微分法：練習問題

関数 \( f(x) = -x^3 + 12x \) が増加する \( x \) の値の範囲を求めなさい。

曲線 \( y = x^3 - 3x \) 上の点 \( (2, 2) \) における接線の方程式を求めなさい。

関数 \( f(x) = x^3 - 3ax^2 + 3a^2x \) （ただし \( a > 0 \)）の極値の個数を求めなさい。

曲線 \( y = x^2 - 4x + 1 \) 上の点 \( (3, -2) \) における接線の傾きを求めなさい。

関数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + ax + 1 \) が常に単調に増加するとき、定数 \( a \) の値の範囲を求めなさい。

関数 \( f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x + 1 \) の極値を求めなさい。

関数 \( f(x) = x \ln x \) (\( x > 0 \)) について、次の問いに答えなさい。
(a) 増減を調べ、極値を求めなさい。
(b) 曲線 \( y = f(x) \) の凹凸を調べ、変曲点があれば求めなさい。