時間とともに変化する利力（Force of Interest Varying with Time）へようこそ
これまでの学習では、一定の利率や一定の利力 \( \delta \) を扱ってきたことと思います。一定として考えるのは非常に分かりやすく便利ですが、実際の金融の世界では、インフレ予想や景気循環、中央銀行の金融政策などによって金利は絶えず変動しています。つまり、瞬時の収益率である利力は、時間に依存する関数 \( \delta(t) \) として表されるのが一般的です。
「微積分」と聞いて身構えてしまう方もいるかもしれませんが、心配いりません！この章では、時間とともに変化する利力 \( \delta(t) \) から、実務で使われる蓄積率（拡大係数）、現価率（割引係数）、そして等価な年実効率を導くまでの流れを、ステップ・バイ・ステップで丁寧に解説していきます。
シラバスの確認： 本章は、CM1の利息の理論（Theory of interest rates）に位置づけられています。ここでは特に、利力が時間とともに変動する場合に蓄積（将来価値の計算）や割引（現在価値の計算）がどのように機能するか、そしてその蓄積から示唆される等価な年実効率をどのように求めるかに焦点を当てます。
1. 時間の関数としての利力とは？
まずは直感的な基本概念をおさらいしましょう。時点 \( t \) における利力 \( \delta(t) \) は、時点 \( t \) の前後におけるごくわずかな無限小の時間にわたって連続的に作用する、単位時間あたりの名目成長率を表します。
微分関係
最初にまとまった資金を投資したとします。時点 \( t \) におけるこの投資の蓄積金額（元利合計）を \( A(t) \) と表します。ごくわずかな微小時間 \( dt \) の間に増加する資金の額は、以下の3つに比例します。
1. すでに蓄積された資産残高：\( A(t) \)
2. 経過した微小時間：\( dt \)
3. その瞬間に作用している瞬時の成長率：\( \delta(t) \)
これを数式で表すと次のようになります。
\( dA(t) = A(t) \cdot \delta(t) \, dt \)
式を変形すると、変動する利力の厳密な定義式が得られます。
\( \delta(t) = \frac{1}{A(t)} \frac{d}{dt}A(t) = \frac{d}{dt}\ln[A(t)] \)
身近な例え： \( A(t) \) を車のトリップメーター（走行距離）、\( \delta(t) \) を時刻 \( t \) におけるスピードメーター（時速）だと考えてみてください。ドライブ中にスピードが刻々と変わる場合、単純に1つの速度に全体の時間を掛けるだけでは総走行距離は出せませんよね。走った距離を正確に知るには、時間に応じて変化する速度関数を積分する必要があるのです！
2. 利力が変動する場合の蓄積率（Accumulation Factors）
時点 \( t_1 \) から時点 \( t_2 \)（ただし \( t_1 \le t_2 \)）までの蓄積率を \( A(t_1, t_2) \) と定義しましょう。この係数は、時点 \( t_1 \) に投資された1単位の資金が、時点 \( t_2 \) までにいくらに成長するかを示します。
公式の導出
先ほどの微分方程式から出発します。
\( \frac{d}{dt}\ln[A(t)] = \delta(t) \)
両辺を \( t_1 \) から \( t_2 \) の範囲で \( t \) について積分します。
\( \int_{t_1}^{t_2} \frac{d}{dt}\ln[A(t)] \, dt = \int_{t_1}^{t_2} \delta(t) \, dt \)
\( \ln[A(t_2)] - \ln[A(t_1)] = \int_{t_1}^{t_2} \delta(t) \, dt \)
\( \ln\left( \frac{A(t_2)}{A(t_1)} \right) = \int_{t_1}^{t_2} \delta(t) \, dt \)
両辺の指数（ネイピア数 \( e \) のべき乗）を取ることで、蓄積の黄金則が得られます。
\( A(t_1, t_2) = \frac{A(t_2)}{A(t_1)} = \exp\left( \int_{t_1}^{t_2} \delta(t) \, dt \right) \)
時点0から時点 \( t \) までの蓄積を考える場合は、次のように表記します。
\( A(0, t) = \exp\left( \int_0^t \delta(s) \, ds \right) \)
ポイント： 変動する利力のもとで資金の将来価値を求めたいときは、対象となる区間で利力を積分し、それを \( e \) の指数に乗せるだけで計算できます。
3. 利力が変動する場合の現価率（Discount Factors）
割引（現価の算出）は、蓄積のちょうど逆の操作です。時点 \( t_2 \) から時点 \( t_1 \)（ただし \( t_1 \le t_2 \)）への現価率 \( v(t_1, t_2) \) は、時点 \( t_2 \) で支払われる1単位の金額の、時点 \( t_1 \) における現在価値を表します。
割引は蓄積の逆の処理であるため、以下の関係が成り立ちます。
\( v(t_1, t_2) = \frac{1}{A(t_1, t_2)} = \exp\left( -\int_{t_1}^{t_2} \delta(t) \, dt \right) \)
時点 \( t \) から時点0まで割り戻す場合、現価率はよく \( v(t) \) と表記されます。
\( v(t) = \exp\left( -\int_0^t \delta(s) \, ds \right) \)
覚え方のコツ： 将来に向かって蓄積する（増える）ときは「プラス」の指数（\( + \int \delta \)）、過去に向かって割り引く（減る）ときは「マイナス」の指数（\( - \int \delta \)）になります。
4. 試験によく出る \( \delta(t) \) の2大出題パターン
CM1の試験問題において、\( \delta(t) \) は主に次のいずれかの形式で出題されます。
1. 区間ごとに一定の関数（階段関数／区分的一定関数）
2. \( t \) の滑らかな連続関数（1次式、多項式、指数関数など）
パターンA：区間ごとに一定（階段関数）
特定の期間ごとに利力が一定値をとるケースを考えます。
\( 0 \le t \le t_1 \) では \( \delta(t) = \delta_1 \)
\( t_1 < t \le t_2 \) では \( \delta(t) = \delta_2 \)
この場合、時点 \( 0 \) から \( t_2 \) までの蓄積率は、各区間の積へとシンプルに分解できます。
\( A(0, t_2) = \exp\left( \int_0^{t_1} \delta_1 \, dt + \int_{t_1}^{t_2} \delta_2 \, dt \right) = \exp(\delta_1 t_1) \cdot \exp(\delta_2 (t_2 - t_1)) \)
パターンB：\( t \) の滑らかな連続関数
利力が \( \delta(t) = a + b t \) や \( \delta(t) = a + b t^2 \) のような数式で与えられるパターンです。解法のステップは以下の通りです。
ステップ1： 定積分 \( \int_{t_1}^{t_2} \delta(t) \, dt \) を立式する。
ステップ2： 基本的な微積分の計算公式を用いて、慎重に定積分を計算する。
ステップ3： 蓄積率なら求めた値を \( \exp(\dots) \) に、現価率なら \( \exp(-\dots) \) に代入する。
5. 演習例題とステップ解説
例題1：時間の連続関数である利力
問題： 時点 \( t \)（年単位）における利力が次式で与えられています。
\( \delta(t) = 0.03 + 0.008 t \quad \text{for } t \ge 0 \)
以下を計算してください。
(a) 時点 \( t = 0 \) に投資された £2,000 の、時点 \( t = 5 \) における蓄積金額。
(b) 時点 \( t = 6 \) に受け取る予定の £5,000 の、時点 \( t = 2 \) における現在価値。
解答：
(a) の計算： £2,000 を \( t = 0 \) から \( t = 5 \) まで蓄積します。
まず、\( 0 \) から \( 5 \) までの \( \delta(t) \) の定積分を求めます。
\( \int_0^5 (0.03 + 0.008t) \, dt = \left[ 0.03t + 0.004t^2 \right]_0^5 \)
\( = (0.03 \times 5 + 0.004 \times 5^2) - 0 = 0.15 + 0.10 = 0.25 \)
続いて、蓄積率を計算します。
\( A(0, 5) = \exp(0.25) \approx 1.284025 \)
したがって、£2,000 の蓄積金額は次の通りです。
\( 2{,}000 \times A(0, 5) = 2{,}000 \times 1.284025 = £2{,}568.05 \)
(b) の計算： £5,000 を \( t = 6 \) から \( t = 2 \) へ割り戻します。
まず、積分区間を \( 2 \) から \( 6 \) として \( \delta(t) \) を積分します。
\( \int_2^6 (0.03 + 0.008t) \, dt = \left[ 0.03t + 0.004t^2 \right]_2^6 \)
\( = (0.03 \times 6 + 0.004 \times 36) - (0.03 \times 2 + 0.004 \times 4) \)
\( = (0.18 + 0.144) - (0.06 + 0.016) = 0.324 - 0.076 = 0.248 \)
現在価値を求めるため、マイナスの指数を持つ現価率を適用します。
\( v(2, 6) = \exp(-0.248) \approx 0.780362 \)
時点 \( t = 2 \) における現在価値は次の通りです。
\( 5{,}000 \times v(2, 6) = 5{,}000 \times 0.780362 = £3{,}901.81 \)
例題2：区間ごとに定義された利力
問題： ある投資家が時点 \( t = 0 \) にファンドへ £10,000 を預託しました。利力は以下のように定義されています。
\( \delta(t) = \begin{cases} 0.04 & 0 \le t \le 3 \\ 0.01 + 0.01t & 3 < t \le 7 \end{cases} \)
時点 \( t = 7 \) におけるこの投資の価値を求めてください。
解答：
求めたいのは蓄積率 \( A(0, 7) \) です。\( \delta(t) \) の定義が \( t = 3 \) で切り替わるため、積分を2つの区間に分割します。
\( \int_0^7 \delta(t) \, dt = \int_0^3 0.04 \, dt + \int_3^7 (0.01 + 0.01t) \, dt \)
第1区間の積分を計算します。
\( \int_0^3 0.04 \, dt = [0.04t]_0^3 = 0.12 \)
第2区間の積分を計算します。
\( \int_3^7 (0.01 + 0.01t) \, dt = \left[ 0.01t + 0.005t^2 \right]_3^7 \)
\( = (0.01 \times 7 + 0.005 \times 49) - (0.01 \times 3 + 0.005 \times 9) \)
\( = (0.07 + 0.245) - (0.03 + 0.045) = 0.315 - 0.075 = 0.240 \)
両区間の積分結果を合計します。
\( \int_0^7 \delta(t) \, dt = 0.12 + 0.24 = 0.36 \)
したがって、全体の蓄積率は次のようになります。
\( A(0, 7) = \exp(0.36) \approx 1.433329 \)
時点7における £10,000 の蓄積金額は以下の通りです。
\( 10{,}000 \times 1.433329 = £14{,}333.29 \)
6. 等価な年実効率（Equivalent Annual Effective Rate of Interest）
CM1シラバスの目標（Objective）1.1では、以下の計算が明確に求められています。
「利力が時間の関数である期間にわたる蓄積から示唆される、等価な年利率の算出」
この概念の意味
変動する利力 \( \delta(t) \) のもとで、ある投資が時点 \( t_1 \) から時点 \( t_2 \)（全期間 \( n = t_2 - t_1 \) 年）にかけて蓄積されるとします。
このとき、等価な一定の年実効率（\( i \) で表されます）とは、その同一の \( n \) 年間にわたって全く同じ元利合計を生み出す、単一の一定な年実効金利のことです。
計算式の導出
年実効率 \( i \) が一定の場合、1単位の資金を \( n \) 年間投資すると \( (1 + i)^n \) に成長します。
一方、変動する利力のもとでは、1単位の資金は \( \exp\left( \int_{t_1}^{t_2} \delta(t) \, dt \right) \) に成長します。
この2つの式を等置します。
\( (1 + i)^n = \exp\left( \int_{t_1}^{t_2} \delta(t) \, dt \right) \)
\( i \) について解きます。
\( 1 + i = \left[ \exp\left( \int_{t_1}^{t_2} \delta(t) \, dt \right) \right]^{\frac{1}{n}} = \exp\left( \frac{1}{n} \int_{t_1}^{t_2} \delta(t) \, dt \right) \)
\( i = \exp\left( \frac{1}{n} \int_{t_1}^{t_2} \delta(t) \, dt \right) - 1 \)
お気づきでしょうか？ ここで現れた \( \frac{1}{n} \int_{t_1}^{t_2} \delta(t) \, dt \) という項は、対象期間における平均利力そのものであり、一般に \( \bar{\delta} \) と表記されます。つまり、次の関係が成り立ちます。
\( 1 + i = \exp(\bar{\delta}) \implies i = e^{\bar{\delta}} - 1 \)
これは非常に便利なショートカットになります。対象期間における「利力の平均値」をまず求め、その平均利力を実効率に変換するだけで答えが出るのです！
例題3：等価な年実効率の計算
問題： 例題1の利力 \( \delta(t) = 0.03 + 0.008t \) を用いて、時点 \( t = 0 \) から \( t = 5 \) までの5年間における等価な年実効率を求めてください。
解答：
例題1より、この5年間の蓄積率はすでに求まっています。
\( A(0, 5) = \exp\left( \int_0^5 \delta(t) \, dt \right) = \exp(0.25) \approx 1.284025 \)
期間は \( n = 5 \) 年ですので、等価方程式を立てます。
\( (1 + i)^5 = 1.284025 \)
両辺の5乗根を取ります。
\( 1 + i = (1.284025)^{1/5} = (e^{0.25})^{0.2} = e^{0.05} \approx 1.051271 \)
\( i = 1.051271 - 1 = 0.051271 \quad (\text{すなわち } 5.127\%) \)
検算と直感的な確認： この期間の平均利力は \( \bar{\delta} = \frac{0.25}{5} = 0.05 \) です。等価な実効率は \( e^{0.05} - 1 = 5.127\% \) となります。金利が正の値である限り、年実効率は対応する連続複利（利力）よりも必ずわずかに高くなるため、\( 5.127\% > 5\% \) という結果は直感とも完全に整合しています！
6. 変動利力下における一般的なキャッシュフローの評価
\( v(t) \) の計算さえ身につけば、変動利力のもとでキャッシュフローの現在価値を求めるのは、通常の割引計算の応用でしかありません。
• 離散的なキャッシュフロー： 各時点 \( t_k \) において離散的な支払額 \( C_k \) が発生する場合、時点0における現在価値は次の通りです。
\( \text{PV} = \sum_k C_k \cdot v(t_k) = \sum_k C_k \cdot \exp\left( -\int_0^{t_k} \delta(t) \, dt \right) \)
• 連続的なキャッシュフロー： 時点 \( a \) から \( b \) にかけて支払率 \( \rho(t) \) の連続的な支払流（支払いストリーム）がある場合、その現在価値は次の通りです。
\( \text{PV} = \int_a^b \rho(t) \cdot v(t) \, dt = \int_a^b \rho(t) \cdot \exp\left( -\int_0^t \delta(s) \, ds \right) dt \)
（変動する連続キャッシュフローの詳細な積分計算については、「Cashflow Streams（キャッシュフローストリーム）」の章でさらに掘り下げていきます。）
7. 試験で引っかかりやすい要注意ポイント
この分野は、Paper A・Paper Bを問わず頻出のテーマです。特に以下のミスに注意しましょう。
• 積分区間の間違い： \( t_1 \) から \( t_2 \) までの蓄積を計算する際は、必ず \( t_1 \) から \( t_2 \) まで積分してください。\( \delta(t) \) がカレンダー時間（絶対時間）ではなく「投資からの経過時間」として厳密に定義されている場合を除き、0から \( t_2 - t_1 \) で積分してはいけません。
• 指数の符号ミス： 現在価値を求める割引計算では、指数がマイナス（\( \exp\left(-\int \delta \, dt\right) \)）になります。プラスのまま計算すると、将来に向けて蓄積されてしまうので注意してください。
• 年実効率 \( i \) と利力 \( \delta \) の混同： \( 1 + i = \exp(\bar{\delta}) \) ですから、\( i = e^{\bar{\delta}} - 1 \) です。単純に \( i = \bar{\delta} \) とイコールにしてしまわないようにしましょう。
• 微積分の初歩的な計算ミス： \( t \) のべき乗を積分するときは、新しい指数で割るのを忘れないようにしましょう（例：\( \int b t \, dt = \frac{b t^2}{2} \)）。試験本番のプレッシャーの中では、こうした単純な計算ミスで点数を落としてしまうケースが驚くほど多いです！
8. 重要公式のまとめ
復習の際は、以下の重要公式をいつでも引き出せるように頭に入れておきましょう。
• 利力の定義：\( \delta(t) = \frac{1}{A(t)} \frac{d}{dt}A(t) = \frac{d}{dt}\ln[A(t)] \)
• 蓄積率：\( A(t_1, t_2) = \exp\left( \int_{t_1}^{t_2} \delta(t) \, dt \right) \)
• 現価率：\( v(t_1, t_2) = \exp\left( -\int_{t_1}^{t_2} \delta(t) \, dt \right) \)
• \( n \) 年間にわたる等価な年実効率：\( i = \exp\left( \frac{1}{n} \int_{t_1}^{t_2} \delta(t) \, dt \right) - 1 = e^{\bar{\delta}} - 1 \)