万有引力

【物理】様々な運動：万有引力

皆さん、こんにちは！今回は、宇宙規模の壮大なテーマである「万有引力」について学んでいきましょう。
「宇宙の話なんて難しそう…」と思うかもしれませんが、実はこれまでの「円運動」や「エネルギー保存の法則」の知識がそのまま使えます。リンゴが落ちるのも、月が地球の周りを回るのも、すべて同じルールで説明できるのがこの分野の面白いところです！

最初は少し計算が複雑に見えるかもしれませんが、ポイントを押さえれば大丈夫です。一緒に宇宙の法則をマスターしましょう！

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1. ケプラーの法則

惑星が太陽の周りをどのように運動しているか、ケプラーという科学者が3つの法則にまとめました。これが万有引力を理解するための第一歩です。

第1法則（楕円軌道の法則）

惑星は、太陽を1つの焦点とする楕円軌道上を運動しています。
※「円」ではなく「楕円」であるところがポイントです！

第2法則（面積速度一定の法則）

惑星と太陽を結ぶ線分が、単位時間（一定時間）に通過する面積（面積速度）は、常に一定です。
つまり、太陽に近いときは速く、遠いときはゆっくり動くということです。

第3法則（調和の法則）

惑星の公転周期 \(T\) の2乗と、楕円軌道の半長軸（平均半径） \(a\) の3乗の比は、すべての惑星で一定になります。

公式： \(\frac{T^2}{a^3} = k\) （一定）

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2. 万有引力の法則

ニュートンは、ケプラーの法則をもとに「質量を持つすべての物体の間には、引き合う力が働いている」と考えました。

万有引力の式

質量 \(M\) と質量 \(m\) の2つの物体が、距離 \(r\) だけ離れているとき、その間に働く力 \(F\) は次のようになります。

公式： \(F = G \frac{Mm}{r^2}\)

ここで、 \(G\) は万有引力定数（非常に小さな値）です。

• 距離の2乗に反比例する（離れるほど急激に弱くなる）。
• お互いの質量の積に比例する（重いものほど強く引き合う）。

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3. 万有引力による位置エネルギー

これまでは地上付近の重力による位置エネルギー \(mgh\) を使ってきましたが、宇宙規模（距離が大きく変わる場合）では別の式を使います。

位置エネルギーの定義

公式： \(U = -G \frac{Mm}{r}\)

「なぜマイナスがつくの？」と疑問に思うかもしれませんね。これは、「無限に遠い場所（ \(r = \infty\) ）をエネルギーの基準（0）」と決めているからです。物体は引き合っているため、無限遠から近づくほどエネルギーは減少（マイナスが大きく）していきます。

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4. 万有引力による物体の運動

人工衛星や惑星の運動を考えるときは、「万有引力が向心力（円運動の力）の役割を果たす」と考えます。

第一宇宙速度（人工衛星になるための速さ）

地球の表面すれすれを円運動するために必要な速さ \(v_1\) です。
地球の質量を \(M\)、半径を \(R\) とすると、運動方程式は次のようになります。

\(m \frac{v_1^2}{R} = G \frac{Mm}{R^2}\)

これを解くと： \(v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}}\) （約 7.9 km/s）

第二宇宙速度（脱出速度）

地球の重力を振り切って、無限の彼方へ飛んでいくために必要な最小の初速度 \(v_2\) です。これは力学的エネルギー保存の法則を使って求めます。

（地表でのエネルギー）＝（無限遠でのエネルギー 0）
\(\frac{1}{2} m v_2^2 + \left( -G \frac{Mm}{R} \right) = 0\)

これを解くと： \(v_2 = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{2} v_1\) （約 11.2 km/s）

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まとめ：万有引力攻略の3ステップ

1. ケプラーの法則で、周期と半径の関係（第3法則）を確認する。
2. 万有引力の公式 \(F = G \frac{Mm}{r^2}\) を正しく書けるようにする。
3. 位置エネルギーのマイナスを忘れずに、エネルギー保存の式を立てる。

最初はスケールが大きくて戸惑うかもしれませんが、基本はこれまでの「運動」のルールと同じです。何度も公式を書いて、図を描きながらイメージを膨らませてみてくださいね。応援しています！