複素数と方程式：練習問題

複素数 \( z = 1 + i \) の共役複素数 \( \bar{z} \) との積 \( z\bar{z} \) の値を求めなさい。

複素数 \( z \) について、\( z^2 = i \) を満たす \( z \) を \( a+bi \) (\( a, b \) は実数) の形で表したとき、正しい組み合わせはどれか。

\( 3 \) 次方程式 \( x^3 + px + q = 0 \) の \( 3 \) つの解を \( \alpha, \beta, \gamma \) とするとき、\( \alpha^2\beta + \beta^2\gamma + \gamma^2\alpha + \alpha\beta^2 + \beta\gamma^2 + \gamma\alpha^2 \) の値を \( p, q \) を用いて表しなさい。

2次方程式 \( x^2 + 4x + 5 = 0 \) の解を求めなさい。

不等式 \( |z - 4| + |z + 4| = 10 \) を満たす複素数 \( z \) が描く図形について、その短軸の長さを求めなさい。

複素数 \( z = a + bi \) （\( a, b \) は実数）が等式 \( (1+i)z + 3 - i = 0 \) を満たすとき、\( a \) と \( b \) の値を求めなさい。

方程式 \( x^3 - 3x^2 + 4x - 2 = 0 \) の3つの解を \( \alpha, \beta, \gamma \) とするとき、\( \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} \) の値を求めなさい。

(1) 複素数 \( z = 1 + i \) について、\( z^2 \) を計算し、\( a + bi \)（\( a, b \) は実数）の形で表せ。
(2) (1) の結果を利用して、2次方程式 \( x^2 - 2x + 2 = 0 \) の解が \( 1 \pm i \) であることを示せ。

\( P(x) = x^3 + ax^2 + bx + 6 \) とする。ここで、\( a, b \) は定数である。
(1) \( P(x) \) を \( x - 1 \) で割った余りが \( 8 \) であり、\( x + 2 \) で割った余りが \( 0 \) であるとき、\( a \) と \( b \) の値を求めよ。
(2) (1) で求めた \( a, b \) の値を用いて、方程式 \( P(x) = 0 \) を解け。