年金数学の世界へようこそ！

こんにちは！ALTAM試験に挑戦されている皆さんは、アクチュアリー科学が単なる生死の予測だけでなく、人々の快適な未来を計画するためのものであることを既にご存知でしょう。この章では、脱退残存表（Service Tables）と昇給関数（Salary Scale Functions）について学びます。これらは、従業員がどれくらい会社に残り、退職までにどれくらいの賃金を得るかを予測するためのツールです。

最初は少し難しく感じるかもしれませんが、大丈夫です。この章は「シミュレーション上のオフィス」を構築していると考えてみてください。「誰が残り、誰が去るのか？給与はどれくらい増えるのか？」という疑問を、ステップバイステップで紐解いていきましょう！

1. 脱退残存表（多重脱退モデル）

FAM-Lの基礎では、脱退理由が「死亡」のみの生命表を扱いました。しかし年金制度では、より現実的で少し複雑な状況を考えます。脱退残存表は、従業員グループを追跡し、制度から離脱するあらゆる要因を考慮に入れた表です。

脱退残存表とは？

脱退残存表は、実質的に多重脱退表（Multiple Decrement Table）です。ある年齢（例えば25歳や30歳）から全員が退職するまで、従業員のコホートを追跡します。主な脱退理由は以下の4つです：

1. 死亡（典型的な脱退理由）
2. 脱退（退職や解雇）
3. 障害（健康上の理由による離職）
4. 定年退職（目指すべきゴール！）

覚えておくべき重要記号

頻繁に登場する記号なので、慣れておきましょう：

\( l_x^{(\tau)} \)： 年齢 \( x \) 歳時点で「在職中」の人数。\( \tau \) は「合計（Total）」を意味します。
\( d_x^{(j)} \)： 年齢 \( x \) から \( x+1 \) 歳の間に、特定の理由 \( j \) で脱退した人数。例えば、\( d_x^{(w)} \) は脱退（自己都合など）による離職者を表します。
\( q_x^{(j)} \)： \( x \) 歳時点で在職している従業員が、1年以内に理由 \( j \) で脱退する確率です。

脱退残存表の黄金律：
\( l_{x+1}^{(\tau)} = l_x^{(\tau)} - d_x^{(1)} - d_x^{(2)} - ... - d_x^{(n)} \)
要するに、翌年の人数は、今年の人数からあらゆる理由で離職した人数を引いたものになります。

例え話：穴の空いたバケツ

バケツの中の水（従業員）を想像してください。バケツの底には「定年退職」「自己都合退職」など、4つの異なる穴が空いています。脱退残存表は、時間の経過とともにそれらの穴からどれだけの水が流出し、バケツにどれだけ残っているかを測定するものです。

クイック復習：重要ポイント

• \( l_x^{(\tau)} \) は生存（在職）している集団です。
• \( d_x^{(j)} = l_x^{(\tau)} \times q_x^{(j)} \)
• 合計脱退率は、各理由の脱退率の合計です：\( q_x^{(\tau)} = \sum q_x^{(j)} \)

2. 昇給関数

誰が働いているかが分かったら、次は彼らがどれくらい稼いでいるかを知る必要があります。ほとんどの人は40年間同じ給与ではありません。昇給があるからです！この成長をモデル化するために、昇給関数（Salary Scale Function）、記号 \( s_x \) を使います。

\( s_x \) の理解

\( s_x \) は金額そのものではなく、相対指数です。ある年齢と別の年齢の給与比率を表す指標です。

ある年齢 \( x \) での給与（\( Sal_x \) とします）が分かれば、年齢 \( y \) での給与は次の式で予測できます：

\( Sal_y = Sal_x \times \frac{s_y}{s_x} \)

なぜ給与は増えるのか？

アクチュアリーは通常、昇給について以下の3つの要因を考慮します：
1. インフレ： 物価の一般的な上昇。
2. 生産性： 全体的な経済成長。
3. 能力・昇進： 年齢を重ねるごとに従業員個人のスキルが向上すること。

豆知識： 試験問題では、年間の一定成長率 \( g \) が与えられることがよくあります。その場合、昇給関数は等比数列のようになります：\( s_x = (1+g)^x \)

よくある間違い：「期中」の罠

給与がいつ支払われるかに注意してください。
• 給与が年齢 \( x \) の翌年分であれば、通常 \( s_x \) を使用します。
• 問題文で「特定の時点での給与額（レート）」について言及されている場合もあります。2年間の平均が必要なのか、それとも期中の値を使うべきか、問題文を注意深く読みましょう！

重要ポイント

昇給関数 \( s_x \) は乗数です。将来の給与を求めるには、現在の位置で割り、向かう先（将来）の値を掛ける、と覚えましょう。

3. 平均給与の計算

ほとんどの年金制度は、最後の1ヶ月の給与だけで給付額を決めません。代わりに、最高給与期間や最終給与期間の平均を使用します。これを最終平均給与（FAS：Final Average Salary）と呼びます。

最終平均給与（3年平均の例）

制度が3年平均FASを採用しており、従業員が年齢 \( R \) で退職する場合、FASは退職前の3年間の給与平均となります：

\( FAS = \frac{1}{3} [Sal_{R-1} + Sal_{R-2} + Sal_{R-3}] \)

現在の年齢 \( x \) における給与が分かっている場合、昇給関数 \( s_x \) を用いて次のように書けます：
\( FAS = \frac{Sal_x}{3} \times [ \frac{s_{R-1}}{s_x} + \frac{s_{R-2}}{s_x} + \frac{s_{R-3}}{s_x} ] \)

ステップバイステップ：FASの投影

1. 現在の年齢 \( x \) と現在の給与 \( Sal_x \) を特定する。
2. 退職年齢 \( R \) を特定する。
3. 必要な年数をリストアップする（例：5年平均なら、\( R-1, R-2, R-3, R-4, R-5 \) 歳の給与が必要）。
4. 比率 \( \frac{s_{target}}{s_x} \) を使って各給与を投影する。
5. 合計して年数で割り、平均を算出する。

4. まとめ：評価（Valuation）

なぜ脱退残存表と昇給関数の両方を使うのでしょうか？今日の年金コストを計算するためには、以下の要素が必要だからです：
1. 確率： 給付を受けるために退職まで在職している確率（脱退残存表から）。
2. 金額： 給与の一定割合であることが多い給付額（昇給関数から）。
3. 貨幣の時間価値： 将来のコストを現在価値に割引く。

概念例：
将来の退職給付の数理現価（APV）は、単純化すると以下のようになります：
\( APV = (\text{退職まで在職する確率}) \times (\text{割引係数}) \times (\text{給与に基づく投影給付額}) \)

記憶術：PASメソッド

問題を解くときは PAS を思い出してください：
P - Probability（確率）： 脱退残存表 \( \frac{l_R^{(\tau)}}{l_x^{(\tau)}} \) を使う。
A - Amount（金額）： 昇給関数と給付式を使う。
S - Sum/Standardize（合計・現在価値化）： 金利を使って現在価値に割り引く。

5. まとめと成功のためのヒント

• 整理する： 脱退残存表の問題は大きな表を扱います。列をずらさないように！
• 年齢に注意： 65歳で退職する場合、最後の勤務年（最後の給与計算期間）は64歳から65歳までです。
• 合計対個別： \( q_x^{(\tau)} \) はあらゆる理由による脱退確率です。特定の理由による脱退確率 \( q_x^{(j)} \) と混同しないようにしましょう。
• FASを練習する： FASの計算はほぼ確実に出題されます。3年平均や5年平均が自然に計算できるようになるまで練習してください。

計算が重く感じても心配いりません。私たちは「キャリアパスの予測（どれくらい続き、どれくらい稼ぐか）」をしているだけです。あなたなら大丈夫、やり遂げられます！