), \(n = 10\)。
2. 代入公式：
\(PV = 1000 \left[ \frac{1 - (\frac{1.04}{1.06})^{10}}{0.06 - 0.04} \right]\)
3. 計算比率：\(\frac{1.04}{1.06} \approx 0.98113\)
4. 計算 10 次方：\(0.98113^{10} \approx 0.82655\)
5. 完成計算：\(1000 \left[ \frac{1 - 0.82655}{0.02} \right] = 1000 \left[ \frac{0.17345}{0.02} \right] = 8,672.50\)

特殊情況：如果 \(i = g\) 怎麼辦？

如果利率與增長率完全相等，上述公式將會導致除以零的情況——這是不可能的！但別慌。當 \(i = g\) 時，數學運算實際上變得簡單多了。

當 \(i = g\) 時，每一筆支付折現回 \(t=0\) 的價值都完全相同！具體來說，每一筆支付的現值都是 \(\frac{P}{1+i}\)。由於總共有 \(n\) 筆支付，公式為：

\(PV = n \cdot \frac{P}{1+i}\) （僅限 \(i = g\) 時）

記憶技巧：將其視為「簡易版本」。只需將支付次數乘以第一筆支付的折現值即可。

幾何永續年金 (Geometric Perpetuities)

永續年金（perpetuity）是指無限期支付的年金（\(n = \infty\)）。在考試中，你會看到諸如「無限期支付」或「永遠支付」之類的字眼。

對於幾何永續年金，若要擁有有限的價值，增長率 \(g\) 必須小於利率 \(i\)。如果支付增長的速度快於折現的速度，其價值將是無限的！

幾何永續期末付年金的現值公式非常簡潔：

\(PV = \frac{P}{i - g}\)

你知道嗎？這在股票估值中通常被稱為「戈登增長模型」（Gordon Growth Model），用於計算股息不斷增長的股票價值。

公式總結

有限期 (\(i \neq g\))： \(PV = P \left[ \frac{1 - (\frac{1+g}{1+i})^n}{i - g} \right]\)
有限期 (\(i = g\))： \(PV = \frac{n \cdot P}{1+i}\)
永續年金 (\(i > g\))： \(PV = \frac{P}{i - g}\)

常見陷阱

即使是最優秀的學生也可能在這些常見錯誤上栽跟頭。請多加留意！

1. 混淆 \(i\) 和 \(g\)：請始終記住，\(i\) 是銀行給你的利率，而 \(g\) 是每年的增長率。分母永遠是 \(i - g\)。
2. 第一筆支付 (\(P\))：確保 \(P\) 是在 \(t=1\) 時的支付。如果題目說「今日」的支付是 100 美元且從明年開始增長，那麼 \(t=1\) 時的支付實際上是 \(100(1+g)\)。
3. 期初付年金 vs. 期末付年金：如果是期初付年金（annuity-due，即期初支付），只需先按期末付年金計算現值，然後將結果乘以 \((1+i)\) 即可。
4. 負增長：增長率不一定總是正數！如果支付額每年減少 2%，那麼 \(g = -0.02\)。公式仍然適用，只需小心符號計算（即 \(i - (-g) = i + g\)）。

快速複習：重點摘要

- 概念：幾何年金按固定的百分比增長，而非固定的金額。
- 變數：\(P\) = 第一筆支付，\(g\) = 增長率，\(i\) = 利率，\(n\) = 支付總次數。
- 「\(i\) 減 \(g\)」規則：大多數幾何年金公式的分母都有 \(i - g\)。
- 永續年金：如果支付無限期持續，現值就是第一筆支付除以 \((i - g)\)。
- 別慌：如果 \(i = g\)，現值就是 \(n \times \text{第一筆支付的折現值}\)。

你一定做得到！試著練習幾道題目，先正確識別出 \(P\)、\(i\) 和 \(g\)，你會發現這些「可怕」的公式其實是非常友好的工具。