微分法：練習問題

関数 \( f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x \) において、\( x = 2 \) における微分係数 \( f'(2) \) の値を求めなさい。

曲線 \( y = x^2 + ax + b \) が点 \( (1, 4) \) を通り、その点における接線の傾きが \( 5 \) であるとき、定数 \( a, b \) の値を求めなさい。

底面の半径が \( 4 \text{ cm} \)、高さが \( 12 \text{ cm} \) の逆円錐形の空の容器がある。この容器に毎秒 \( 2\pi \text{ cm}^3 \) の一定の割合で水を注ぐとき、水の深さが \( 6 \text{ cm} \) になった瞬間における水面の上昇する速さを求めなさい。

関数 \( y = (2x + 3)^2 \) の導関数 \( \frac{dy}{dx} \) を求めなさい。

商の微分法を用いて、関数 \( y = \frac{e^x}{x} \) の導関数を求めなさい。

関数 \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) が \(x=1\) で極大値 5、\(x=3\) で極小値 1 をとるとき、定数 \(a, b, c, d\) の値を求めなさい。