ようこそ、2人の世界へ！連生生命モデリング

これまでの学習では、通常 \((x)\) と表記される「1人の人間」の生存期間に焦点を当ててきました。しかし現実の世界では、住宅ローンを組む夫婦や、退職者とその配偶者に年金を支給する企業など、複数の人間が関わる金融上の意思決定が数多く存在します。

本章では、単一の生存者モデルから連生生命モデルへとステップアップします。2人が関わる確率をどのように計算するかを見ていきましょう。一見、作業が2倍になるように感じるかもしれませんが、一度パターンを掴んでしまえば、まるでLEGOブロックを組み立てるような感覚で理解できるようになりますよ！

1. 連生生命の2つの視点

\((x)\) と \((y)\) という2人に注目する場合、通常は以下のいずれかの「ステータス（状態）」に関心を持ちます：

  • 連生ステータス \((xy)\)： このステータスは、両者とも生存している期間のみ維持されます。どちらか一方が死亡した瞬間に「終了」します。例え：テニスのダブルスの試合。どちらか一人が退場しなければならなくなったら、チームとしてのステータスは終了します。
  • 最終生存者ステータス \((\overline{xy})\)： このステータスは、少なくともどちらか一人が生存している限り維持されます。2人目（最後）が死亡したときに初めて「終了」します。例え：2つの電球を並列につないだ回路。部屋が暗くなるのは、両方の電球が切れたときだけです。

クイックレビュー：ステータスの背後にある数学

\((x)\) が死亡するまでの時間を \(T_x\)、\((y)\) が死亡するまでの時間を \(T_y\) とします。
1. 連生ステータスが終了するまでの時間は \(T_{xy} = \min(T_x, T_y)\) です。
2. 最終生存者ステータスが終了するまでの時間は \(T_{\overline{xy}} = \max(T_x, T_y)\) です。

覚えておくべき重要な関係式：

\(T_x + T_y = T_{xy} + T_{\overline{xy}}\)
この恒等式は非常に役立ちます！これは本質的に「個々の生存期間の和は、最初の死亡までの時間と、2人目の死亡までの時間の和に等しい」ことを示しています。

2. 独立生命モデル

2人をモデル化する最もシンプルな方法は、\((x)\) の死亡が \((y)\) の死亡に全く影響を与えないと仮定することです。これを独立性の仮定と呼びます。

生存確率

独立している場合、両者が \(t\) 年生存する確率は、それぞれの生存確率を掛け合わせるだけです：

\[{}_t p_{xy} = {}_t p_x \cdot {}_t p_y\]

最終生存者ステータスの場合、少なくとも一人が生存する確率は次のようになります：

\[{}_t p_{\overline{xy}} = {}_t p_x + {}_t p_y - {}_t p_{xy}\]

難しく考えないでください！ 初歩的な確率論で習う包除原理（\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)）を思い出せば大丈夫です。ここでは、「AまたはBが生存している」のが最終生存者ステータスであり、「AとBの両方が生存している」のが連生ステータスに対応します。

連生死亡力

独立している場合、連生ステータスの死亡力（force of mortality）は、単にそれぞれの死亡力の和となります：

\[\mu_{xy}(t) = \mu_x(t) + \mu_y(t)\]

クイックレビュー： つまり、連生ステータスが終了する「ハザード」や「リスク」は、どちらかが死亡するリスクを合算したものになる、ということです。

まとめ： 独立モデルでは、生存確率を掛け算するだけで連生生存確率が求まります。

3. 多状態モデルのアプローチ

ALTAM試験では、独立性を前提としない場合もしばしば扱います。2人の人間が取り得る様々な「状態」を表現するために多状態モデル（Multiple State Model）を使用します。こちらの方が現実的です。なぜなら、一方の死亡が他方の死亡率に影響を与える可能性（「失意死」の影響など）を考慮できるからです。

4つの状態

4つの部屋がある箱を想像してください：

  • 状態 0： \((x)\) も \((y)\) も生存している。
  • 状態 1： \((x)\) は死亡したが、\((y)\) は生存している。
  • 状態 2： \((y)\) は死亡したが、\((x)\) は生存している。
  • 状態 3： 両者とも死亡している（「吸収」状態）。

遷移（死亡力）

時間 \(t\) において状態 \(j\) から状態 \(k\) へ遷移する死亡力を \(\mu_{x+t:y+t}^{jk}\) と表記します。

  • \(\mu_{x+t:y+t}^{01}\)：\((x)\) が先に死亡する力。
  • \(\mu_{x+t:y+t}^{02}\)：\((y)\) が先に死亡する力。
  • \(\mu_{x+t:y+t}^{13}\)：\((x)\) が既に死亡した状態で、\((y)\) が死亡する力。
  • \(\mu_{x+t:y+t}^{23}\)：\((y)\) が既に死亡した状態で、\((x)\) が死亡する力。

豆知識： もし2人が独立していれば、\(\mu^{01} = \mu^{23} = \mu_x\) かつ \(\mu^{02} = \mu^{13} = \mu_y\) となります。しかし、従属していればこれらの値は異なってきます！

4. 状態確率の計算

時間 \(t\) において特定の状態にある確率を求めるには、以下のロジックを使います：

状態 0（両者生存）に留まる確率

状態 0 に留まるには、誰も死んではいけません。状態 0 から離脱する合計の力は \(\mu^{01} + \mu^{02}\) です。

\[{}_t p_{xy}^{00} = \exp \left( -\int_0^t (\mu_{x+s:y+s}^{01} + \mu_{x+s:y+s}^{02}) ds \right)\]

状態 1（\((x)\) が死亡し、\((y)\) が生存）へ移行する確率

これは「経路」を計算します。時間 \(t\) に状態 1 に到達するには：

  1. ある時点 \(s\) (\(s < t\)) まで両者が生存している。
  2. 時点 \(s\) にちょうど \((x)\) が死亡する（遷移 \(0 \to 1\)）。
  3. 時点 \(s\) から \(t\) まで、\((y)\) が状態 1 のまま生存している。

\[{}_t p_{xy}^{01} = \int_0^t {}_s p_{xy}^{00} \cdot \mu_{x+s:y+s}^{01} \cdot {}_{t-s} p_{y+s}^{11} ds\]

暗記のコツ： これは「イベント発生までの生存 \(\times\) そのイベントが発生する確率 \(\times\) イベント後の生存」と捉えましょう。

5. よくある落とし穴

1. \(T_{xy}\) と \(T_{\overline{xy}}\) の混同： 問題が「最初の死亡（連生）」を聞いているのか、「最後の死亡（最終生存者）」を聞いているのか、必ず確認してください。
2. 状態定義の忘れ： 多状態モデルにおいて、\({}_t p_{xy}^{01}\) は「時間 \(t\) に \((y)\) だけが生き残っている確率」です。これは「\(t\) 年以内に \((x)\) が死亡する確率」とは異なります。
3. 積分の範囲： \({}_t p_{xy}^{01}\) のような確率を計算する際、積分は常に \(0\) から \(t\) までです。死亡力の関数が正しく代入されているか確認しましょう。

6. まとめ：クイックレビュー・ボックス

重要な公式：
- 連生生存： \({}_t p_{xy} = P(T_{xy} > t)\)
- 最終生存者生存： \({}_t p_{\overline{xy}} = {}_t p_x + {}_t p_y - {}_t p_{xy}\)
- 独立時の死亡力： \(\mu_{xy} = \mu_x + \mu_y\)
- MSM 状態 0： \({}_t p_{xy}^{00} = e^{-\int (\text{状態0から離脱する力の合計})}\)

重要なポイント： 多状態モデルは単なる「地図」です。矢印（遷移）をたどり、その経路上の確率を掛け合わせるだけで答えが出ます！

積分の式を見て最初は怖いと思うかもしれませんが、試験問題のほとんどでは死亡力 (\(\mu\)) が定数であるため、積分はずっと簡単になります。大抵は指数関数になるだけですよ！