ラボへようこそ：新しい分布を創造しよう！

アクチュアリーへの道を進む中で、指数分布、ガンマ分布、パレート分布といった「著名な」分布にはすでに出会っていることでしょう。しかし、現実世界の保険データは厄介なものです。標準的な分布では、実際の損害額データを完璧に説明できないことが多々あります。

この章は、いわばDIYワークショップのようなものです。新しい分布をゼロから買うのではなく、すでにある分布を修正して――引き伸ばしたり、べき乗したり、あるいはパッチワークキルトのように縫い合わせたりして――新しいものを作り出します。このノートを読み終える頃には、あらゆる損害額モデルのシナリオに適合する分布を「設計」できるようになっているはずです。

クイックレビュー： 損害額モデル（Severity Model）は、損失の大きさを記述するものであることを思い出してください。この章では、そうした損失の大きさをより良く表現するために、新しい累積分布関数（CDF：\(F(x)\)）と確率密度関数（PDF：\(f(x)\)）を作り出す方法を探っていきます。


1. 乗法変換（分布のスケール変換）

これは新しい分布を作る最も単純な方法です。確率変数 \(X\)（クレームを表す）があり、それを正の定数 \(c > 0\) で乗算すると、新しい確率変数 \(Y = cX\) が得られます。

なぜこれを行うのか？
米ドル単位のクレーム分布を、ユーロ単位に変換しなければならない状況を想像してみてください。あるいは、インフレによってすべてのクレームが5%増加したとします。このような場合に分布のスケール変換を行います。

数学的表現：
\(Y = cX\) のとき、新しい累積分布関数（CDF）は次のようになります：
\(F_Y(y) = F_X(y/c)\)

新しい確率密度関数（PDF）は次のようになります：
\(f_Y(y) = \frac{1}{c} f_X(y/c)\)

重要概念：尺度パラメータ（\(\theta\)）
SOAの多くの分布において、パラメータ \(\theta\) は尺度パラメータ（scale parameter）です。分布全体を \(c\) 倍すると、通常は元の \(\theta\) を \(c\) 倍するだけで新しい \(\theta\) が得られます。例えば、\(X \sim \text{Exponential}(\theta)\) ならば、\(cX \sim \text{Exponential}(c\theta)\) となります。

よくある間違い：
PDFを求める際、関数内部で \(c\) で割ることだけでなく、外側で \(1/c\) を掛けることを忘れないように注意してください！

重要ポイント： 分布を定数 \(c\) で乗算すると、分布が「引き伸ばされ」ます。形状は維持されますが、スケールが変化するのです。


2. べき変換（Power Transformations）

分布をべき乗にしたらどうなるでしょうか？元の変数を \(X\) とすると、\(Y = X^{1/\tau}\)（あるいは \(Y = X^\tau\)）という新しい変数を作ることができます。

数学的表現：
\(Y = X^{1/\tau}\) のとき、\(X = Y^\tau\) となり、CDFは次のようになります：
\(F_Y(y) = F_X(y^\tau)\)

「変換系」のファミリー：
ASTAMのテーブルにある有名な分布のいくつかは、この方法で作られています：
1. 変換ガンマ分布（Transformed Gamma）： ガンマ分布をべき乗して作成されます。
2. バー分布（Burr Distribution）： パレート分布をべき乗して作成されます。

暗記のヒント：
べき指数 \(\tau\)（タウ）を「タフネス（Toughness：頑健さ）」と考えてみてください。クレームをべき乗することは、その分布の「裾（tail）」の重さを変えることにつながります。べき指数を大きくすることで、巨大なクレームが発生する確率を大幅に高くしたり、あるいは低くしたりできます。

重要ポイント： べき変換は分布の形状と裾の重さを変化させ、極端な値が現れる可能性を調整します。


3. 指数変換

この変換では、確率変数 \(X\) を \(Y = e^X\) に変換します。

有名な例：対数正規分布（Lognormal）
\(X\) が正規分布に従う場合、\(Y = e^X\) は対数正規分布に従います。これは常に正の値を取り、右に裾が長い（保険のクレームに最適！）ため、損害額モデルにおいて最も重要な分布の一つです。

数学的表現：
\(Y = e^X\) のとき、\(X = \ln(Y)\) となります。CDFは次のようになります：
\(F_Y(y) = F_X(\ln y)\)

豆知識：
新しい分布に「Log-（対数-）」という接頭辞が付くのには理由があります（例：対数ロジスティック分布、対数正規分布）。これは、クレーム額の「対数」を取れば、元の分布に従うことを意味しています。

重要ポイント： 指数変換は、厳密に正の値を取り、しばしば非常に長く「重い」裾を持つ分布を作るために使用されます。


4. 混合分布

混合（Mixing）は、スムージーを作るようなものです。クレーム額同士を足し合わせるのではなく、「このクレームは分布Aから来る確率がいくらで、分布Bから来る確率がいくらである」と定義するのです。

離散混合：
例えば「安全なドライバー（分布 \(F_1\)）」と「危険なドライバー（分布 \(F_2\)）」という2種類のドライバーがいるとします。ドライバーの70%が安全、30%が危険な場合、全体の分布は次のようになります：
\(F(x) = 0.70 F_1(x) + 0.30 F_2(x)\)

一般式：
\(F(x) = \sum_{i=1}^{n} a_i F_i(x)\)、ここで重み \(a_i\) の合計は必ず1になります（\(\sum a_i = 1\)）。

混合のステップ・バイ・ステップ：
1. 個々の分布（\(F_1, F_2, ...\)）を特定する。
2. 重み（各グループに属する確率）を特定する。
3. 各CDFまたはPDFにその重みを掛ける。
4. それらを合計する！

よくある間違い：
学生は「混合（Mixing）」と「確率変数の和（Adding）」をよく混同します。
- 混合： 「クレームはタイプA、あるいはタイプBのどちらかである」
- 和： 「総クレーム額は、クレームAとクレームBの合計である」
これらは数学的に全く別物です！混合は「重み」を使いますが、和は「畳み込み（コンボリューション）」を伴います（こちらはずっと複雑です）。

重要ポイント： 混合を用いることで、行動が異なる複数のサブグループを持つ集団をモデリングできます。


5. スプライシング（Splicing）

スプライシングは「フランケンシュタイン」の手法です。少額クレームには一つの分布を、高額クレームには別の分布を使用します。小さな「かすり傷程度の事故」と「全損クラスの災害」では挙動が異なるため、保険実務では非常によく使われます。

アナロジー：
1ドルから10ドルまでの商品には一つの価格表を使い、10ドルを超える商品には全く別の価格表を使う店を想像してください。ルールが変わるその地点（10ドル）を閾値（threshold）または結合点（join point）と呼びます。

数学的表現：
スプライシングされたPDFは以下のようになります：
\(f(x) = \begin{cases} a_1 f_1(x) & 0 < x < k \\ a_2 f_2(x) & x > k \end{cases}\)

極めて重要なルール：面積は1でなければならない！
忘れてはならない最も重要なことは、スプライシングされたPDFの下側の面積の合計が必ず1になることです。通常、個々のパーツが適切に組み合わさるように、重み（\(a_i\)）を使ってスケール調整を行う必要があります。

スプライシングの例：
0ドルから5,000ドルまでのクレーム（ボディ部分）には指数分布を使い、5,000ドルを超えるクレーム（裾部分）にはパレート分布を使う、といったケースです。

クイックレビュー：スプライシングの扱い方
- 閾値（\(k\)）を確認する。
- 全区間での確率の合計が1であることを確認する。
- CDFを求めよと言われたら、前の区間からの確率を引き継ぎながら、各パーツを注意深く積分する。

重要ポイント： スプライシングを行うことで、異なるクレームサイズにおける異なる挙動を捉えるために、複数のモデルを「縫い合わせる」ことができます。


最終まとめ：ツールボックス

これらの変換が抽象的だと感じても心配はいりません。各ツールがデータの「形状」に対して何をするのかさえ覚えておけば大丈夫です：

- 乗法変換： スケールを変更する（通貨・インフレ）。
- べき変換： 裾の重さを変更する（バー分布、変換ガンマ分布）。
- 指数変換： 正の値のみの分布を作成する（対数正規分布）。
- 混合： 異なるグループを組み合わせる（安全な人 vs 危険な人）。
- スプライシング： 異なるクレームサイズを組み合わせる（少額 vs 高額）。

大丈夫、あなたならできます！ これらのツールは、ASTAM試験の後半で扱うより洗練されたモデルを構築するための基礎となります。