統計的な推測：練習問題

標本調査において、母集団から抽出された個体の数（データの個数）を何というか。

母集団の平均が \( \mu \)、標準偏差が \( \sigma = 12 \) である。この母集団から大きさ \( n \) の無作為標本を抽出して、標本平均 \( \bar{X} \) を計算する。標本平均の標準偏差（標準誤差）を \( 1.5 \) 以下にするために必要な最小の標本サイズ \( n \) を求めなさい。

正規分布 \( N(m, \sigma^2) \) に従う母集団から大きさ \( n \) の標本を抽出して母平均 \( m \) を推定するとき、信頼度を固定したまま信頼区間の幅を半分にするためには、標本の大きさ \( n \) を何倍にすればよいか求めなさい。

ある製品の不良品率を調査するため、無作為に \( 100 \) 個を抽出したところ、不良品が \( 20 \) 個含まれていた。この結果から得られる不良品率の標本比率 \( \hat{p} \) の標準偏差（標準誤差）として、最も適切な値を求めなさい。

ある製品の不良品率が \( p \) である。この製品から \( 400 \) 個を無作為に抽出したところ、\( 32 \) 個の不良品が含まれていた。母不良品率 \( p \) に対する信頼度 \( 95\% \) の信頼区間を求めなさい。ただし、\( 1.96 \sqrt{0.08 \times 0.92 / 400} \approx 0.027 \) とする。

母平均 \(m\)、母標準偏差 \(30\) を持つ正規分布に従う母集団から、大きさ \(n\) の無作為標本を抽出する。標本平均 \(\bar{X}\) と \(m\) の差の絶対値が 5 以下である確率を 0.95 以上にするために必要な最小の標本数 \(n\) を求めなさい。ただし、必要であれば標準正規分布表の値 \(P(0 \le Z \le 1.96) = 0.475\) を用いなさい。