Number bases

簡介：為什麼數系如此重要？

歡迎來到電腦科學數據表示的世界！這一章起初看起來可能像是純數學，但它卻是電腦運作最根本的基礎。為什麼呢？因為電腦並不使用英語或十進位（Base 10）；它們使用的是二進位（Binary，Base 2）——由 0 和 1 組成的序列。

理解數系與進位轉換，能讓你清楚看到數據如何在處理器內部被儲存、處理和表示。這些知識對於後續學習組合語言、浮點數以及數據儲存計算等課題至關重要。

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1. 核心數系 (3.5.1)

1.1 十進位 (Decimal, Base 10) – 我們日常使用的系統

我們每天都在使用十進位系統。它被稱為 Base 10，是因為它使用了 10 個獨特的數字（0 到 9）。

• 基數 (Base)： 10
• 所用數字： 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

我們透過位值表示法 (Positional Notation) 來理解數值，即數字所在的位置決定了它代表 10 的幾次方。
例子：十進位數 459 實際上是：

$$4 \times 10^2 + 5 \times 10^1 + 9 \times 10^0$$

1.2 二進位 (Binary, Base 2) – 電腦的語言

電腦使用二進位，因為電子電路只能表示兩種狀態：開 (ON, 1) 或 關 (OFF, 0)。每一個 1 或 0 被稱為一個位元 (Bit，Binary Digit)。

• 基數 (Base)： 2
• 所用數字： 0, 1

二進位同樣使用位值表示法，但基於 2 的冪次。
例子：一個 8 位元的二進位數字使用以下的欄位權重：

$$128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1$$

1.3 十六進位 (Hexadecimal, Base 16) – 程式設計師的捷徑

二進位字串（例如 110101100101）通常會變得非常長，人類難以閱讀和記憶。十六進位 (Hex) 是二進位的便利簡寫。

• 基數 (Base)： 16
• 所用數字： 0-9 以及 A-F

十六進位使用 16 個獨特的符號。由於我們只有 10 個數字，因此使用字母 A 到 F 來表示 10 到 15 的數值。

十進位	二進位 (4 bits)	十六進位
0	0000	0
9	1001	9
10	1010	A
15	1111	F

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2. 數系轉換 (3.5.1)

你必須能夠在所有三種進位制之間轉換：十進位 (Base 10)、二進位 (Base 2) 和十六進位 (Base 16)。

2.1 二進位轉十進位 (Base 2 轉 Base 10)

這是最簡單的轉換：將每個數字乘以其對應的 2 的冪次，然後將結果相加。

逐步範例：將 \(101101_2\) 轉換為十進位。

1. 寫出位值欄位標題（2 的冪次，從右邊開始，\(2^0 = 1\)）。
2. 將二進位數字填入標題下方。
3. 將出現 '1' 的欄位數值相加。

$2^5 (32)$	$2^4 (16)$	$2^3 (8)$	$2^2 (4)$	$2^1 (2)$	$2^0 (1)$
1	0	1	1	0	1

$$32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 45$$

結果：\(101101_2 = 45_{10}\)

2.2 十進位轉二進位 (Base 10 轉 Base 2)

對於較大的數字，最可靠的方法是重複除以 2 法 (Repeated Division by 2)，並將餘數按相反順序排列。

逐步範例：將 \(45_{10}\) 轉換為二進位。

1. 將十進位數除以 2。
2. 記錄餘數（0 或 1）。
3. 將商數重複此過程，直到商數為 0。
4. 由下（最高有效位 MSB）至上（最低有效位 LSB）讀取餘數。

除法	商數	餘數 (Bit)
$45 \div 2$	22	1
$22 \div 2$	11	0
$11 \div 2$	5	1
$5 \div 2$	2	1
$2 \div 2$	1	0
$1 \div 2$	0	1

由下向上讀取：101101。
結果：\(45_{10} = 101101_2\)

轉換要點：二進位和十六進位的轉換對於表示數據的內部結構（如記憶體位址或指令代碼）至關重要。

2.3 二進位與十六進位之間的轉換

這種轉換非常直接且簡單，因為 \(16 = 2^4\)。一個十六進位數字剛好可以完全表示四個二進位位元。

二進位轉十六進位：四位一組

從右邊（LSB）開始，將二進位數字每四個分成一組。將每組轉換為對應的單一十六進位數字。

範例：將 \(1101011011_2\) 轉換為十六進位。

1. 在左側補零以組成四位一組：0011 0101 1011
2. 轉換每組：
   • $0011_2 = 3_{16}$
   • $0101_2 = 5_{16}$
   • $1011_2 = B_{16}$（因為 \(11_{10} = B_{16}\)）
3. 合併：35B

結果：\(1101011011_2 = 35B_{16}\)

十六進位轉二進位：展開每個數字

將每個十六進位數字轉換為對應的 4 位元二進位序列。

範例：將 \(E7_{16}\) 轉換為二進位。

1. 轉換 E：$E_{16} = 14_{10} = 1110_2$
2. 轉換 7：$7_{16} = 7_{10} = 0111_2$
3. 合併：11100111

結果：\(E7_{16} = 11100111_2\)

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3. 資訊單位 (3.5.2)

3.1 位元與位元組 (Bits and Bytes)

最小的資訊單位是位元 (bit, b)。一個位元儲存一個 0 或 1。

電腦記憶體和儲存裝置中使用的基本單位是位元組 (byte, B)。

• 一個位元組是由 8 個位元組成的。
• 一個位元組可以表示 \(2^8 = 256\) 種不同的數值（從 0 到 255）。

3.2 \(2^n\) 規則

如果你有 \(n\) 個位元，總共可以表示 \(2^n\) 種不同的數值。

你知道嗎？電腦系統中可定址的記憶體大小也取決於位址匯流排 (Address Bus) 的位元數（例如，32 位元位址匯流排可以存取 \(2^{32}\) 個位置）。

例子：

• 2 個位元可以表示 \(2^2 = 4\) 個值（00, 01, 10, 11）。
• 3 個位元可以表示 \(2^3 = 8\) 個值（000 到 111）。
• 16 個位元可以表示 \(2^{16} = 65,536\) 個值。

3.3 十進位與二進位前綴

當討論儲存量（KB, MB 等）時，有兩種系統，分別基於 10 的冪次或 2 的冪次。區分標準十進位前綴（kilo, mega）與二進位前綴（kibi, mebi）非常重要。

十進位前綴（10 的冪次）

這些是數學和大多數儲存裝置製造商（如硬碟）所使用的標準單位。

名稱	符號	10 的冪次	近似值
kilo	k	$10^3$	1,000
mega	M	$10^6$	1,000,000
giga	G	$10^9$	1,000,000,000
tera	T	$10^{12}$	$10^{12}$

例子：1 kB (kilobyte) = \(10^3\) bytes (1,000 bytes)

二進位前綴（2 的冪次）

這些前綴由電腦系統用於指代記憶體和數據大小，因為所有內容都基於 2 的冪次。標準二進位前綴在中間加上了 "bi"（kibi, mebi, gibi, tebi）。

名稱	符號	2 的冪次	精確值
kibi	Ki	$2^{10}$	1,024
mebi	Mi	$2^{20}$	1,048,576
gibi	Gi	$2^{30}$	$2^{30}$
tebi	Ti	$2^{40}$	$2^{40}$

例子：1 KiB (kibibyte) = \(2^{10}\) bytes (1,024 bytes)

類比：可以將其想像為測量長度。十進位的 kilo 正好是 1000 米；而二進位的 kibi 稍微長一點，是 1024 米。

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4. 二進位整數表示 (3.5.3)

4.1 無號二進位 (Unsigned Binary, 3.5.3.1)

無號二進位用於表示正整數（以及零）。「無號」意指沒有專門的位元來指示數字是正還是負。

• 所有位元都用於表示數字的大小（數值）。
• 最小值始終為 0。
• 對於 \(n\) 個位元，最大值為 \(2^n - 1\)。

例子：在 8 位元無號二進位中，範圍是 0 到 \(2^8 - 1\)（即 0 到 255）。

4.2 無號二進位算術 (3.5.3.2)

二進位加法

二進位加法的規則很簡單，就像十進位加法一樣，但當總和達到 2 時就會進位。

$A$	$B$	和	進位 (Carry)
0	0	0	0
0	1	1	0
1	0	1	0
1	1	0	1 (進位 1)
1 + 1 + 進位 1		1	1 (進位 1)

範例：在 4 位元中計算 \(5_{10} + 3_{10}\)

   1  1  0  0 <-- 進位
     0  1  0  1  (5)
+    0  0  1  1  (3)
-----------------
     1  0  0  0  (8)

處理溢位 (Overflow)

如果加法的結果超過了分配位元數的最大範圍，就會發生溢位 (overflow)。這個多出來的位元會丟失，導致結果錯誤。
例子：在 4 位元無號二進位中計算 \(15 + 1\)：

     1  1  1  1  (15)
+    0  0  0  1  (1)
-----------------
(1)  0  0  0  0  (0 - 錯誤！)

第 5 個位元（1）是溢位並被丟棄，這意味著 \(15 + 1\) 看起來等於 0。

二進位乘法

二進位乘法使用簡單的移位和加法，類似於十進位的長乘法，但我們只需要乘以 0 或 1。

範例：\(101_2 \times 11_2\) (\(5 \times 3\))

      1 0 1
    x 0 1 1
    -------
      1 0 1 (101 x 1)
+  1 0 1 0 (101 x 1 左移)
    -------
   1 1 1 1  (15)

結果：\(1111_2 = 15_{10}\)

4.3 使用二補數 (Two's Complement) 表示有號二進位 (3.5.3.3)

為了表示負數，我們使用有號二進位。此課程大綱中你唯一需要掌握的方法是二補數 (Two's Complement)。

在二補數中，最高有效位 (MSB)（最左邊的位元）作為符號指示器：

• 若 MSB 為 0，該數為正數。
• 若 MSB 為 1，該數為負數。

將正十進位轉換為二補數

這與轉換為無號二進位相同，但如果你在特定的位元長度（例如 8 位元）下工作，必須確保開頭有 0。

例子：8 位元的 +13 表示為 \(00001101_2\)。

將負十進位轉換為二補數

遵循「反轉並加 1 (Flip and Add 1)」法則：

1. 找出該數的正數二進位表示（例如，對於 -13，使用 +13）。
2. 反轉 (Flip) 所有位元（0 變 1，1 變 0）。這稱為一補數 (One's Complement)。
3. 對反轉後的結果加 1。

逐步範例：將 \(-13_{10}\) 轉換為 8 位元二補數。

1. 正 13：\(00001101\)
2. 反轉位元（一補數）：\(11110010\)
3. 加 1：

       11110010
   +          1
       --------
       11110011
           

結果：\(-13_{10} = 11110011_2\)。(請注意 MSB 為 1，確認其為負數)。

將二補數轉換回十進位

若 MSB 為 0，按正常方式轉換（它是正數）。

若 MSB 為 1（它是負數），可以使用捷徑：將 MSB 當作負權重，其餘部分正常加總。

範例：將 \(11110011_2\) 轉換回十進位 (8 位元)。

$-2^7 (-128)$	$2^6 (64)$	$2^5 (32)$	$2^4 (16)$	$2^3 (8)$	$2^2 (4)$	$2^1 (2)$	$2^0 (1)$
1	1	1	1	0	0	1	1

$$(-128) + 64 + 32 + 16 + 0 + 0 + 2 + 1 = -13$$

二補數減法

在電腦算術中，減法 (A - B) 是通過加上 B 的負數來執行的：$$A - B = A + (-B)$$

逐步範例：在 8 位元中計算 \(25_{10} - 10_{10}\)。

我們執行 \(25 + (-10)\)。

1. 正 25：\(00011001\)
2. 負 10 (\(-10_{10}\))：
   • 正 10：00001010
   • 反轉：11110101
   • 加 1：11110110
3. 將這兩個二進位數相加：

     1 1 1 1 1 0 0 0 <-- 進位
       0 0 0 1 1 0 0 1  (25)
   +   1 1 1 1 0 1 1 0  (-10)
   ------------------
   (1) 0 0 0 0 1 1 1 1  (15)
           

最後的進位（括號內）在二補數算術中會被丟棄。剩餘的 8 位元 \(00001111_2\) 轉換為 \(15_{10}\)。

結果：減法成功通過加法完成。

二補數中 \(n\) 位元的範圍

由於一個位元專用於符號，因此最大範圍比無號二進位小。

對於 \(n\) 個位元，範圍是：

$$\text{最小值：} -2^{n-1}$$ $$\text{最大值：} +2^{n-1} - 1$$

例子：對於 8 位元 (\(n=8\))：

• 最小值：$-2^{(8-1)} = -2^7 = -128$
• 最大值：$2^{(8-1)} - 1 = 2^7 - 1 = 127$