💻 章節筆記：邏輯閘

各位電腦架構的未來尖兵，你好！歡迎來到構成你身邊所有電子裝置的微觀世界。本章「邏輯閘」是「電腦組織與架構」這一部分的絕對基礎。

你可能會覺得電腦運作起來像魔法一樣，但其實它們是由一層層極其簡單且可靠的決策所構成的。邏輯閘就是這些電子積木——它們是執行基礎布林代數（Boolean algebra）運算的小型電路。掌握了邏輯閘，就等於了解 CPU 如何執行每一次計算、指令以及記憶體儲存操作。讓我們開始吧！

1. 數位基礎：二進位與布林邏輯

電腦透過電力運作，電力只有兩種狀態：開（ON）或關（OFF）。我們使用二進位系統來表示這些狀態：

  • ON 或高電壓 = 1 (True/真)
  • OFF 或低電壓 = 0 (False/假)

邏輯閘接收一個或多個二進位輸入，並根據特定的邏輯規則產生單一的二進位輸出。

關鍵概念：布林代數

布林代數是邏輯的數學。它只處理「真 (1)」與「假 (0)」。每一個邏輯閘都直接對應一個布林運算子。

什麼是真值表（Truth Table）？

真值表至關重要。它是一種數學表格，用來計算並展示邏輯電路對於所有可能的輸入組合（A、B 等）所對應的輸出（Q）。

重點複習：先備知識檢查
如果你有 N 個輸入，真值表中就會有 \(2^N\) 種可能的組合。例如，2 個輸入（A 和 B）意味著 \(2^2 = 4\) 行。

2. 三大核心邏輯閘

這三種邏輯閘構成了所有數位電子產品的基石。

2.1. AND 閘（與閘）

AND 閘僅在所有輸入皆為 1 時，才會產生 1 (True) 的輸出。

  • 布林表達式： \(Q = A \cdot B\)（讀作 "A AND B"）
  • 符號： 「D」形符號。（請參考課程大綱圖 3.7.6）
  • 類比： 銀行金庫需要兩把鑰匙（A 和 B）同時轉動才能開啟。若鑰匙 A AND 鑰匙 B 都被使用，金庫才會打開 (Q=1)。

AND 閘真值表（2 個輸入）

輸入 A | 輸入 B | 輸出 Q
0 | 0 | 0
0 | 1 | 0
1 | 0 | 0
1 | 1 | 1

2.2. OR 閘（或閘）

OR 閘只要至少有一個輸入為 1，就會產生 1 (True) 的輸出。

  • 布林表達式： \(Q = A + B\)（讀作 "A OR B"）
  • 符號： 彎曲的符號。（請參考課程大綱圖 3.7.6）

類比： 一個房間的電燈有兩個開關（A 和 B）。只要按下開關 A OR 開關 B，燈就會亮起 (Q=1)。

OR 閘真值表（2 個輸入）

輸入 A | 輸入 B | 輸出 Q
0 | 0 | 0
0 | 1 | 1
1 | 0 | 1
1 | 1 | 1

2.3. NOT 閘（反閘/非閘）

NOT 閘只有一個輸入，其作用單純是將輸入反轉（將 0 變為 1，或將 1 變為 0）。

  • 布林表達式： \(Q = \bar{A}\)（讀作 "NOT A" 或 "A bar"）
  • 符號： 一個三角形，輸出端帶有一個小圓圈（俗稱「氣泡」）。（請參考課程大綱圖 3.7.6）
  • 類比： 它是一個「相反」開關。如果輸入為啟動 (1)，輸出即為未啟動 (0)。

NOT 閘真值表（1 個輸入）

輸入 A | 輸出 Q
0 | 1
1 | 0

關鍵點： 小圓圈（氣泡）總是代表反轉或 NOT 邏輯。你在其他邏輯閘上也會看到它！

3. 進階與衍生邏輯閘

這些邏輯閘是由核心邏輯閘組合而成，但因為太過常見，它們擁有自己的符號和規則。

3.1. XOR 閘（互斥或閘）

XOR 閘在輸入不同時產生 1 (True) 的輸出，若兩者皆為 1 則輸出 0。

  • 布林表達式： \(Q = A \oplus B\)（讀作 "A XOR B"）
  • 符號： 與 OR 閘相似，但輸入端多了一條彎曲的線。（請參考課程大綱圖 3.7.6）
  • 類比： 解釋 XOR 最好的例子是雙向走廊的電燈開關系統。如果只按了 A OR 只按了 B，電燈狀態會改變 (Q=1)。如果兩個同時被按，則狀態不變 (Q=0)。

XOR 閘真值表（2 個輸入）

輸入 A | 輸入 B | 輸出 Q
0 | 0 | 0
0 | 1 | 1
1 | 0 | 1
1 | 1 | 0

3.2. NAND 閘（反與閘）

NAND 閘就是一個 AND 閘後面跟著一個 NOT 閘。輸出是 AND 輸出的反相。

  • 布林表達式： \(Q = \overline{A \cdot B}\)
  • 符號： AND 符號輸出端帶有一個小圓圈。（請參考課程大綱圖 3.7.6）

NAND 閘真值表（2 個輸入）

輸入 A | 輸入 B | 輸出 Q
0 | 0 | 1
0 | 1 | 1
1 | 0 | 1
1 | 1 | 0

常見錯誤： NAND 常被稱為萬用閘（Universal Gate），因為任何其他邏輯閘（AND、OR、NOT）都可以單純透過 NAND 閘建構出來。雖然這很有趣，但應優先專注於透過記住「它是 AND 的反相」來完成真值表。
3.3. NOR 閘（反或閘）

NOR 閘就是一個 OR 閘後面跟著一個 NOT 閘。輸出是 OR 輸出的反相。

  • 布林表達式： \(Q = \overline{A + B}\)
  • 符號： OR 符號輸出端帶有一個小圓圈。（請參考課程大綱圖 3.7.6）

NOR 閘真值表（2 個輸入）

輸入 A | 輸入 B | 輸出 Q
0 | 0 | 1
0 | 1 | 0
1 | 0 | 0
1 | 1 | 0

4. 解讀與繪製邏輯電路

本單元的核心技巧是在三種表達形式之間轉換：布林表達式、邏輯圖與真值表。

4.1. 從邏輯圖寫出布林表達式

從左側的輸入開始，逐級向右推導，直到達到最終輸出 Q。

電路範例（A 和 B 是 AND 閘的輸入，C 是 NOT 閘的輸入。兩者的輸出進入一個 OR 閘）。

步驟 1： 識別第一個邏輯閘（AND）的輸出： \(X = A \cdot B\)
步驟 2： 識別第二個邏輯閘（NOT）的輸出： \(Y = \bar{C}\)
步驟 3： 最後一個邏輯閘（OR）以 X 和 Y 作為輸入： \(Q = X + Y\)
最終布林表達式： \(Q = (A \cdot B) + \bar{C}\)

4.2. 完成複雜電路的真值表

對於複雜電路，請在真值表中建立對應於每個內部邏輯閘輸出的「中間欄」。這能將問題拆解成易於管理的步驟！

針對電路 \(Q = (A \cdot B) + \bar{C}\)（有 3 個輸入，所以共有 \(2^3=8\) 行）：

  • 第 1、2、3 欄：輸入 A, B, C（全部 8 種組合）。
  • 第 4 欄：中間變數 X（A AND B 的輸出）。
  • 第 5 欄：中間變數 Y（NOT C 的輸出）。
  • 第 6 欄：最終輸出 Q（X OR Y 的輸出）。

步驟說明： 對於 A=1, B=0, C=1 的輸入行：

  1. X = A AND B = 1 AND 0 = 0
  2. Y = NOT C = NOT 1 = 0
  3. Q = X OR Y = 0 OR 0 = 0

記憶小撇步： 始終在真值表中繪製對應於布林表達式內部括號的中間欄位。

5. 邏輯應用：算術與記憶

邏輯閘不只是理論，它們是處理器內部算術邏輯單元 (ALU) 的基礎組件。

5.1. 半加法器（Half-Adder）

半加法器是一個能將兩個單一位元二進位數字（A 和 B）相加的電路。因為 \(1+1 = 10_2\)，我們需要兩個輸出：和 (Sum, S) 與 進位 (Carry, C)。

  • 輸入： A 和 B（兩個相加的位元）。
  • 輸出： 和 (S) 和 進位 (C)。

邏輯與結構：

1. 和 (S) 僅在 A 和 B 不同時為 1。 這正是 XOR 閘的定義！
S = \(A \oplus B\)

2. 進位 (C) 僅在 A 和 B 皆為 1 時為 1（因為 \(1+1\) 產生進位）。 這正是 AND 閘的定義！
C = \(A \cdot B\)

若要建構半加法器電路，你需要繪製一個 XOR 閘和一個 AND 閘，兩者皆接收輸入 A 和 B，其中 XOR 的輸出為 S，AND 的輸出為 C。

5.2. 全加法器（Full-Adder）

在進行多位元相加時，必須納入前一個位元產生的進位。全加法器執行三個輸入的加法：

  • 輸入 A、輸入 B（兩個相加的位元）
  • 進位輸入 ($C_{in}$)（來自前一位元相加的進位）

輸出維持為 和 (S) 與 進位輸出 ($C_{out}$)。

（你必須能夠辨識並追蹤全加法器電路的邏輯，但不需要自己從頭設計建構它。）

你知道嗎？ 一台 8 位元電腦使用八個全加法器電路串聯起來以計算 8 位元的加法！這種結構稱為漣波進位加法器（Ripple-carry adder）。
5.3. 邊緣觸發 D 型正反器（D-Type Flip-Flop，記憶單元）

邏輯閘不只執行計算，還被用來建構記憶體。D 型正反器是我們需要理解的最簡單的循序邏輯（記憶體）形式。

它被稱為 1 位元記憶單元，因為它正好可以儲存一個位元（0 或 1）。

關鍵組件與運作：

  • 資料輸入 (D)： 這就是你想要儲存的位元（0 或 1）。
  • 時脈輸入 (CLK)： 此輸入決定了何時應該儲存資料。
  • 輸出 (Q)： 儲存的值。

邊緣觸發機制：

D 型正反器是邊緣觸發（Edge-triggered）的，這意味著它只會在時脈訊號狀態改變的精確瞬間（例如從 0 變為 1，稱為上升邊緣）關注資料輸入 (D)。

  1. 時脈訊號變為高電位（例如上升邊緣）。
  2. 讀取當前的資料輸入 (D) 狀態並立即儲存於內部。
  3. 此儲存值會輸出於 Q。
  4. 在下一次時脈訊號變為高電位之前，無論資料輸入 (D) 如何變化，輸出 Q 都保持不變。

想像它就像一台相機：資料輸入就是場景，時脈訊號就是快門按鈕。相機只會在按下按鈕的那一刻捕捉場景；直到你下次按下按鈕之前，儲存的照片是不會改變的。


✔ 章節總結：邏輯閘

你已經了解簡單的二進位決策如何轉化為 CPU 和記憶體的核心組件。請記住：

  • 六大邏輯閘（AND, OR, NOT, XOR, NAND, NOR）定義了所有基本的數位邏輯。
  • 使用真值表來系統性地追蹤任何電路的輸出。
  • 半加法器使用 XOR 得到「和」，使用 AND 得到「進位」。
  • D 型正反器是一個由時脈訊號控制的記憶單元，它在時脈邊緣捕捉資料輸入，並將其保持不變直到下一個時脈邊緣。

請持續練習在布林表達式、邏輯圖與真值表之間進行轉換——這就是考試成功的關鍵！