多重脱退モデルの世界へようこそ！
これまでのアクチュアリー試験の学習において、皆さんは「死亡」という、たった一つの事象のみを扱うモデルをたくさん見てきたことでしょう。しかし、現実の世界は「単一脱退（Single Decrement）」モデルほど単純ではありません。例えば年金基金では、加入者は「退職」「死亡」、あるいは「転職による中途退職」といった様々な理由でその集団から外れます。これらの一つひとつが、基金における異なる「出口（脱退）」となります。
この章では、そうした様々な出口を追跡し、さらに重要なこととして、どの「出口」を通るかによって決まるキャッシュフローを評価する方法を学びます。これまで学習してきた生命表よりも少し複雑に感じるかもしれませんが、大丈夫です。一つひとつ丁寧に紐解いていきましょう！
1. 多重脱退モデルとは？
多重脱退モデル（Multiple Decrement Model）とは、ある個人が「アクティブ（在籍）」状態にあり、様々な理由（脱退要因）によってその状態から外れる状況を記述するものです。一度その状態から外れると戻ることはありません（これが、多重脱退モデルと多状態モデルの決定的な違いです）。
「穴の空いたバケツ」の例え：
水で満たされたバケツを想像してみてください。このバケツの底には3つの異なる穴が開いています。一つの穴は「死亡」、もう一つは「定年退職」、そして三つ目は「中途退職」を表します。水（＝人々）は、これらのどの穴からも漏れ出す可能性があります。バケツの中にどれだけの水が残っているかを知るには、それぞれの穴からの流出量と、それらがどのように相互作用しているかを把握する必要があります。
覚えておくべき重要用語：
- 脱退要因（Decrement）： 脱退を引き起こす特定の原因（例：死亡、障害、離職）。
- 依存脱退確率 \( q_x^{(j)} \)： \( x \) 歳の人が、他のすべての脱退要因が存在する中で、1年以内に特定の要因 \( j \) によって脱退する確率。
- 総脱退確率 \( q_x^{\tau} \)： \( x \) 歳の人が、あらゆる理由で1年以内に脱退する確率。これは単純に、個別の依存脱退確率の合計です： \( q_x^{\tau} = \sum q_x^{(j)} \)。
クイックレビュー： 多重脱退表（MDT）では、\( x \) 歳時点でのアクティブな人数を \( l_x^{\tau} \) と表記します。原因 \( j \) によって脱退する人数は \( d_x^{(j)} \) と表記します。
2. 脱退の力
死亡率の力 \( \mu_x \) と同じように、各原因に対しても脱退の力（force of decrement）が存在します。\( x \) 歳における原因 \( j \) の脱退の力を \( \mu_x^{(j)} \) と表記します。
総脱退の力（total force of decrement） \( \mu_x^{\tau} \) は、各原因ごとの脱退の力の合計です：
\( \mu_x^{\tau} = \mu_x^{(1)} + \mu_x^{(2)} + ... + \mu_x^{(m)} \)
生存確率：
ある人が \( t \) 年間アクティブな状態で留まる確率は次のようになります：
\( _{t}p_x^{\tau} = \exp( -\int_{0}^{t} \mu_{x+s}^{\tau} ds ) \)
注意！ 原因同士は影響し合うのか？
これらのモデルでは、脱退の力は同時に働いていると仮定します。もし誰かが死亡すれば、その人はもう定年退職することはできません。これが確率を「依存」と呼ぶ理由です。つまり、定年退職の可能性は、その人が死亡などの他のリスクを免れて生存し続けているかどうかに依存するのです！
3. 依存脱退率 vs. 独立脱退率
ここが学習者にとって少し難しいと感じやすい部分ですが、シンプルな考え方を紹介します。
依存脱退率（現実の世界）
前述の通り、すべての脱退要因が同時に作用している集団で観察される確率です。記号： \( q_x^{(j)} \)。
独立脱退率（「もしも」の世界）
これは関連単一脱退率（Associated Single Decrement Rates）とも呼ばれます。原因が一つだけしか存在しない世界を想像します。例えば、「この人が死亡も定年退職も絶対にしないとしたら、中途退職する確率はどれくらいか？」といったものです。記号： \( q_x^{'(j)} \)。
避けるべきよくある間違い：
独立脱退率 \( q_x^{'(j)} \) を単純に足し合わせても総脱退率にはなりません。総脱退確率は、依存脱退率 \( q_x^{(j)} \) を合計してのみ求められます。
覚え方：
依存（Dependent）率は「競争（Competing）」と捉えてください。すべての脱退要因が、誰を先に「捕まえるか」を競い合っているのです。
4. 脱退率の変換（仮定）
独立脱退率 \( q_x^{'(j)} \) と依存脱退率 \( q_x^{(j)} \) を行き来するには、通常、1年間にどのように脱退が発生するかという仮定が必要です。
仮定1：多重脱退表における脱退の均等分布（UDD）
多重脱退表において、各脱退人数 \( d_x^{(j)} \) が1年間に均等に発生すると仮定する場合、以下の近似式を用います：
\( q_x^{(j)} \approx q_x^{'(j)} [1 - \frac{1}{2} \sum_{k \neq j} q_x^{'(k)}] \)
注：この式は、独立脱退率から依存脱退率を求めたい場合に使用します。
仮定2：脱退の力が一定であるとの仮定
各原因の脱退の力が1年間一定であると仮定する場合、関係式は以下のようになります：
\( q_x^{(j)} = \frac{\mu^{(j)}}{\mu^{\tau}} \cdot q_x^{\tau} \)
ここで \( \mu^{(j)} / \mu^{\tau} = \ln(1 - q_x^{'(j)}) / \ln(1 - q_x^{\tau}) \) です。
重要なポイント： 依存脱退率 \( q_x^{(j)} \) は、常に独立脱退率 \( q_x^{'(j)} \) よりも小さくなります。なぜなら、依存の世界では、原因 \( j \) によって脱退するはずだった人たちが、他の原因によって「先に奪われてしまう」からです！
5. キャッシュフローの予測と評価
最も重要な部分、給付金の価値を計算しましょう。CM1では、特定の脱退が発生した時に支払われる給付金の期待現在価値（EPV）を求める問題がよく出題されます。
EPVを求めるための一般的なレシピ：
1. 確率の特定： その人が時刻 \( t \) まで「アクティブ」で、ちょうどその瞬間に原因 \( j \) で脱退する確率は？ \( _{t}p_x^{\tau} \cdot \mu_{x+t}^{(j)} \)
2. キャッシュフローの特定： いくら支払われるか？ \( B_{t} \)
3. 割引率の適用： 金額を現在価値に割り引く。 \( v^t \)
4. 積分（または総和）： 可能な期間にわたってすべてを合計する。
原因 \( j \) の脱退時に1が即時支払われる給付金の計算式：
\( \bar{A}_x^{(j)} = \int_{0}^{\infty} v^t \cdot _{t}p_x^{\tau} \cdot \mu_{x+t}^{(j)} dt \)
現実世界の例：
ある雇用主が、従業員が在職中に死亡した場合に50,000ドルの一時金を支払い、退職した場合には支払わないとします。これを評価する場合、アクチュアリーは死亡の力 \( \mu^{(death)} \) だけを気にすればよいのですが、生存確率については総生存確率 \( _{t}p_x^{\tau} \) を使う必要があります。なぜなら、もし従業員が中途退職してしまったら、その時点で「在職中死亡」の給付可能性は消滅するからです！
6. ステップ・バイ・ステップ：評価問題の解き方
計算問題に直面したときは、以下のステップに従ってください：
ステップ1： すべての可能な脱退要因（死亡、離職など）を特定する。
ステップ2： 総脱退の力または総生存確率を計算する。対象とする特定の脱退要因に遭遇する可能性が残っている確率を知る必要があるからです。
ステップ3： 特定の給付金に対するEPVの式を立てる。その支払いをトリガーとする原因の「力」または「率」のみを含めること。
ステップ4： 給付が「生存給付」（65歳から始まる年金など）である場合、他のどの脱退も起こらずに65歳まで到達したかを確認するために、総生存確率 \( _{t}p_x^{\tau} \) だけが必要になります。
知っていましたか？
年金数理人はこれらの計算に膨大な時間を費やします。彼らは、会社が年金を支払うのに十分な資金を蓄えられるよう、定年退職年齢まで何人が残るかを推計しなければならないのです！
まとめと重要事項
- 多重脱退： 状態から外れる方法が複数ある場合（例：死亡 vs. 定年退職）に使用。
- 脱退の力： 脱退の力は加法性がある： \( \mu_x^{\tau} = \sum \mu_x^{(j)} \)。
- 依存性： ある原因による脱退確率は、他の原因が対象を「排除」しようと競争しているため、互いに依存する。
- EPV： 原因 \( j \) の給付を評価する際は、常に総生存確率 \( _{t}p_x^{\tau} \) と原因 \( j \) 特有の率/力を組み合わせて使用する。
- 正確性： 計算を始める前に、与えられた数値が独立脱退率か依存脱退率かを確認すること！
記号が最初はアルファベットのスープのように見えても心配しないでください。論理に集中しましょう：時刻 \( t \) まで生存する（バケツのすべての穴を考慮）× 時刻 \( t \) における脱退率（支払いをトリガーする特定の穴のみを考慮）。きっとできますよ！