The binary number system - Computer Science (9645) - Oxford AQA International A-level

👋 歡迎來到二進制數系！

歡迎來到計算機科學所有基礎知識的基石！這一章「二進制數系」是你探索數據表示（Representing Data）旅程的一部分。電腦所做的一切——從顯示一張相片到執行複雜的運算——歸根究底都是由「1」和「0」組成的。

如果數字不是你最喜歡的科目，也不用擔心。我們將拆解這些概念，比較不同的數系（二進制、十進制、十六進制），並學習電腦處理負數和分數等棘手問題的巧妙技巧。讓我們開始吧！

1. 基礎：數基與單位 (3.5.1 & 3.5.2)

1.1 理解不同的數基（10、2、16 進制）

我們習慣使用十進制（Decimal），即基數 10 來計數。然而，電腦是以電力（開或關）運作的，因此它們使用二進制（Binary），即基數 2。

十進制（基數 10）： 使用 10 個數字（0–9）。每一位代表 10 的冪（個位、十位、百位、千位……）。
二進制（基數 2）： 只使用 2 個數字（0 和 1）。每一位代表 2 的冪（1, 2, 4, 8, 16……）。這些單個數字被稱為位元（Bits）。
十六進制（基數 16）： 使用 16 個符號（0–9 以及 A–F）。這個系統是二進制的縮寫，讓程式設計師更容易閱讀冗長的二進制字串。

你知道嗎？「十六進制」使用 A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15。

1.2 資訊單位

資訊的最小單位是位元（Bit）（單個 0 或 1）。不過，數據通常會分組處理：

位元組（Byte）是一組 8 個位元。
使用 \(n\) 個位元可以表示的唯一數值數量為 \(2^n\)。
例子：使用 3 個位元，你可以表示 \(2^3 = 8\) 個不同的數值（從 000 到 111）。

1.3 二進制與十進制前綴（Kilo 的爭議）

談到電腦記憶體大小時，我們會使用前綴，但主要有兩種類型：

二進制前綴（2 的冪） - 用於儲存空間/記憶體：

這些基於 \(2^{10}\) (1024) 的冪，通常用於精確定義記憶體大小。

Kibi (Ki)： \(2^{10}\) (1,024)
（例如：1 KiB = 1024 Bytes）
Mebi (Mi)： \(2^{20}\) (1,048,576)
Gibi (Gi)： \(2^{30}\)
Tebi (Ti)： \(2^{40}\)

十進制前綴（10 的冪） - 用於通訊速度：

這是我們在數學和科學中使用的標準前綴，基於 \(10^3\) (1000) 的冪。

kilo (k)： \(10^3\) (1,000)
（例如：1 kB = 1000 Bytes）
mega (M)： \(10^6\) (1,000,000)
giga (G)： \(10^9\)
tera (T)： \(10^{12}\)

重點： 電腦以二進制（基數 2）溝通。十六進制（基數 16）是人類友好的速記法。討論數據容量時，請務必記住 Kibi (\(2^{10}\)) 與 kilo (\(10^3\)) 之間的區別。

1.4 數基轉換

雖然轉換不會單獨作為考題，但你需要能夠在處理其他主題（如浮點數或組合語言）時進行轉換。

十進制轉二進制（例子：將 42 (基數 10) 轉換為二進制）

找出能放入 42 的最大 2 的冪（即 32）。在該位置放 1。
用 42 減去 32，餘數為 10。
檢查下一個 2 的冪（16）。16 能放入 10 嗎？不能。放 0。
檢查 8。8 能放入 10 嗎？可以。放 1，餘數為 2。
檢查 4。4 能放入 2 嗎？不能。放 0。
檢查 2。可以。放 1，餘數為 0。
檢查 1。不能。放 0。

42₁₀ = 00101010₂ (以 8 位元表示)

二進制轉十六進制（快捷方法）

從右往左，將二進制數字每 4 個分為一組。（每組 4 個位元稱為半位元（nibble），精確對應一個十六進制數字）。
將每個半位元轉換為對應的十六進制數。

例子：10110011
第 1 組：1011 (8 + 2 + 1) = 11。在十六進制中為 B。
第 2 組：0011 (2 + 1) = 3。在十六進制中為 3。
結果：10110011₂ = B3₁₆

2. 表示正整數：無符號二進制（Unsigned Binary, 3.5.3.1）

2.1 無符號二進制 vs. 有符號二進制

無符號二進制是最簡單的形式，其中所有位元都用於表示正數的大小。它沒有表示負數的機制。

有符號二進制（接下來會介紹）保留一個位元（通常是最高有效位，即 MSB）來表示數字是正數還是負數。

2.2 無符號整數的範圍

如果你有 \(n\) 個位元，無符號二進制能表示的數值範圍是：

最小值：0
最大值：\(2^n - 1\)

例子：使用 8 個位元 (\(n=8\))
最大值：\(2^8 - 1 = 256 - 1 = 255\)。
範圍：0 到 255。

2.3 無符號二進制運算（3.5.3.2）

二進制的加法和乘法規則與十進制算術類似，但只有當總和為 2 或以上時，才需要進位 1。

二進制加法規則：

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 1 = 0（進位 1）
1 + 1 + 1（進位輸入）= 1（進位 1）

加法例子 (12 + 5 = 17)：

1 1 0 0 (12)
+ 0 1 0 1 (5)
-----
1 0 0 0 1 (17)

常見錯誤： 進行算術運算時，如果結果所需的位元數超過了分配的空間，就會出現溢位錯誤（overflow error）（將在第 5 節介紹）。

重點： 無符號二進制簡單易用，只能表示正數，且最大值永遠是 \(2^n - 1\)。

3. 表示負整數：二補數（Two's Complement, 3.5.3.3）

二補數是考試中唯一需要掌握的有符號二進制表示法。它允許電腦使用標準的加法電路來進行減法運算，從而簡化了硬體設計。

3.1 識別符號

在二補數中：

最高有效位（MSB）（最左邊的位元）用於表示符號。
如果 MSB 是 0，該數為正數。
如果 MSB 是 1，該數為負數。

3.2 二補數整數的範圍

由於一個位元被保留用於表示符號，因此在相同位元數下，其最大範圍比無符號二進制小。

對於 \(n\) 個位元，範圍是：

最大正值：\(2^{n-1} - 1\)
最小負值：\(-2^{n-1}\)

例子：使用 8 個位元 (\(n=8\))
最大正值：\(2^7 - 1 = 127\)。
最小負值：\(-2^7 = -128\)。
範圍：-128 到 +127。

3.3 將負的十進制數轉換為二補數

逐步技巧（「反轉並加 1」方法）：

目標：用 8 位元表示 -5。

找出正數的二進制： +5 在 8 位元中為 0000 0101。
反轉（Flip）位元： 將所有 0 變為 1，所有 1 變為 0（這稱為一補數）。
0000 0101 變為 1111 1010。
對結果加 1：
1111 1010 + 1 = 1111 1011。
這就是 -5 的二補數。（注意 MSB 是 1，表示這是一個負數）。

3.4 使用二補數進行減法

二補數的天才之處在於，減法 (A - B) 等同於加法 (A + (-B))。

例子：計算 12 - 5（以 8 位元表示）

表示 12： 0000 1100
表示 -5： 1111 1011 (來自 3.3 步驟)
將它們相加：
0000 1100 (+12)
+ 1111 1011 (-5)
----------
(1) 0000 0111 (+7)

如果計算結果在分配的位元內，最後的進位位元 (1) 將會被忽略。結果 0000 0111 為 7，是正確的。

重點： 二補數讓電腦能夠表示負數，並透過加法執行減法。MSB 會告訴你符號。

4. 表示小數（3.5.3.4, 3.5.3.8, 3.5.3.9）

為了表示含有小數部分的數字（實數），電腦使用兩種主要方法：定點數（Fixed Point）和浮點數（Floating Point）。

4.1 定點數表示法

在定點數中，二進制小數點的位置是預先設定好的，並且保持「固定」。

我們分配固定數量的位元給整數部分（點的左邊），並分配固定數量的位元給分數部分（點的右邊）。
小數點右邊使用的冪是負 2 的冪：\(2^{-1}\) (0.5), \(2^{-2}\) (0.25), \(2^{-3}\) (0.125) 等。

例子（4 位元整數，4 位元分數）：
1 0 1 1 . 0 1 0 0
\( (8+0+2+1) . (0.25) \) = 11.25

4.2 浮點數表示法（簡化版）

浮點數是電腦版的科學記號表示法（例如：\(6.022 \times 10^{23}\)）。二進制小數點可以「浮動」以最大化有效位數的表示。

浮點數由兩個主要部分組成，通常都使用二補數表示：

尾數（Mantissa, M）： 表示數字的有效位數（精度）。
指數（Exponent, E）： 表示尾數所乘的 2 的冪（範圍）。

數值計算公式為： \( M \times 2^E \)

4.2.1 範圍 vs. 精度

位元在尾數和指數之間的分配方式決定了系統的能力：

精度（Precision）： 取決於尾數中的位元數。尾數位元越多，數字表示越精確（捨入誤差越小）。
範圍（Range）： 取決於指數中的位元數。指數位元越多，儲存極大或極小數字的能力越強。

4.2.2 正規化（Normalisation, 3.5.3.9）

為了確保每個數字都有唯一的表示形式並最大化精度，浮點數必須經過正規化。

為什麼要正規化？ 為了將二進制小數點放在一個標準位置，從而消除多餘的零。

正規化規則： 尾數必須以「01...」（對於正數）或「10...」（對於負數）開頭。

如何正規化（過程）：

移動二進制小數點，直到尾數以 01（正數）或 10（負數）開頭。
更新指數以反映你移動小數點的位數。

例子：非正規化正數 001100 \(\times 2^2\)（6 位元尾數，4 位元指數）
1. 將小數點向右移動 1 位：0.1100。
2. 新指數：\(2^2\) 變為 \(2^{2-1} = 2^1\)。
結果：011000 \(\times 2^1\)。(開頭的 0 是符號位元，小數點後的第一個數是 1，以滿足 01... 的條件)。

4.3 比較定點數與浮點數（3.5.3.8）

	定點數	浮點數
範圍	非常有限。	非常大（由指數決定）。
精度	固定，但有限（由分數位元決定）。	高（由尾數決定）。
速度	運算較快（算術簡單）。	運算較慢（需要複雜硬體來進行移位/正規化）。
用途	簡單財務系統（需固定精度）。	科學建模、圖形處理、大規模運算。

重點： 浮點數提供了巨大的範圍（指數）和良好的精度（尾數），但對於數值大小差異不大的運算，定點數更簡單且更快速。

5. 表示法的限制與錯誤（3.5.3.5, 3.5.3.6, 3.5.3.7）

5.1 捨入誤差（精度不足, 3.5.3.5）

二進制系統無法精確表示所有十進制分數，就像我們無法在十進制中完美寫出 1/3（它是 0.3333...）一樣。

十進制數字（如 0.1）可能需要無限多的二進制位元才能真正精確。
由於電腦使用固定位元數（有限精度），它必須對表示進行截斷或捨入，從而導致小的捨入誤差。

5.2 絕對誤差與相對誤差（3.5.3.6）

當運算不精確時，我們需要一種方法來衡量誤差：

絕對誤差（Absolute Error）： 真值與表示值之間的實際差異。
公式：\( | \text{真值} - \text{存儲值} | \)
相對誤差（Relative Error）： 絕對誤差除以真值（以百分比或分數表示）。這通常更有用，因為它顯示了相對於數字大小的誤差。
公式：\( \frac{\text{絕對誤差}}{\text{真值}} \)

例子：如果真值是 200，絕對誤差 100 是巨大的（50% 相對誤差）；但如果真值是 1,000,000，絕對誤差 100 則是微不足道的（0.01% 相對誤差）。

5.3 溢位（Overflow）與下溢（Underflow）

當運算結果超出分配位元所能表示的範圍時，就會發生這些錯誤。

溢位（Overflow）： 當結果太大（太正或太負），無法儲存在可用位元數中時發生。
想像一下試圖在 8 位元無符號系統（最大值 255）中儲存 300。這就是溢位。
下溢（Underflow）： 當結果太接近零，無法精確表示時發生，這意味著系統能儲存的最接近表示值為 0。
這通常發生在極小的分數（浮點數）中，指數太小而無法處理。

重點： 電腦使用有限的位元，導致固有的限制（捨入誤差）。溢位和下溢錯誤定義了系統範圍的邊界。

🧠 快速複習清單

我會進行二進制、十進制和十六進制之間的轉換嗎？
我會計算 n 位元無符號數的範圍嗎？(0 到 \(2^n - 1\))
我會計算 n 位元有符號數的範圍嗎？(\(-2^{n-1}\) 到 \(2^{n-1} - 1\))
我會使用二補數來表示負數並執行減法嗎？
我理解在浮點數中尾數控制精度而指數控制範圍嗎？
我能解釋正規化及其必要性嗎？
我區分得開溢位（太大）和下溢（太接近零）嗎？

恭喜！你已經掌握了數字如何在電腦內部管理的基礎概念。繼續練習那些轉換和二補數步驟吧！

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