Valuation and Hedging Using Binomial Trees

ยินดีต้อนรับสู่การตีราคาและบริหารความเสี่ยงด้วยแบบจำลองต้นไม้ทวิภาค (Binomial Trees)!

ยินดีต้อนรับว่าที่ CAIA Charterholder ทุกคน! วันนี้เราจะมาเจาะลึกเครื่องมือที่ใช้งานได้จริงและเข้าใจง่ายที่สุดอย่างหนึ่งในโลกการเงิน นั่นคือ Binomial Trees หากคุณเคยรู้สึกหวั่นใจกับสูตรการคำนวณราคาออปชันที่ซับซ้อนอย่าง Black-Scholes ล่ะก็ คุณจะหลงรักเครื่องมือนี้แน่นอน ให้ลองนึกภาพว่า Binomial Tree เหมือนกับแผนที่ "เลือกเส้นทางผจญภัยด้วยตัวเอง" ของราคาหุ้น ซึ่งจะแบ่งเวลาออกเป็นช่วงสั้นๆ ทำให้เราเห็นภาพได้ชัดเจนขึ้นมากว่ามูลค่าของออปชันจะเปลี่ยนแปลงอย่างไรเมื่อสินทรัพย์อ้างอิงขยับขึ้นหรือลง

เมื่อจบคำแนะนำนี้ คุณจะเข้าใจวิธีสร้างแผนภูมิเหล่านี้ รู้วิธีตีราคาออปชัน และวิธีนำไปใช้ในการทำ Hedging มาเริ่มกันเลย!

1. พื้นฐาน: Binomial Tree คืออะไร?

หัวใจสำคัญของ Binomial Tree คือการเป็น แบบจำลองเวลาแบบไม่ต่อเนื่อง (Discrete-time model) ซึ่งต่างจากบางแบบจำลองที่สมมติว่าราคาขยับอยู่ตลอดเวลา แต่แบบจำลองนี้สมมติว่าราคาจะเปลี่ยนเฉพาะในช่วงเวลาที่กำหนดเท่านั้น (เช่น เดือนละครั้ง หรือปีละครั้ง)

ในแต่ละช่วงเวลา ราคาหุ้นสามารถเกิดขึ้นได้เพียง 2 อย่างเท่านั้น:
1. ขยับ ขึ้น (Up) (คูณด้วย "ปัจจัยขาขึ้น" หรือ u)
2. ขยับ ลง (Down) (คูณด้วย "ปัจจัยขาลง" หรือ d)

การเปรียบเทียบ: การโยนเหรียญ
ลองนึกภาพหุ้นที่มีราคา 100 ดอลลาร์ ในหนึ่งเดือนเราโยนเหรียญ ถ้าออกหัว หุ้นจะขึ้นไปที่ 110 ดอลลาร์ (Up) แต่ถ้าออกก้อย จะลงไปที่ 90 ดอลลาร์ (Down) รูปทรงตัว "V" ง่ายๆ แบบนี้แหละครับที่เป็นอิฐบล็อกก่อสร้างทุก Binomial Tree!

คำศัพท์สำคัญที่ต้องจำ:

u (Up Factor): โดยทั่วไปคือ \(1 + \text{เปอร์เซ็นต์ที่เพิ่มขึ้น}\) ซึ่งต้องมากกว่า 1 เสมอ
d (Down Factor): โดยทั่วไปคือ \(1 - \text{เปอร์เซ็นต์ที่ลดลง}\) ซึ่งต้องน้อยกว่า 1 เสมอ
อัตราผลตอบแทนที่ปราศจากความเสี่ยง (Risk-free rate: r): นี่คือผลตอบแทนที่คุณได้รับจากการลงทุนที่ "ปลอดภัย" เช่น ตั๋วเงินคลัง เพื่อให้แบบจำลองทำงานได้โดยไม่มี "เงินฟรี" (การเก็งกำไรส่วนต่าง หรือ Arbitrage) อัตราปลอดความเสี่ยงจะต้องอยู่ระหว่างการเคลื่อนที่ขึ้นและลง: \(d < (1+r) < u\)

ทบทวนสั้นๆ: Binomial Tree สมมติว่ามีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ 2 อย่างในแต่ละก้าว เป็นแบบจำลองที่ไม่ต่อเนื่องที่ใช้เพื่อจำลองราคาในอนาคต

2. แบบจำลองทวิภาคขั้นเดียว (One-Step Binomial Model)

ลองมาดูทีละก้าวกันครับ เราต้องการหามูลค่าของออปชันใน วันนี้ โดยอิงจากมูลค่าที่อาจเกิดขึ้นใน อนาคต

ในการทำเช่นนี้ เราจะใช้แนวคิดที่เรียกว่า การตีราคาแบบเป็นกลางต่อความเสี่ยง (Risk-Neutral Valuation) นี่คือ "กลเม็ด" ทางคณิตศาสตร์ที่ช่วยให้เราตีราคาออปชันได้เสมือนว่าทุกคนในโลกไม่สนใจความเสี่ยง ซึ่งไม่ได้แปลว่าคนเรา ไม่สนใจความเสี่ยงจริงๆ นะครับ แต่มันหมายความว่าในโลกที่ไม่มี Arbitrage ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์จะออกมาเท่ากัน!

ขั้นตอนที่ 1: คำนวณความน่าจะเป็นแบบเป็นกลางต่อความเสี่ยง (p)

นี่คือ "ความน่าจะเป็น" ที่หุ้นจะขึ้นในโลกที่เป็นกลางต่อความเสี่ยงของเรา
สูตรคือ:
\(p = \frac{(1 + r) - d}{u - d}\)

ไม่ต้องกังวลถ้ารู้สึกว่ามันดูยากในช่วงแรก! แค่จำไว้ว่า \(p\) คือความน่าจะเป็นที่หุ้นจะ "ขึ้น" และ \((1 - p)\) คือความน่าจะเป็นที่หุ้นจะ "ลง"

ขั้นตอนที่ 2: คำนวณผลตอบแทนของออปชัน (Option Payoffs)

หามูลค่าของออปชันที่ปลายทางของช่วงเวลานั้น
สำหรับ Call Option: \(\max(0, \text{ราคาหุ้น} - \text{ราคาใช้สิทธิ})\)
สำหรับ Put Option: \(\max(0, \text{ราคาใช้สิทธิ} - \text{ราคาหุ้น})\)

ขั้นตอนที่ 3: คิดลดกลับมาเป็นมูลค่าปัจจุบัน

เรานำผลตอบแทนในอนาคตมาหาค่าเฉลี่ย (ถ่วงน้ำหนักด้วยความน่าจะเป็น) แล้วคิดลดกลับมาเป็นปัจจุบันโดยใช้อัตราปลอดความเสี่ยง
มูลค่าออปชัน (Option Value) = \(\frac{[p \times C_u + (1 - p) \times C_d]}{(1 + r)}\)

โดยที่ \(C_u\) คือมูลค่าของ Call หากหุ้นขึ้น และ \(C_d\) คือมูลค่าหากหุ้นลง

ประเด็นสำคัญ: การตีราคาแบบ Risk-Neutral หมายความว่าเราไม่จำเป็นต้องรู้ความน่าจะเป็น จริงๆ ว่าหุ้นจะขึ้นหรือไม่ เราต้องการเพียงแค่อัตราปลอดความเสี่ยงและปัจจัยขาขึ้น/ขาลงเท่านั้น

3. ต้นไม้หลายขั้นตอน (Multi-Step Trees): เดินหน้าและถอยหลัง

ต้นไม้แบบสองขั้นตอนก็คือต้นไม้ขั้นเดียวสองอันมาเชื่อมกัน ซึ่งจะมีหน้าตาเหมือนรูปทรงเพชร
ขั้นที่ 0: วันนี้ (\(S\))
ขั้นที่ 1: หุ้นคือ \(Su\) หรือ \(Sd\)
ขั้นที่ 2: หุ้นคือ \(Suu\), \(Sud\), หรือ \(Sdd\)

กระบวนการ Backward Induction (การย้อนกลับ)

ชื่ออาจฟังดูหรูหรา แต่มันหมายถึงการทำงานแบบ ย้อนกลับ จากอนาคตมาสู่อดีต:
1. คำนวณราคาหุ้นที่ทุก Node (จากซ้ายไปขวา)
2. คำนวณมูลค่าออปชันที่ Node สุดท้าย (วันหมดอายุ)
3. ย้อนกลับมาหนึ่งขั้น (มาทางซ้าย) คำนวณมูลค่าออปชันที่ Node นั้นโดยใช้สูตรจากบทที่ 2
4. ทำซ้ำจนกว่าจะถึงวันนี้ (Node 0)

คุณทราบหรือไม่? ใน Binomial Tree การขยับแบบ "ขึ้นแล้วลง" (\(ud\)) จะให้ราคาหุ้นเท่ากับ "ลงแล้วขึ้น" (\(du\)) นี่คือเหตุผลที่ต้นไม้นี้ยังคงจัดการได้ง่าย ไม่แตกกิ่งก้านออกมานับพัน!

4. ออปชันแบบอเมริกัน vs ยุโรป

หัวข้อนี้เป็นหัวข้อโปรดของข้อสอบ CAIA เลยครับ!
European Options: ใช้สิทธิได้เฉพาะวันสุดท้ายเท่านั้น (ที่ Node สุดท้าย)
American Options: ใช้สิทธิได้ ตลอดเวลา

เมื่อตีราคา American Option คุณต้องตรวจสอบเพิ่มอีกหนึ่งขั้นตอนที่ทุกๆ Node:
ถามตัวเองว่า: "ออปชันนี้จะมีมูลค่ามากกว่าไหมถ้าฉันถือไว้ต่อ หรือถ้าฉันใช้สิทธิในตอนนี้เลย?"

กฎคือ: มูลค่าที่ Node = \(\max(\text{มูลค่าจากสูตร}, \text{มูลค่าจากการใช้สิทธิทันที})\)

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย: นักศึกษามักลืมตรวจสอบการใช้สิทธิก่อนกำหนดสำหรับ Put แบบอเมริกัน แม้ว่าการใช้สิทธิ Call แบบอเมริกันก่อนกำหนด (ในหุ้นที่ไม่จ่ายปันผล) มักจะไม่ใช่ทางเลือกที่เหมาะสมที่สุด แต่สำหรับ Put แบบอเมริกัน การใช้สิทธิก่อนกำหนดมักเป็นทางเลือกที่คุ้มค่ามากหากราคาหุ้นตกลงอย่างรุนแรง

ประเด็นสำคัญ: ออปชันแบบอเมริกันจะตีราคาโดยเลือกมูลค่าที่สูงกว่าระหว่าง "มูลค่าจากการถือครอง" (ค่าคาดหวังที่คิดลดแล้ว) กับ "มูลค่าที่แท้จริง" (มูลค่าจากการใช้สิทธิ) ในแต่ละ Node

5. Delta Hedging: การรักษาสมดุล

Delta (\(\Delta\)) บอกเราว่าต้องซื้อหรือขายหุ้นกี่หุ้นเพื่อสร้างการป้องกันความเสี่ยงที่ "ไร้ความเสี่ยง" หากคุณเป็น "Delta Neutral" หมายความว่ามูลค่าพอร์ตโดยรวมของคุณจะไม่เปลี่ยนแปลงหากราคาหุ้นขยับไปเพียงเล็กน้อย

ในแบบจำลองทวิภาค Delta คืออัตราส่วนของการเปลี่ยนแปลงในราคาออปชันต่อการเปลี่ยนแปลงในราคาหุ้น:
\(\Delta = \frac{C_u - C_d}{S_u - S_d}\)

การเปรียบเทียบ: ไม้กระดานหก
ลองนึกภาพไม้กระดานหก หุ้นอยู่ข้างหนึ่ง ออปชันอยู่อีกข้าง Delta คือ "จุดสมดุล" หากหุ้นขยับขึ้น 1 ดอลลาร์ และออปชันขยับขึ้น 0.50 ดอลลาร์ Delta ของคุณคือ 0.5 ในการทำ Hedging ออปชัน 1 สัญญา คุณจะต้องขายหุ้น 0.5 หุ้น

คุณสมบัติของ Hedge Ratio:

1. สำหรับ Call Option: Delta จะอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 เสมอ
2. สำหรับ Put Option: Delta จะอยู่ระหว่าง -1 ถึง 0 เสมอ (ติดลบเพราะ Put มีมูลค่าเพิ่มขึ้นเมื่อหุ้นตก)

ทบทวนสั้นๆ: Delta คือ "Hedge Ratio" มันบอกคุณว่าต้องชดเชยความเสี่ยงของออปชันโดยการเทรดหุ้นอ้างอิงอย่างไร

เช็คลิสต์เพื่อความสำเร็จ

ก่อนที่คุณจะไปต่อในบทถัดไป ตรวจสอบให้แน่ใจว่าคุณทำสิ่งเหล่านี้ได้:
1. คำนวณปัจจัยขาขึ้น (\(u\)) และขาลง (\(d\)) จากการเปลี่ยนแปลงเป็นเปอร์เซ็นต์ได้
2. คำนวณความน่าจะเป็นแบบ Risk-Neutral (\(p\)) ได้
3. ตีราคา European Option โดยการคำนวณย้อนกลับ (Backward Induction) ผ่านต้นไม้สองขั้นได้
4. ระบุได้ว่าเมื่อไหร่ควรใช้สิทธิ American Option ก่อนกำหนด
5. คำนวณ Delta (\(\Delta\)) ที่ Node ใดๆ ในต้นไม้ได้

ถ้ารู้สึกว่ามีหลายขั้นตอน ไม่ต้องกังวลนะ! ความสวยงามของ Binomial Trees คือความสม่ำเสมอ เมื่อคุณเชี่ยวชาญการคำนวณขั้นเดียวแล้ว ที่เหลือก็แค่ทำซ้ำกระบวนการเดิมไปเรื่อยๆ ฝึกฝนการทำ "Backward Induction" บ่อยๆ แล้วคุณจะกลายเป็นมือโปรในเวลาไม่นาน!