Valuation of Contingent Claims

ยินดีต้อนรับสู่โลกของ Contingent Claims!

สวัสดีครับ! วันนี้เราจะดำดิ่งเข้าสู่หนึ่งในหัวข้อที่น่าสนใจที่สุดของหลักสูตร CFA Level II นั่นคือ การประเมินมูลค่าของ Contingent Claims แม้คำว่า "Contingent claims" จะฟังดูเป็นศัพท์กฎหมาย แต่จริงๆ แล้วมันเป็นแค่ชื่อเรียกเท่ๆ ของ ออปชัน (Options) นั่นเองครับ ซึ่งหมายถึงสินทรัพย์ที่มีมูลค่า "ขึ้นอยู่กับ" (contingent) มูลค่าของสินทรัพย์อื่น เช่น หุ้น หรือพันธบัตร

ไม่ต้องกังวลไปนะครับถ้าช่วงแรกจะรู้สึกว่าคณิตศาสตร์เยอะจัง เราจะค่อยๆ ย่อยให้เป็นขั้นตอนที่เข้าใจง่ายและสมเหตุสมผล ลองมองว่าบทนี้คือการเรียนรู้วิธี "ตีราคา" ให้กับ "ทางเลือก" หนึ่งอย่าง เมื่อจบบทนี้ คุณจะเข้าใจวิธีใช้แผนภาพต้นไม้ (Tree diagrams) และสูตรคำนวณที่ซับซ้อนเพื่อหาว่าออปชันมีมูลค่าเท่าไหร่กันแน่ มาเริ่มกันเลย!

1. แบบจำลองการตั้งราคาออปชันแบบทวิภาค (Binomial Option Pricing Model)

แบบจำลองทวิภาค (Binomial Model) คือจุดเริ่มต้นของเราครับ โดยตั้งสมมติฐานว่าในระยะเวลาถัดไป ราคาหุ้นสามารถเป็นไปได้แค่ 2 ทางเท่านั้น คือ ขึ้น หรือ ลง เปรียบเสมือนแผนที่ "เลือกเส้นทางของคุณเอง" สำหรับราคาหุ้นนั่นเอง

แบบจำลองทวิภาคหนึ่งช่วงเวลา (One-Step Binomial Model)

ลองจินตนาการว่าหุ้นซื้อขายอยู่ที่ราคา \( S \) ในหนึ่งช่วงเวลา ราคาหุ้นสามารถขยับขึ้นไปที่ \( S^u \) หรือลงมาที่ \( S^d \) ในการประเมินมูลค่าออปชัน เราจะใช้แนวคิดเรื่อง การไม่มีส่วนต่างราคา (No-Arbitrage) ซึ่งหมายความว่า พอร์ตการลงทุนสองพอร์ตที่มีความเสี่ยงเท่ากันและให้ผลตอบแทนเท่ากัน จะต้องมีราคาเท่ากันครับ

ขั้นตอนที่ 1: คำนวณอัตราส่วนการป้องกันความเสี่ยง (Hedge Ratio หรือ Delta, \(\Delta\))
Delta จะบอกเราว่าต้องซื้อหุ้นกี่หุ้นเพื่อป้องกันความเสี่ยงให้กับออปชัน (Short call option) หนึ่งสัญญาได้อย่างสมบูรณ์ โดย Delta คือการเปลี่ยนแปลงของราคาออปชันหารด้วยการเปลี่ยนแปลงของราคาหุ้น:
\( \Delta = \frac{c^u - c^d}{S^u - S^d} \)
โดยที่ \( c^u \) คือมูลค่าออปชันถ้าหุ้นขึ้น และ \( c^d \) คือมูลค่าออปชันถ้าหุ้นลง

ขั้นตอนที่ 2: ความน่าจะเป็นแบบเป็นกลางต่อความเสี่ยง (Risk-Neutral Probabilities)
นี่คือ "เคล็ดลับ" ที่ช่วยให้คณิตศาสตร์ง่ายขึ้น โดยเราสมมติว่านักลงทุนเป็นคน เป็นกลางต่อความเสี่ยง (risk-neutral) (คือไม่สนใจความเสี่ยง สนใจแค่ผลตอบแทนคาดหวัง) ในโลกนี้ ผลตอบแทนคาดหวังของหุ้นจะเท่ากับอัตราผลตอบแทนที่ปราศจากความเสี่ยง (\( r \))
ความน่าจะเป็นที่ราคาจะขึ้น (\( \pi \)) คำนวณได้ดังนี้:
\( \pi = \frac{1 + r - d}{u - d} \)
หมายเหตุ: \( u \) คือ "ตัวคูณขาขึ้น" (เช่น 1.10 สำหรับหุ้นที่เพิ่มขึ้น 10%) และ \( d \) คือ "ตัวคูณขาลง" (เช่น 0.90 สำหรับหุ้นที่ลดลง 10%)

ขั้นตอนที่ 3: คำนวณมูลค่า
มูลค่าของ Call Option ในปัจจุบัน (\( c_0 \)) คือมูลค่าคาดหวังที่คิดลดกลับมาเป็นมูลค่าปัจจุบันโดยใช้ความน่าจะเป็นนี้:
\( c_0 = \frac{\pi c^u + (1-\pi) c^d}{1 + r} \)

แบบจำลองทวิภาคสองช่วงเวลา (Two-Step Binomial Model)

แบบจำลองสองช่วงเวลา (หรือมากกว่านั้น) ก็คือการทำซ้ำขั้นตอนเดิมครับ คุณเริ่มจากจุดสุดท้าย (ปลายกิ่งของต้นไม้) คำนวณมูลค่าที่จุดกึ่งกลาง แล้วย้อนกลับมาจนถึงวันนี้ เหมือนการเดินย้อนรอยเพื่อหากุญแจที่หายไปเลยครับ

ประเด็นสำคัญ: แบบจำลองทวิภาคใช้ การประเมินมูลค่าแบบเป็นกลางต่อความเสี่ยง (risk-neutral valuation) เราไม่จำเป็นต้องรู้ความน่าจะเป็นที่ราคาหุ้นจะขึ้นจริงๆ แค่ต้องการค่าความน่าจะเป็นที่ทำให้การคำนวณสอดคล้องกับอัตราดอกเบี้ยที่ปราศจากความเสี่ยงก็พอครับ

2. แบบจำลอง Black-Scholes-Merton (BSM)

ถ้าแบบจำลองทวิภาคเป็นเหมือนบันได แบบจำลอง BSM ก็เหมือนลิฟต์ความเร็วสูงครับ มันสมมติว่าช่วงเวลาในแผนภาพทวิภาคของเราเล็กลงจนเป็นอนันต์ นำไปสู่เส้นโค้งที่ราบเรียบต่อเนื่องของการเคลื่อนไหวของราคา

สมมติฐานของ BSM (ต้องจำ!)

ข้อสอบ CFA ชอบออกสอบเรื่องนี้มากครับ การจะใช้ BSM ได้ เราต้องสมมติว่า:
• ราคาหุ้นอ้างอิงมีการกระจายตัวแบบ ลอคนอร์มอล (lognormal distribution) (ราคาหุ้นติดลบไม่ได้)
• อัตราผลตอบแทนที่ปราศจากความเสี่ยงคงที่และทราบค่าแน่นอน
• ความผันผวน (Volatility) ของสินทรัพย์อ้างอิงคงที่และทราบค่าแน่นอน
• ตลาดมีการซื้อขายต่อเนื่อง (ไม่มีราคากระโดดฉับพลัน)
• ไม่มีภาษีหรือค่าธรรมเนียมการซื้อขาย
• ออปชันเป็นแบบ ยุโรป (European-style) (ใช้สิทธิได้เฉพาะวันหมดอายุเท่านั้น)

ส่วนประกอบของสูตร BSM

โดยปกติแล้วคุณไม่จำเป็นต้องคำนวณทั้งสูตรด้วยมือ แต่ต้องเข้าใจส่วนประกอบของมัน:
\( c = S_0 N(d_1) - Ke^{-rt} N(d_2) \)

• \( S_0 N(d_1) \): นี่คือมูลค่าประโยชน์ที่จะได้รับจากการถือหุ้น \( N(d_1) \) คือค่า Delta ของออปชันนั่นเอง
• \( Ke^{-rt} N(d_2) \): นี่คือ "ต้นทุน" ของการใช้สิทธิ (ราคาใช้สิทธิ \( K \)) ที่คิดลดกลับมาเป็นมูลค่าปัจจุบัน \( N(d_2) \) คือ ความน่าจะเป็น ที่ออปชันจะจบลงในสถานะ "in-the-money"

สรุปสั้นๆ: ลองมองสูตร BSM ว่าเป็น: (สิ่งที่จะได้รับ) ลบด้วย (สิ่งที่จะต้องจ่าย) ซึ่งปรับปรุงด้วยความน่าจะเป็นและมูลค่าของเงินตามเวลาครับ

3. ค่า Greeks

"ค่า Greeks" ใช้สำหรับวัดว่าราคาออปชันมีความอ่อนไหวต่อปัจจัยต่างๆ มากน้อยแค่ไหน เปรียบเสมือน "รายงานพยากรณ์อากาศ" ของออปชันของคุณครับ

1. Delta (\( \Delta \)): ความอ่อนไหวต่อ ราคา ของสินทรัพย์อ้างอิง
• Call มี Delta เป็นบวก (0 ถึง 1)
• Put มี Delta เป็นลบ (-1 ถึง 0)
• เปรียบเทียบ: ถ้า Delta เท่ากับ 0.5 หมายความว่าทุกๆ 1 ดอลลาร์ที่หุ้นขึ้น Call option ของคุณจะมีมูลค่าเพิ่มขึ้น 0.50 ดอลลาร์

2. Gamma (\( \Gamma \)): ความอ่อนไหวของ Delta ต่อการเปลี่ยนแปลงของราคาหุ้น
• มันวัดว่า Delta ของคุณ "มั่นคง" แค่ไหน Gamma สูงหมายความว่า Delta เปลี่ยนแปลงเร็วมาก
• Gamma จะสูงสุดเมื่อออปชันอยู่ในสถานะ "at-the-money"

3. Theta (\( \theta \)): ความอ่อนไหวต่อ เวลาที่ผ่านไป
• ออปชันจะมีมูลค่าลดลงเรื่อยๆ เมื่อใกล้ถึงวันหมดอายุ สิ่งนี้เรียกว่า "time decay"
• ค่า Theta มักจะเป็นลบเสมอสำหรับผู้ถือออปชัน

4. Vega (\( \nu \)): ความอ่อนไหวต่อ ความผันผวน (Volatility)
• ถ้าตลาดเริ่ม "บ้าคลั่ง" (ความผันผวนสูง) ออปชันจะมีมูลค่าสูงขึ้นเพราะมีโอกาสมากขึ้นที่มันจะจบลงในสถานะกำไรมากๆ
• ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย: อย่าจำสับสนระหว่าง Vega กับ Delta นะครับ Vega เกี่ยวกับ "ความเร็ว/ความแรง" ของตลาด ไม่ใช่ "ทิศทาง"

5. Rho (\( \rho \)): ความอ่อนไหวต่อ อัตราดอกเบี้ย
• Call option มักจะมีมูลค่าเพิ่มขึ้นเมื่ออัตราดอกเบี้ยสูงขึ้น

ประเด็นสำคัญ: Delta คือค่าที่สำคัญที่สุดสำหรับการป้องกันความเสี่ยง ถ้าคุณทำตัวเป็น "Delta-neutral" ก็หมายความว่าคุณได้กำจัดความเสี่ยงจากการเปลี่ยนแปลงของราคาหุ้นเล็กๆ น้อยๆ ออกไปแล้ว

4. การประเมินมูลค่าออปชันบนสินทรัพย์อื่น

เราสามารถใช้แบบจำลอง BSM กับสินทรัพย์อื่นที่ไม่ใช่แค่หุ้นที่ไม่มีเงินปันผลได้ เพียงแค่ต้องปรับสูตรสำหรับ "ต้นทุนการถือครอง" (carry costs) หรือ "การรั่วไหล" ของมูลค่า

ออปชันบนหุ้นที่มีเงินปันผล

เงินปันผลเปรียบเสมือน "รอยรั่ว" ของราคาหุ้น เมื่อมีการจ่ายเงินปันผล ราคาหุ้นจะลดลง เราจึงปรับ BSM โดยแทนที่ราคาหุ้น \( S_0 \) ด้วย \( S_0 e^{-qt} \) โดยที่ \( q \) คืออัตราเงินปันผลตอบแทน (dividend yield)

ออปชันบนสกุลเงิน (แบบจำลอง Garman-Kohlhagen)

สกุลเงินมีความพิเศษตรงที่ทั้งสองสกุลเงินมีอัตราดอกเบี้ย อัตราดอกเบี้ยของ "สกุลเงินต่างประเทศ" (\( r_f \)) ทำหน้าที่เหมือน dividend yield เลยครับ เราแค่เอา \( r_f \) ไปแทนที่ \( q \) ในสูตร

ออปชันบนสัญญาฟิวเจอร์ส (แบบจำลอง Black)

ฟิวเจอร์สแตกต่างออกไปตรงที่ไม่มีต้นทุนในการเข้าทำสัญญา ณ ปัจจุบัน แบบจำลอง Black ใช้ ราคาฟิวเจอร์ส (\( F \)) แทนราคาตลาดสด (spot price) และสมมติว่า "ต้นทุนการถือครอง" เป็นศูนย์ เพราะราคาฟิวเจอร์สได้รวมผลกระทบของดอกเบี้ยไว้เรียบร้อยแล้ว

รู้หรือไม่? แบบจำลอง Black ถูกนำไปใช้อย่างแพร่หลายในการประเมินมูลค่าออปชันบนพันธบัตรและอัตราดอกเบี้ย ไม่ใช่แค่สินค้าโภคภัณฑ์ฟิวเจอร์สเท่านั้น!

5. ความผันผวนโดยนัย (Implied Volatility)

โดยปกติเราจะใส่ค่าความผันผวนเข้าไปในสูตร BSM เพื่อหาราคา แต่ในโลกความเป็นจริง เราเห็นราคาในตลาด ความผันผวนโดยนัย (Implied Volatility หรือ IV) คือค่าความผันผวนที่เมื่อใส่เข้าไปใน BSM แล้ว จะทำให้สูตรให้ค่าออกมาเท่ากับราคาตลาดเป๊ะๆ

• ถ้า IV สูง แสดงว่าออปชันนั้น "แพง"
• ถ้า IV ต่ำ แสดงว่าออปชันนั้น "ถูก"
• The Volatility Smile: ในความเป็นจริง IV มักจะแตกต่างกันตามราคาใช้สิทธิ (strike price) ซึ่งชี้ให้เห็นว่าสมมติฐานของ BSM ที่บอกว่าความผันผวนคงที่นั้น ไม่ได้เป็นจริงเสมอไปในโลกแห่งความเป็นจริง!

กำลังใจส่งท้าย

คุณผ่านมาถึงหัวข้อหลักของการประเมินมูลค่า Contingent Claims แล้ว! จำไว้นะครับว่าข้อสอบ CFA ไม่ได้ต้องการแค่ให้คุณท่องจำสูตร แต่ต้องการให้คุณเข้าใจ ความสัมพันธ์ ของตัวแปร ถ้าความผันผวนเพิ่มขึ้น จะเกิดอะไรขึ้นกับราคา Call? (ราคาจะสูงขึ้น!) ถ้าเวลาผ่านไป จะเกิดอะไรขึ้นกับราคา Put? (ปกติราคาจะลดลง!)

ฝึกฝนการวาดแผนภาพทวิภาคและทบทวนนิยามของค่า Greeks บ่อยๆ นะครับ คุณทำได้แน่นอน!