Interest and principal repayment in a payment

分析：利息と元金の構成要素

こんにちは！自動車ローンや住宅ローンの明細を見たとき、毎月の支払額は変わらないのに、借金の「返済」に充てられる金額が毎月変化していることに気づいたことはありませんか？この章では、その仕組みを紐解き、支払額がどのように銀行の利益（利息：Interest）と借金の削減（元金：Principal）に分割されるのかを詳しく見ていきます。

最初は難しく感じるかもしれませんが、大丈夫です。一度パターンをつかんでしまえば、心拍数のようにはっきりと予測できるようになります！このノートを読み終える頃には、例えばローンの42回目の支払いのうち、どれだけが残高の削減に充てられ、どれだけが利息に充てられるのかを正確に計算できるようになります。それでは、さっそく始めましょう！

1. ローン返済の黄金律

ローンに対して一定額（これを \( R \) と呼びます）を支払うたびに、その支払いは同時に2つの役割を果たしています：

1. 前回の支払いから積み重なった利息（\( I_t \)）を支払う。
2. 借金総額を減らすために、元金（\( P_t \)）の一部を支払う。

ここから、最も重要な基本式が導かれます。
\( R = I_t + P_t \)

次のようにイメージしてください： 友人に100ドル借りていて、利息5％を支払う約束をしたとします。15ドルを返済すると、友人はまず利息分として5ドルを受け取ります。残りの10ドルが借金を90ドルまで減らすために使われます。この場合、\( R = 15 \)、\( I = 5 \)、\( P = 10 \) となります。

クイック復習：主要変数

• \( R \): 期間ごとの合計支払額（分割払いの金額）。
• \( I_t \): \( t \) 回目の支払いにおける利息部分。
• \( P_t \): \( t \) 回目の支払いにおける元金部分（返済された資本額）。
• \( OB_t \): \( t \) 回目の支払い直後の未払残高（Outstanding Balance）。
• \( i \): 期間ごとの実効利子率。

2. 利息部分（\( I_t \)）の計算

銀行は、あなたが現在負っている借金に対してのみ利息を課します。したがって、支払いの利息部分は常に、その支払いを行う直前の残高に基づいて計算されます。

公式：
\( I_t = i \times OB_{t-1} \)

ステップバイステップの論理：
1. 前期間の残高（\( OB_{t-1} \)）を確認する。
2. それに利子率（\( i \)）を掛ける。
3. その結果が、今回の支払いにおける利息部分（\( I_t \)）となる。

まとめ： ローン残高（\( OB \)）が時間とともに減少するにつれて、各支払いの利息部分（\( I_t \)）も減少していきます。これが、長期の住宅ローンを開始した当初は、支払いのほとんどが利息に消えてしまう理由です！

3. 元金部分（\( P_t \)）の計算

合計支払額（\( R \)）がわかっていて、利息（\( I_t \)）を計算済みであれば、元金は単純な引き算で求められます。

公式：
\( P_t = R - I_t \)

上記の利息の公式を代入すると、以下のようになります。
\( P_t = R - (i \times OB_{t-1}) \)

まとめ： 利息部分は支払いごとに減少するため、合計支払額（\( R \)）を一定に保つには、元金部分は増加しなければなりません。つまり、時間が経つにつれてローンはより速いペースで返済されていくのです！

4. 元金の幾何学的な増加

ここでお伝えする「ショートカット」は、Exam FMで非常によく使われます。連続する支払いの元金部分は、実は等比数列（幾何数列）を形成します。

関係式：
\( P_{t+1} = P_t(1+i) \)

これは、最初の元金返済額（\( P_1 \)）がわかっていれば、どの元金返済額（\( P_t \)）も以下の公式で求められることを意味します。
\( P_t = P_1(1+i)^{t-1} \)

覚え方のコツ： 元金は利子率の分だけ「成長」します。貯蓄口座のお金が \( (1+i) \) 倍になっていくのと同じように、毎月返済する元金も \( (1+i) \) 倍ずつ増えていくのです。

豆知識

この幾何学的な関係は、支払額が一定（level payment）である場合にのみ成り立ちます。支払額 \( R \) が変動する場合、このパターンも変わりますので注意してください！

5. 直接公式（\( n \) と \( t \) を用いる）

試験では残高が与えられないこともあります。その場合は、総支払回数（\( n \)）と利子率（\( i \)）だけを用いて計算します。ローン総額が1（\( R = 1 \) の場合）であれば、以下の「直接公式」が使えます：

• \( P_t = v^{n-t+1} \)
• \( I_t = 1 - v^{n-t+1} \)

では、支払額が1ではなく \( R \) だったら？簡単です、結果に \( R \) を掛けるだけです！
\( P_t = R \cdot v^{n-t+1} \)
\( I_t = R(1 - v^{n-t+1}) \approx R \cdot a_{\overline{n-t+1}|} \cdot i \)

よくある間違い： 指数に注意してください！指数は \( n-t+1 \) です。10年ローンの5回目の支払いを調べる場合、指数は \( 10 - 5 + 1 = 6 \) となります。

6. 償却計算のまとめ表

「償却予定表（Amortization Schedule）」を見たとき、各値は時間経過とともに以下のように変化します：

項目	時間経過とともに...	理由
支払額（\( R \)）	不変	契約で固定されているため。
利息（\( I_t \)）	減少	残高が減っていくため。
元金（\( P_t \)）	増加	一定支払額のうち、「余る」部分が大きくなるため。
未払残高（\( OB_t \)）	減少	元金が返済されているため。

7. 例題解説

シナリオ： 10,000ドルのローンを、実効年利6％で5年間の年払いにて返済します。3回目の支払いにおける元金部分と利息部分を計算してください。

ステップ1：一定支払額 \( R \) を計算する。
\( 10,000 = R \cdot a_{\overline{5}|0.06} \)
計算機を使って：\( R = 10,000 / 4.21236 = 2,373.96 \)。

ステップ2：元金部分 \( P_3 \) を計算する。
直接公式を使用：\( P_t = R \cdot v^{n-t+1} \)
\( P_3 = 2,373.96 \cdot (1.06)^{-(5-3+1)} = 2,373.96 \cdot (1.06)^{-3} \)
\( P_3 = 2,373.96 \cdot 0.83962 = 1,993.22 \)。

ステップ3：利息部分 \( I_3 \) を計算する。
\( I_3 = R - P_3 \)
\( I_3 = 2,373.96 - 1,993.22 = 380.74 \)。

検証： \( OB_2 \) を求めて0.06を掛けても同じ結果になります。ぜひ試してみてください！

8. 試験のためのプロのヒント

1. \( P_t \) の比率： 2つの元金返済額（例：\( P_5 = 100 \)、\( P_{10} = 150 \)）が与えられたら、利子率をすぐに求められます：\( 150 = 100(1+i)^5 \)。ここから \( i \) を解くだけです！
2. 「元金の総和」： \( t=1 \) から \( n \) までの全 \( P_t \) の合計は、元のローン総額（\( L \)）と等しくなるはずです。もし一致しなければ、どこかで計算ミスをしています。
3. 端数処理は慎重に： 現実世界ではセント単位で四捨五入しますが、試験では「端数による誤差」を避けるため、最後の計算まで可能な限り多くの桁数を保持するようにしてください。

要点まとめ

利息は、お金を借りる権利に対する対価です（前回の残高に基づきます）。
元金は、実際に借金を消すために支払うお金です。
時間が経つにつれて、利息部分は減少し、元金部分は利子率 \( i \) で幾何学的に増加します。
合計支払額 = 利息 + 元金。