【数学Ⅱ】図形と方程式：座標を使って図形をマスターしよう！

こんにちは！この章では、これまで「図形」として図で考えてきたものを、「数式」の世界に持ち込んで解いていく方法を学びます。この分野ができるようになると、複雑な図形の問題も計算でスマートに解けるようになりますよ。

最初は「数式ばかりで難しそう…」と感じるかもしれませんが、大丈夫です。基本の公式を一つずつ整理していけば、共通テストでも大きな得点源になります。まずは点と線の基本からスタートしましょう！

1. 点の座標と線分の比

まずは平面上の「点」について整理します。座標平面上の2つの点の距離や、その間を分ける点の求め方です。

① 2点間の距離

2点 \(A(x_1, y_1)\) と \(B(x_2, y_2)\) の間の距離 \(AB\) は、三平方の定理を使って次の式で求められます。

\(AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)

② 線分の内分点・外分点

2点 \(A(x_1, y_1)\)、\(B(x_2, y_2)\) を結ぶ線分 \(AB\) を \(m:n\) に分ける点を考えます。

  • 内分点： \(\left( \frac{nx_1 + mx_2}{m + n}, \frac{ny_1 + my_2}{m + n} \right)\)
  • 外分点： \(\left( \frac{-nx_1 + mx_2}{m - n}, \frac{-ny_1 + my_2}{m - n} \right)\)

ポイント： 内分点は「たし算」、外分点は「\(n\) の方をマイナスにする」と覚えると間違いにくいですよ！ちなみに、\(m:n = 1:1\) のときの内分点が「中点」になります。

よくある間違い： 内分・外分を計算するとき、\(x_1\) に掛けるのは \(n\) で、\(x_2\) に掛けるのは \(m\) です。「遠い方の数字を掛ける（たすき掛け）」と意識しましょう。

2. 直線の方程式

図形としての「直線」を「方程式」で表します。傾きと通る点が重要です。

① 直線の基本形

点 \((x_1, y_1)\) を通り、傾きが \(m\) の直線の方程式は：
\(y - y_1 = m(x - x_1)\)

また、異なる2点 \((x_1, y_1)\), \((x_2, y_2)\) を通る直線は、傾きを \(\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) として計算します。

② 2直線の関係（平行と垂直）

2つの直線 \(y = m_1x + n_1\) と \(y = m_2x + n_2\) について：

  • 平行： \(m_1 = m_2\) （傾きが同じ）
  • 垂直： \(m_1 m_2 = -1\) （傾きの積が \(-1\)）

ポイント： 「垂直なら掛けて \(-1\)」は非常に重要です。例えば、傾きが \(3\) の直線に垂直な直線の傾きは \(-\frac{1}{3}\) になります。

③ 点と直線の距離

点 \((x_0, y_0)\) と直線 \(ax + by + c = 0\) の距離 \(d\) は、次の公式で一発で求められます。

\(d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)

※この公式は共通テストで非常によく使われます。必ず暗記しておきましょう！

3. 円の方程式

円は「中心からの距離が一定な点の集まり」です。

① 円の基本形

中心が \((a, b)\)、半径が \(r\) の円の方程式は：
\((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\)

特に、中心が原点 \((0, 0)\) なら \(x^2 + y^2 = r^2\) となります。

② 円と直線の位置関係

円と直線が「2点で交わるか」「接するか」「離れているか」を調べるには、2つの方法があります。

  1. 判別式 \(D\) を使う： 直線の式を円の式に代入して、2次方程式の判別式を調べる。
  2. 距離 \(d\) と半径 \(r\) を比べる： 円の中心と直線の距離 \(d\) を求め、半径 \(r\) と比較する。（おすすめ！）
    • \(d < r\) ：2点で交わる
    • \(d = r\) ：接する
    • \(d > r\) ：共有点をもたない

ポイント： 計算ミスを減らすには、②の「距離 \(d\) と半径 \(r\) の比較」を使うのがスマートです。

③ 円の接線の方程式

円 \(x^2 + y^2 = r^2\) 上の点 \((x_1, y_1)\) における接線の方程式は：
\(x_1x + y_1y = r^2\)

豆知識： デカルト（数学者）は、天井を這うハエの位置を説明するために「座標」のアイデアを思いついたと言われています。もしハエが円を描いて飛んでいたら、まさにこの「円の方程式」になりますね！

4. 軌跡と領域

「条件を満たしながら動く点」や「不等式が表す範囲」について学びます。

① 軌跡（きせき）

ある条件を満たして動く点 \(P\) が描く図形を「軌跡」といいます。
解き方の手順：
1. 求めたい点 \(P\) の座標を \((x, y)\) と置く。
2. 与えられた条件を \(x, y\) の式で表す。
3. その式を整理して、知っている図形（直線や円など）の形にする。
4. 逆に、その図形上のすべての点が条件を満たすか確認する（除外点に注意）。

② 不等式の表す領域

不等式 \(y > f(x)\) や \(y < f(x)\) は、平面上の「エリア（領域）」を表します。

  • \(y > f(x)\) ：境界線 \(y = f(x)\) の上側
  • \(y < f(x)\) ：境界線 \(y = f(x)\) の下側
  • \((x-a)^2 + (y-b)^2 < r^2\) ：円の内部
  • \((x-a)^2 + (y-b)^2 > r^2\) ：円の外部

よくある間違い： 境界線を含むか含まないかに注意しましょう！不等号に「\(=\)」がついていれば境界線を含み、ついていなければ含みません。

まとめ：この章の攻略法

「図形と方程式」を攻略する最大のコツは、「図を簡単に描いて、数式と一致させること」です。計算だけで解こうとするとミスに気づきにくいですが、図を描いておけば「答えがマイナスになるのはおかしいな？」とすぐに気づけます。

Key Takeaways:

  • 内分・外分： たすき掛けで計算！
  • 垂直な直線： 傾きを掛けて \(-1\)！
  • 点と直線の距離： あの複雑な公式は絶対に暗記！
  • 円と直線： 中心との距離 \(d\) と半径 \(r\) を比較！
  • 領域： 不等号の向きで「上か下か」「内か外か」を判断！

最初は計算が少し大変かもしれませんが、繰り返し練習すればパターンが見えてきます。一歩ずつ進んでいきましょう！