Price, book value, and market value

債券評価の世界へようこそ！

未来の保険数理士の皆さん、こんにちは！今日は、Exam FM（金融数学）の試験範囲の中で、最も実用的で頻出する項目の一つである、債券の価格（Price）、帳簿価額（Book Value）、および時価（Market Value）について深く掘り下げていきます。これらの用語を会計の専門用語のように感じて身構える必要はありません。このガイドを読み終える頃には、これらが時間の経過とともに債券の価値がどのように変化するかを見るための、単なる異なる視点であるということが理解できるはずです。これは、お金を貸した側の視点から、ローンの「残高」を追跡する方法を学ぶことだと考えてみてください。

1. 債券価格の決定

帳簿価額の話をする前に、まずは債券がどのように価格付けされるかを知る必要があります。簡単に言えば、債券の価格とは、その債券が将来支払うすべてのキャッシュフローの現在価値（Present Value, PV）のことです。

債券を購入すると、以下の2つが得られます。
1. クーポン（利子）と呼ばれる定期的な支払いの列。
2. 満期時に受け取る償還金額（Redemption Value）（通常は \(C\) で表されます）。

基本的な価格計算式

Exam FMで使われる標準的な式は以下の通りです。
\(P = Fra_{\overline{n}|i} + Cv^n\)

ここで：
\(P\) = 価格
\(F\) = 額面金額（クーポン額の計算に使用）
\(r\) = 期間あたりのクーポンレート（利率）
\(i\) = 利回り（投資家が実際に稼ぐ金利）
\(n\) = 満期までの期間数
\(C\) = 償還金額（通常は額面金額と同じですが、必ずしもそうとは限りません！）

ワンポイントアドバイス： 問題文に「1,000ドルの債券」とある場合、特に断りがない限り、通常は \(F\) も \(C\) も1,000ドルであることを意味します。償還金額が異なる場合は、問題文の中で「\(C\) で償還される債券」と明示されます。

例え：果樹

果樹を買う場面を想像してみてください。「価格」は今日支払う金額です。「クーポン」は毎年得られる果実のバスケットです。「償還金額」は、木が実をつけなくなったときに木材として売却できる金額です。公正な価格を見つけるには、将来得られるすべての果実と木材の価値を、今日の貨幣価値に換算して合計すればよいのです！

重要なポイント： 価格とは、単に割り引かれたクーポンと、割り引かれた償還金額の合計です。

2. プレミアム（打歩）とディスカウント（割引）

債券がプレミアム（打歩）で売られている、あるいはディスカウント（割引）で売られているという話をよく耳にするでしょう。これは完全に、クーポンレート（\(r\)）と利回り（\(i\)）の関係によって決まります。

プレミアム（\(P > C\)）： これは、クーポンレートが市場金利よりも高い場合に起こります（\(r > i\)）。投資家は高いクーポンを好むため、それを得るために償還金額よりも高い金額を支払おうとします。
ディスカウント（\(P < C\)）： これは、クーポンレートが市場金利よりも低い場合に起こります（\(r < i\)）。クーポンが「低い」ため、買い手を引き付けるためには債券を安くする必要があります。

記憶のコツ： 「クーポンが Great（高い） なら、支払う Rate（価格） は高くなる（プレミアム）。クーポンが Low（低い） なら、価格は Go（下がる） 必要がある（ディスカウント）。」

3. 帳簿価額（\(B_t\)）

時刻 \(t\) における債券の帳簿価額とは、投資家の貸借対照表に記録される債券の価値です。これは本質的に、任意の時点における債券の「未収残高」を指します。

帳簿価額の計算方法

時刻 \(t\) における帳簿価額を求めるには2つの方法がありますが、Exam FMでは将来価値法（Prospective Method）が最も簡単です。

将来価値法：
\(B_t = Fra_{\overline{n-t}|i} + Cv^{n-t}\)

平たく言えば、今日の帳簿価額を求めるには、残っているすべての支払いの現在価値を計算するだけです。10年満期の債券がすでに4年経過しているなら、残りは6年です。その残りの6年間のクーポンと償還金額の現在価値を求めればよいのです。

豆知識： 最初（時刻0）の時点では、帳簿価額は価格そのものです（\(B_0 = P\)）。最後（時刻 \(n\)）の時点では、帳簿価額は正確に償還金額になります（\(B_n = C\)）。

4. プレミアムの償却とディスカウントの蓄積

時間が経つにつれて、帳簿価額は元の価格から最終的な償還金額へと向かって移動します。この動きを償却（amortization）（価値が下がる場合）または蓄積（accumulation）（価値が上がる場合）と呼びます。

基本的な関係性

どの期間においても、常に以下のことが成り立ちます。
得られた利息 = （期間開始時の帳簿価額） \(\times\) （利回り \(i\)）
元本の調整 = クーポン - 得られた利息

1. プレミアムの償却： プレミアムを支払った場合、帳簿価額は \(C\) に達するまで毎期減少します。毎期減少する金額が「プレミアムの償却」です。
2. ディスカウントの蓄積： ディスカウントで購入した場合、帳簿価額は \(C\) に達するまで毎期増加します。この増加分が「ディスカウントの蓄積」です。

ステップ・バイ・ステップ：償却計画のロジック

1. 期首の帳簿価額（\(B_{t-1}\)）から開始します。
2. 得られた利息を計算します：\(I_t = i \cdot B_{t-1}\)。
3. クーポンを確認します：\(Fr\)。
4. その差額 \((Fr - I_t)\) が帳簿価額の変動分です。
5. 新しい帳簿価額：\(B_t = B_{t-1} - (Fr - I_t)\)。

よくある間違い： クーポンと得られた利息を混同しないでください。クーポンは実際に受け取る現金であり、得られた利息は利回りに基づく投資の理論的な成長分です。

重要なポイント： 帳簿価額は、時間の経過とともに常に償還金額に「収束」していきます。

5. 時価（Market Value）

帳簿価額が債券購入時の利回りに基づいているのに対し、時価は現在の市場金利に基づいて今日売却した場合の価格です。

計算方法： 時価は帳簿価額と全く同じように計算しますが、元の利回り（\(i\)）の代わりに現在の市場金利（\(i'\)）を使用します。

\(MV_t = Fra_{\overline{n-t}|i'} + Cv_{i'}^{n-t}\)

例え： 固定金利の住宅ローンで家を買ったと想像してください。あなたの「帳簿価額」は、契約に基づいたローン残高のようなものです。一方「時価」は、もしあなたが今の不動産市場で家を売ろうとしたときに、他人が支払うであろう価格のことです。これらは大きく異なる可能性があります！

6. まとめとクイックレビュー

クイックレビュー

- 価格 (\(P\)): 時刻0におけるすべての将来キャッシュフローの現在価値。
- 帳簿価額 (\(B_t\)): 購入時の利回りを用いた、時刻 \(t\) における残りのキャッシュフローの現在価値。
- 時価 (\(MV_t\)): 現在の市場利回りを用いた、時刻 \(t\) における残りのキャッシュフローの現在価値。
- プレミアム: \(r > i\) のとき、価格 \(>\) 償還金額。
- ディスカウント: \(r < i\) のとき、価格 \(<\) 償還金額。

最後に

償却計画の公式が最初は圧倒されるように感じても、心配しないでください。核となるコンセプトを思い出してください。債券とは単なる支払いの列に過ぎません。 開始時の価格を求める場合でも、途中の帳簿価額を求める場合でも、行っていることは「現在価値の計算」だけです。「将来価値法」をマスターすれば、Exam FMのこのセクションを確実に攻略できるはずです！