ยินดีต้อนรับสู่โลกของ Convexity ของตราสารหนี้!

ในการเดินทางบนเส้นทางของ Fixed Income จนถึงตอนนี้ คุณได้เรียนรู้เกี่ยวกับ Duration ซึ่งเป็นเครื่องมือที่เราใช้ประเมินว่าราคาของตราสารหนี้จะเปลี่ยนแปลงไปอย่างไรเมื่ออัตราดอกเบี้ยเปลี่ยนไป แต่มีจุดที่ต้องระวังอยู่อย่างหนึ่ง คือ Duration นั้นตั้งสมมติฐานว่าความสัมพันธ์ระหว่างราคากับอัตราผลตอบแทน (Yield) เป็นเส้นตรง แต่ในความเป็นจริงแล้ว มันคือเส้นโค้ง!

ในบทนี้ เราจะมาเรียนรู้เกี่ยวกับ Convexity กัน ให้ลองคิดว่า Duration คือ "การคาดเดาที่ดีที่สุด" ของคุณ และ Convexity คือ "ตัวปรับแก้" ที่จะทำให้การคาดเดานั้นแม่นยำขึ้นมาก ไม่ว่าคุณจะเป็นคนที่ถนัดคณิตศาสตร์หรือชอบทำความเข้าใจด้วยภาพ ไม่ต้องกังวลไปครับ เราจะค่อยๆ เจาะลึกไปทีละขั้นตอน!

1. ทำไม Duration ถึงไม่เพียงพอ: แนวคิดเรื่อง Convexity

หากคุณดูกราฟที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างราคาตราสารหนี้และอัตราผลตอบแทน คุณจะสังเกตเห็นว่ามันไม่ใช่เส้นตรง แต่มันเป็นเส้นโค้งที่โค้งเข้าหาจุดกำเนิด รูปทรงที่ "โค้ง" นี้แหละที่เราเรียกว่า Convexity

ปัญหาที่เกิดขึ้น: Modified Duration เป็นการประมาณการแบบเส้นตรง (linear approximation) ซึ่งใช้งานได้ดีสำหรับการเปลี่ยนแปลงของ Yield เพียงเล็กน้อย แต่ถ้าเกิดการเปลี่ยนแปลงของ Yield อย่างมาก Duration จะเริ่มให้คำตอบที่ผิดพลาด โดยมันจะประเมินการเพิ่มขึ้นของราคาต่ำเกินไปเมื่อ Yield ลดลง และประเมินการลดลงของราคามากเกินไปเมื่อ Yield เพิ่มขึ้น

ทางแก้: Convexity คือผลกระทบ "ลำดับที่สอง" (second-order effect) ซึ่งทำหน้าที่วัดอัตราการเปลี่ยนแปลงของ Duration การนำ Convexity มาเป็นตัวปรับแก้ (adjustment) ในการคำนวณ Duration จะช่วยให้เราประมาณการการเปลี่ยนแปลงของราคาได้แม่นยำขึ้นมาก

เปรียบเทียบให้เห็นภาพ: ลองนึกภาพว่าคุณกำลังขับรถ Duration ก็เปรียบเสมือนความเร็วของคุณ (ระยะทางที่คุณวิ่งได้ในหนึ่งชั่วโมง) ส่วน Convexity ก็เปรียบเสมือนความเร่ง (การที่ความเร็วของคุณกำลังเปลี่ยนแปลงไป) เพื่อที่จะรู้ให้แน่ชัดว่าในหนึ่งชั่วโมงข้างหน้าคุณจะอยู่ที่ไหน คุณจำเป็นต้องคำนึงถึงทั้งสองอย่าง!

จุดสำคัญที่ควรจำ:

Convexity คือตัวที่คำนึงถึงความโค้งของความสัมพันธ์ระหว่างราคาและผลตอบแทน สำหรับตราสารหนี้มาตรฐาน (ที่ไม่มีออปชั่นแฝง) Convexity จะเป็นสิ่งที่ เป็นบวก (positive) และส่งผลดีต่อผู้ลงทุนเสมอ!

2. สูตรการเปลี่ยนแปลงของราคาแบบเต็ม

ในการคำนวณการเปลี่ยนแปลงเป็นเปอร์เซ็นต์ทั้งหมดของราคาตราสารหนี้ เราจะรวมผลกระทบจาก Duration และผลกระทบจาก Convexity เข้าด้วยกัน

\( \Delta\% P \approx [-\text{AnnModDur} \times \Delta y] + [\frac{1}{2} \times \text{AnnConv} \times (\Delta y)^2] \)

เจาะลึกสูตรนี้:
1. ส่วนของ Duration: \( [-\text{AnnModDur} \times \Delta y] \) นี่คือสิ่งที่คุณรู้อยู่แล้ว สังเกตเครื่องหมายลบ: เมื่อ Yield (\(y\)) เพิ่มขึ้น ราคาจะลดลง
2. ส่วนของ Convexity: \( [\frac{1}{2} \times \text{AnnConv} \times (\Delta y)^2] \) เนื่องจาก \((\Delta y)^2\) ถูกยกกำลังสอง ค่าในส่วนนี้จึงเป็น บวกเสมอ (สำหรับตราสารหนี้ที่ไม่มีออปชั่น) ไม่ว่า Yield จะเพิ่มหรือลดก็ตาม ค่านี้จะช่วย "บวกกลับ" มูลค่าที่ควรจะเป็นเข้าไป

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย: อย่าลืมตัวคูณ \( \frac{1}{2} \) ในส่วนการปรับแก้ Convexity นะ! นักเรียนหลายคนเสียคะแนนเพราะเผลอนำ Convexity ไปคูณกับค่าการเปลี่ยนแปลงของ Yield ยกกำลังสองโดยลืมหารด้วยสอง

3. การคำนวณ Approximate Convexity

เช่นเดียวกับที่เรามี "Approximate Modified Duration" เราก็มีสูตรในการประมาณค่า Convexity โดยใช้ราคาตราสารหนี้ ณ จุดผลตอบแทนสามจุดที่แตกต่างกัน

สูตรการคำนวณ:
\( \text{ApproxConv} = \frac{P_- + P_+ - 2P_0}{P_0 \times (\Delta y)^2} \)

โดยที่:
\(P_-\) = ราคาเมื่อ Yield ลดลง
\(P_+\) = ราคาเมื่อ Yield เพิ่มขึ้น
\(P_0\) = ราคาเริ่มต้น
\(\Delta y\) = การเปลี่ยนแปลงของ Yield (ในรูปแบบทศนิยม)

ทบทวนด่วน: ขั้นตอนการคำนวณ

1. เริ่มจากราคาปัจจุบัน (\(P_0\))
2. คำนวณราคาหาก Yield ลดลงในปริมาณที่กำหนด (\(P_-$))
\n3. คำนวณราคาหาก Yield เพิ่มขึ้นในปริมาณที่เท่ากัน (\)P_+$\))
4. นำค่าเหล่านี้ไปแทนในสูตรเพื่อหาค่า Convexity

4. Money Duration และ Money Convexity

บางครั้ง ผู้จัดการพอร์ตลงทุนอาจไม่ได้สนใจแค่การเปลี่ยนแปลงเป็น "เปอร์เซ็นต์" แต่ต้องการทราบการเปลี่ยนแปลงเป็น "จำนวนเงิน" นี่คือจุดที่ Money Duration และ Money Convexity เข้ามามีบทบาท

Money Duration: \( \text{AnnModDur} \times \text{Full Price} \)
Money Convexity: \( \text{AnnConv} \times \text{Full Price} \)

การประมาณการเปลี่ยนแปลงของราคาในหน่วยเงินตรา (เช่น ดอลลาร์ หรือ บาท) คือ:
\( \Delta P \approx [-\text{MoneyDur} \times \Delta y] + [\frac{1}{2} \times \text{MoneyConv} \times (\Delta y)^2] \)

คุณทราบหรือไม่? ในตลาดสหรัฐฯ และสหราชอาณาจักร Money Duration สำหรับการเปลี่ยนแปลงของ Yield ที่ 1 basis point มักถูกเรียกว่า PVBP (Price Value of a Basis Point)

5. คุณสมบัติของพอร์ตลงทุน: Duration และ Convexity

เราจะวัดความเสี่ยงของ "พอร์ตตราสารหนี้" ทั้งหมดได้อย่างไร? มีสองวิธีหลัก ดังนี้:

วิธีที่ 1: ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก (วิธีง่ายๆ)

เราแค่ใช้ Duration (หรือ Convexity) ของตราสารหนี้แต่ละตัวคูณด้วยสัดส่วนของมันในพอร์ต

ตัวอย่าง: ถ้าคุณถือตราสาร A อยู่ 60% (Duration 5) และตราสาร B อยู่ 40% (Duration 10) Duration ของพอร์ตจะเท่ากับ \( (0.60 \times 5) + (0.40 \times 10) = 7.0 \)

ข้อควรระวัง: วิธีนี้ตั้งสมมติฐานว่าอัตราดอกเบี้ยในเส้น Yield Curve มีการเปลี่ยนแปลงแบบ ขนาน (parallel shift) (อัตราดอกเบี้ยทุกตัวขยับในจำนวนเท่ากันหมด) ซึ่งในโลกความเป็นจริง เหตุการณ์นี้เกิดขึ้นได้ยากมาก!

วิธีที่ 2: อิงตาม Yield ของพอร์ต (วิธีซับซ้อน)

วิธีนี้เป็นการคำนวณอัตราผลตอบแทนภายใน (IRR) ของกระแสเงินสดทั้งหมดในพอร์ต ซึ่งในทางทฤษฎีถือว่าแม่นยำกว่า แต่คำนวณยากกว่าและไม่ค่อยนิยมใช้สำหรับการบริหารความเสี่ยงรายวัน

จุดสำคัญที่ควรจำ:

สำหรับการสอบ CFA ให้จำไว้ว่าวิธีค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักเป็นวิธีที่นิยมใช้กันทั่วไป แต่มีข้อแม้ว่ามันอยู่บนสมมติฐานที่ว่า Yield Curve มีการเปลี่ยนแปลงแบบขนานเท่านั้น

6. อะไรส่งผลต่อ Convexity?

ตราสารหนี้แต่ละตัวมีความ "โค้ง" ไม่เท่ากัน นี่คือกฎทั่วไป:

  • อายุของตราสาร (Maturity): อายุยาวกว่า = Convexity สูงกว่า (และมี Duration สูงกว่า)
  • อัตราดอกเบี้ยหน้าตั๋ว (Coupon Rate): คูปองต่ำกว่า = Convexity สูงกว่า (เพราะกระแสเงินสดกระจุกตัวในช่วงท้าย ทำให้ตราสารมีความอ่อนไหวมากขึ้น)
  • อัตราผลตอบแทน (Yield): Yield ต่ำกว่า = Convexity สูงกว่า
  • การกระจายตัว (Dispersion): สำหรับพอร์ตลงทุน หากกระแสเงินสดกระจายตัวออกไปไกลในเชิงเวลา (มี Dispersion สูง) Convexity ก็จะสูงขึ้น

เทคนิคช่วยจำ: ให้จำว่า "Low and Long" ยิ่งคูปอง/Yield ต่ำ และอายุคงเหลือ ยาว เท่าไหร่ ทั้ง Duration และ Convexity ก็จะยิ่ง สูง ขึ้นเท่านั้น

7. Positive vs. Negative Convexity

นี่คือหัวข้อโปรดของข้อสอบเลย!

Positive Convexity: เป็นเรื่องปกติสำหรับ ตราสารหนี้ที่ไม่มีออปชั่นแฝง (option-free) เมื่อ Yield ลดลง ราคาจะพุ่งขึ้นมากกว่าที่ Duration ประเมินไว้ และเมื่อ Yield เพิ่มขึ้น ราคาก็จะลดลงน้อยกว่าที่ Duration ประเมินไว้ นี่คือข้อดีสำหรับผู้ลงทุน!

Negative Convexity: เกิดขึ้นใน Callable Bonds (ตราสารที่ไถ่ถอนก่อนกำหนดได้) เมื่อ Yield อยู่ในระดับต่ำ เพราะเมื่อ Yield ลดลง ราคาจะไม่เพิ่มขึ้นมากนักเนื่องจากผู้ออกตราสารมักจะใช้สิทธิ "Call" (ซื้อคืน) ตราสารนั้น ทำให้เส้นกราฟราคา-ผลตอบแทนเกิดการแบนราบหรือ "โค้งงอ" กลับไปในทิศทางตรงกันข้าม

Putable Bonds (ตราสารที่ผู้ถือขายคืนได้): ตราสารพวกนี้จะมี Positive Convexity สูงกว่า ตราสารที่ไม่มีออปชั่น เพราะออปชั่น "Put" จะช่วยปกป้องผู้ลงทุนเมื่อ Yield เพิ่มขึ้น (ราคาลดลง)

สรุปเรื่องออปชั่น:
  • Option-Free: Positive Convexity
  • Callable: อาจมี Negative Convexity ได้เมื่อ Yield ต่ำ
  • Putable: มี Positive Convexity สูงกว่าตราสารแบบไม่มีออปชั่น

ให้กำลังใจทิ้งท้าย

คณิตศาสตร์เรื่องตราสารหนี้อาจทำให้รู้สึกท่วมท้นเพราะเต็มไปด้วยตัวแปร \(P_+\) และ \(P_-\) มากมาย แต่ขอให้จำตรรกะสำคัญไว้ว่า: Duration คือการคาดเดาครั้งแรกของคุณ ส่วน Convexity คือตัวปรับแก้ให้แม่นยำขึ้น เมื่อคุณเห็นภาพความโค้งของมัน สูตรต่างๆ ก็จะเริ่มสมเหตุสมผลขึ้นเอง ฝึกฝนโจทย์คำนวณบ่อยๆ นะ แล้วทุกอย่างจะง่ายขึ้นแน่นอน!