パラメトリック検定とノンパラメトリック検定：独立性の検定へようこそ！

これまでのCFAの学習を通じて、データの記述方法や単一の平均値・分散に関する仮説検定について学んできましたね。しかし、実際の金融の現場では、一つの指標だけを孤立して見ることは滅多にありません。「株式のパフォーマンスは業種と関係があるのか？」「CEOの学歴は企業の収益率に影響を与えるのか？」といった疑問が常に浮かぶはずです。

この章では、2つの変数が独立（関係がない）しているのか、それとも従属（関係がある）しているのかを検証する方法を探ります。主な手法として、カイ二乗検定（Chi-Square Test）とスピアマンの順位相関係数（Spearman’s Rank Correlation）の2つを学びます。難しそうな用語に見えるかもしれませんが、大丈夫です。一つひとつ噛み砕いて解説していきます！

クイック復習：「独立」とはどういう意味？
2つの事象が独立しているとは、片方の発生がもう一方の発生確率に何の影響も与えないことを意味します。例えば、コイン投げの結果とロンドンの天気は独立しています。一方で、金利と債券価格は従属しています。


1. パラメトリック検定 vs. ノンパラメトリック検定：全体像

具体的な検定に入る前に、統計的検定の2つの「ファミリー」を理解しておきましょう。

パラメトリック検定

これらはデータに対して厳格な仮定を置く検定です。通常、データが特定の分布（正規分布など）に従うと仮定し、平均や分散といったパラメータを使用します。料理のレシピのようなもので、正確な材料が揃っていないとケーキが膨らまないのと同じです。

ノンパラメトリック検定

こちらはより柔軟です。データが正規分布に従っている必要はありません。サンプルサイズが小さい場合、外れ値がある場合、あるいは正確な数値ではなく「1位、2位」といった順位データを扱う際によく使われます。こちらは「タコスバー」のようなもので、材料を入れ替えても上手く機能します！

重要なポイント：データが「乱雑」であるか、パラメトリック検定の厳格な要件を満たさない場合は、ノンパラメトリック検定を使います。


2. カイ二乗（\(\chi^2\)）独立性の検定

カイ二乗検定はカテゴリデータを扱う際に使用します。これは、データが連続数値ではなく、グループや「バケツ」に分類されていることを意味します。例えば、企業を業種（テクノロジー、エネルギー、金融）や配当政策（配当あり、なし）で分類する場合です。

分割表（コンティンジェンシー・テーブル）

この検定を行うために、分割表（クロス集計表とも呼ばれます）を使用します。これは2つのカテゴリ変数の度数（カウント）を同時に示す表です。

仮説の設定

帰無仮説 (\(H_0\)): 2つの変数は独立している（関係がない）。
対立仮説 (\(H_a\)): 2つの変数は従属している（関係がある）。

検定統計量の計算

カイ二乗統計量は、実際に観測された値 (\(O\)) と、変数同士が完全に独立していると仮定した場合に期待される値 (\(E\)) との間の差を測定します。

公式は以下の通りです：
\( \chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E} \)

ステップ・バイ・ステップ：
1. 期待値 (\(E\)) の計算： 表の各セルについて、以下の式を使います。
\( E = \frac{(\text{行合計} \times \text{列合計})}{\text{総合計}} \)
2. 差の算出： 各セルについて、観測値から期待値を引きます (\(O - E\))。
3. 二乗して割る： その差を二乗し、期待値で割ります。
4. 合計する： すべてのセルの値を合計して、\(\chi^2\) 統計量を求めます。

自由度 (\(df\))

独立性のカイ二乗検定における自由度は、以下のように計算されます：
\( df = (r - 1) \times (c - 1) \)
ここで \(r\) は行数、\(c\) は列数です。

豆知識：カイ二乗分布は常に正の値を取り、右に裾が長い分布です。自由度が増えるほど、正規分布の形に近づいていきます！

重要なポイント：計算された \(\chi^2\) が表から求めた「臨界値」よりも十分に大きければ、帰無仮説を棄却し、変数は関連していると結論づけます。


3. スピアマンの順位相関係数 (\(r_s\))

時として、関係の強さを知りたいものの、データが順序尺度（順位）であったり、標準的な相関計算を台無しにするような極端な外れ値が含まれていたりすることがあります。そこで登場するのがスピアマンの順位相関係数です。

アナロジー：2人の審査員がタレントショーで10人の出場者の順位をつけると想像してください。審査員が全く同じ点数を与えなくても、2人が「出場者Aは出場者Bより優れている」という点で一致していれば、彼らの順位は相関していると言えます。

なぜ使用するのか？

  • ピアソン相関のノンパラメトリックな代替手段です。
  • データが非線形であっても、傾向（単調性）がある場合に使用されます。
  • 実際の値ではなく、データの順序を見るため、外れ値に対して頑健（ロバスト）です。

計算方法：

1. 両方の変数のデータを小さい順（または大きい順）にランク付けします。
2. 各ペアのランク間の差 (\(d_i\)) を計算します。
3. 次の公式を使います：
\( r_s = 1 - \frac{6 \sum d_i^2}{n(n^2 - 1)} \)

結果の解釈：
\( r_s \) の値は常に -1 から +1 の間に収まります。
- +1: 完全な正の順位相関（一方の順位が上がると、もう一方も必ず上がる）。
- -1: 完全な負の順位相関。
- 0: 順位間に何の関係もない。

よくある間違い：分子の「6」を忘れないでください！これはサンプルサイズに関係なく公式に含まれる定数です。

重要なポイント：スピアマンの順位相関係数は、データが正規分布に従っていない場合や、生の測定値ではなく順位を扱っている場合に頼りになるツールです。


4. ノンパラメトリック検定をいつ使う？（クイックガイド）

CFA試験では、パラメトリック検定よりもノンパラメトリック検定が適切である状況を見極めるよう求められることがあります。以下の4つのシナリオを覚えておきましょう：

  1. データがカテゴリカル：バケツ（グループ）に物をカウントしているときはカイ二乗検定を使う。
  2. データが順序尺度（ランク）：スピアマンの順位相関係数を使う。
  3. サンプルサイズが小さい：正規分布を仮定するにはサンプルが少なすぎる場合。
  4. 極端な外れ値：一部の異常なデータ点が平均や相関を大きく歪めてしまう場合。

最初は難しく感じるかもしれませんが、大丈夫です！これだけ覚えておいてください：パラメトリック＝精密で厳格、ノンパラメトリック＝順位を扱い、柔軟。


まとめ＆クイック復習ボックス

カイ二乗検定：分割表を使い、2つのカテゴリ変数の間の独立性を検証する。自由度は \(df = (r-1)(c-1)\)。

スピアマンの順位相関係数：順位付けされたデータの関係の強さを測定する。範囲は -1 から +1。

独立性：帰無仮説は通常「関係がない」と主張する。検定統計量が大きければ、帰無仮説を「クビ（棄却）」にする！

理解度チェック：
「アナリストのレーティング（買い/ホールド/売り）」と「業種（テクノロジー/小売）」を比較する場合、どの検定を使うべきでしょうか？
答え：カイ二乗独立性の検定（これらはカテゴリだからです！）。