Calculate gross premiums and reserves of assurance and annuity contracts

ยินดีต้อนรับสู่บทเรียนเรื่องการกำหนดราคาและการตั้งสำรอง (Pricing and Reserving)!

ในการเดินทางบนเส้นทางวิชา CM1 ที่ผ่านมา คุณคงได้ผ่านหูผ่านตากับเรื่อง เบี้ยประกันภัยสุทธิ (Net Premiums) มาบ้างแล้ว ซึ่งเป็นราคาเชิง "ทฤษฎี" ที่เราคำนวณโดยเน้นแค่ความคุ้มครองเท่านั้น แต่ในโลกแห่งความเป็นจริง บริษัทประกันภัยมีรายจ่ายที่ต้องดูแล! ทั้งเงินเดือนพนักงาน ค่าเช่าสำนักงาน และค่าคอมมิชชั่นของตัวแทน นี่คือจุดที่ เบี้ยประกันภัยรวม (Gross Premiums) และ เงินสำรองประกันภัย (Reserves) จะเข้ามามีบทบาทสำคัญ

ในบทนี้ เราจะมาเรียนรู้วิธีเชื่อมโยงทฤษฎีเข้ากับความเป็นจริง เราจะมาดูกันว่าเราจะกำหนดราคาที่ลูกค้าต้องจ่ายจริง (Gross Premium) อย่างไร และบริษัทต้องกันเงินไว้ในธนาคารเท่าไหร่เพื่อให้มั่นใจว่าจะสามารถจ่ายสินไหมทดแทนได้ในอนาคต (Reserve) ถ้าตอนแรกเห็นตัวแปรเยอะแล้วรู้สึกกังวล ไม่ต้องห่วงนะ เราจะค่อยๆ ไปทีละสเต็ป!

1. ทำความเข้าใจเบี้ยประกันภัยรวม (Gross Premiums)

Gross Premium (เบี้ยประกันภัยรวม) คือยอดเงินทั้งหมดที่ผู้เอาประกันภัยต้องจ่าย เปรียบเสมือนการซื้อขนมปังสักก้อนครับ ราคาที่จ่ายไปไม่ได้ครอบคลุมแค่ค่าแป้งกับน้ำ (ซึ่งก็คือตัวความคุ้มครอง) แต่ยังครอบคลุมค่าแรงของคนทำขนมปังและค่าไฟฟ้าสำหรับเตาอบ (ซึ่งก็คือค่าใช้จ่ายต่างๆ) ด้วย

หลักความเท่าเทียม (Principle of Equivalence)

กฎพื้นฐานของการกำหนดราคาในวิชาคณิตศาสตร์ประกันภัยคือ สมการมูลค่า (Equation of Value) ณ จุดเริ่มต้นของกรมธรรม์ (เวลา 0) เราจะสมมติว่า:

\( PV(\text{Gross Premiums}) = PV(\text{Benefits}) + PV(\text{Expenses}) \)

รู้หรือไม่? แม้ว่าบริษัทจะต้องการทำกำไร แต่เรามักจะคำนวณหาเบี้ยประกันภัยรวมแบบ "คุ้มทุน" (break-even) ก่อนเสมอ ส่วนกำไรนั้นสามารถนำมาบวกเพิ่มภายหลังในฐานะ "ค่าใช้จ่าย" ส่วนเกินหรือการบวกเพิ่ม (loading) ได้!

ประเภทของค่าใช้จ่าย

ในวิชา CM1 ค่าใช้จ่ายมักจะถูกจัดหมวดหมู่ตาม เวลาที่เกิดขึ้น ดังนี้:

• ค่าใช้จ่ายแรกเข้า (Initial Expenses - I): เกิดขึ้นครั้งเดียว ณ จุดเริ่มต้นของกรมธรรม์ (เช่น ค่าตรวจสุขภาพ, ค่าพิจารณารับประกัน)
• ค่าใช้จ่ายในการต่ออายุ (Renewal Expenses - R): เกิดขึ้นทุกครั้งที่มีการชำระเบี้ยหรือเกิดขึ้นทุกปี (เช่น ค่าบริหารจัดการกรมธรรม์)
• ค่าใช้จ่ายเมื่อสิ้นสุดกรมธรรม์/ค่าใช้จ่ายในการจ่ายสินไหม (Termination/Claim Expenses - C): เกิดขึ้นเมื่อกรมธรรม์สิ้นสุดลงหรือมีการจ่ายเงินสินไหมเท่านั้น (เช่น ค่าธรรมเนียมทางกฎหมายในการดำเนินเรื่องสินไหมมรณกรรม)

ค่าใช้จ่ายยังสามารถระบุได้หลายรูปแบบ:

• จำนวนเงินคงที่ (Fixed amounts): เช่น £50 ต่อกรมธรรม์
• ร้อยละของเบี้ยประกัน (Percentage of premium): เช่น 5% ของเบี้ยประกันภัยรวมทุกงวดที่จ่าย
• ร้อยละของทุนประกัน (Percentage of sum assured): เช่น 0.1% ของมูลค่าความคุ้มครอง

ทบทวนสั้นๆ: อย่าลืมว่าค่าใช้จ่ายแรกเข้าเกิดขึ้นที่ \( t=0 \) เท่านั้น ส่วนค่าใช้จ่ายในการต่ออายุมักจะเกิดขึ้นทุกปี ยกเว้น ปีแรก หรือบางครั้งก็เกิดขึ้นทุกปี รวมถึง ปีแรกด้วย ดังนั้นต้องอ่านโจทย์ให้ละเอียด!

2. ขั้นตอนการคำนวณเบี้ยประกันภัยรวม (Gross Premium)

สมมติว่าเราต้องการหาเบี้ยประกันภัยรวมรายปี \( G \) สำหรับประกันชีวิตแบบชั่วระยะเวลา 20 ปี สำหรับบุคคลอายุ \( x \) โดยมีทุนประกันคือ \( S \)

ขั้นตอนที่ 1: หาค่าปัจจุบันของความคุ้มครอง (Benefit PV)
\( PV(\text{Benefits}) = S \cdot A^1_{x:\overline{n|}} \)

ขั้นตอนที่ 2: หาค่าปัจจุบันของค่าใช้จ่าย (Expense PV)
หากเรามีค่าใช้จ่ายแรกเข้า \( I \), ค่าใช้จ่ายในการต่ออายุ \( e \) ต่อปี (เริ่มจ่ายในปีที่ 2 เป็นต้นไป) และค่าใช้จ่ายในการจ่ายสินไหม \( f \):
\( PV(\text{Expenses}) = I + e \cdot a_{x:\overline{n-1|}} + f \cdot A^1_{x:\overline{n|}} \)
หมายเหตุ: เราใช้ \( a \) สำหรับค่าใช้จ่ายในการต่ออายุ เพราะมักจะจ่ายก็ต่อเมื่อผู้เอาประกันยังมีชีวิตอยู่ ณ ต้นปีนั้นๆ

ขั้นตอนที่ 3: หาค่าปัจจุบันของเบี้ยประกัน (Premium PV)
\( PV(\text{Gross Premiums}) = G \cdot \ddot{a}_{x:\overline{n|}} \)

ขั้นตอนที่ 4: แก้สมการหาค่า G
นำ \( PV(\text{Premiums}) = PV(\text{Benefits}) + PV(\text{Expenses}) \) แล้วแก้สมการพีชคณิตออกมาได้เลย!

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย: ลืมนำค่าใช้จ่ายที่เป็น "ร้อยละของเบี้ยประกัน" ไปรวมไว้ทั้งสองฝั่ง หรือลืมนำไปหักออกจากตัวเบี้ยประกัน หากค่าใช้จ่ายเท่ากับ 5% ของ \( G \) ฝั่งของเบี้ยประกันของคุณจะกลายเป็น \( G \cdot 0.95 \cdot \ddot{a}_{x:\overline{n|}} \) โดยอัตโนมัติ

3. เงินสำรองประกันภัยรวม (Gross Premium Reserves)

เงินสำรอง (Reserve) คือจำนวนเงินที่บริษัทประกันต้องถือครองไว้ ณ เวลาที่กำหนด (\( t \)) เพื่อให้สามารถจ่ายภาระผูกพันในอนาคตได้ ต่อให้เรากำหนดราคาไว้สมบูรณ์แบบตอนเริ่มสัญญา แต่เมื่อเวลาผ่านไป ความเสี่ยงในการเสียชีวิตจะเพิ่มขึ้น เราจึงต้องมั่นใจว่าเรามีเงินเก็บเพียงพอ

เงินสำรองแบบคาดการณ์ล่วงหน้า (Prospective Reserve)

เงินสำรองแบบคาดการณ์ล่วงหน้า เป็นวิธีที่นิยมใช้กันมากที่สุด โดยมองไปที่ อนาคต:

\( \text{Reserve} = PV(\text{Future Benefits}) + PV(\text{Future Expenses}) - PV(\text{Future Gross Premiums}) \)

อุปมาอุปไมย: ลองนึกภาพว่าคุณกำลังเก็บเงินไปเที่ยวพักผ่อนราคา £1,000 โดยตั้งใจว่าจะเก็บเงินเดือนละ £100 หลังจากผ่านไป 4 เดือน "เงินสำรอง" ของคุณควรจะเท่ากับค่าเที่ยว (£1,000) ลบด้วยเงินที่คุณคาดว่าจะเก็บได้อีก (£600) ซึ่งจะเท่ากับ £400 นั่นเอง

ข้อควรจำเกี่ยวกับค่าใช้จ่ายในการตั้งสำรอง

เมื่อคำนวณ เงินสำรองแบบคาดการณ์ล่วงหน้า ณ เวลา \( t \), เราจะ ละเว้นค่าใช้จ่ายแรกเข้า (Initial Expenses) เพราะอะไรน่ะหรือ? ก็เพราะมันเกิดขึ้นไปแล้วในอดีตน่ะสิ! เราจะสนใจเฉพาะค่าใช้จ่ายที่จะเกิดขึ้นตั้งแต่วันนี้ไปจนถึงวันที่กรมธรรม์สิ้นสุดลงเท่านั้น

ประเด็นสำคัญ: หากเงินสำรองเป็นบวก บริษัทจะถือว่านั่นเป็นภาระหนี้ที่ต้องสำรองไว้ หากเป็นลบ (ซึ่งเกิดขึ้นได้ยากแต่ก็เป็นไปได้ในการคำนวณบางกรณี) แสดงว่ากรมธรรม์นั้นมีความ "ทำกำไร" ในทางที่ช่วยชดเชยต้นทุนในอนาคต

4. ความสัมพันธ์แบบเวียนเกิด (หลักการของ Thiele)

บางครั้งคุณอาจไม่อยากคำนวณทุกอย่างใหม่ตั้งแต่ต้นด้วยสัญลักษณ์ประกันภัย คุณสามารถคำนวณเงินสำรองในปี \( t+1 \) ได้ถ้าคุณรู้เงินสำรองในปีที่ \( t \) นี่เปรียบเสมือนยอดเงินในบัญชีธนาคารนั่นเอง

ตรรกะคือ:
(เงินที่มีอยู่เดิม) + (เบี้ยประกันที่จ่ายมาใหม่) - (ค่าใช้จ่าย) + (ดอกเบี้ย) = (เงินที่จ่ายให้ผู้ที่เสียชีวิต) + (เงินที่เหลือเก็บไว้ให้ผู้ที่ยังมีชีวิตอยู่)

สูตรสำหรับเงินสำรองปีต่อปี (สมมติว่าจ่ายสินไหมเมื่อสิ้นปี) คือ:
\( (_tV + G - e)(1+i) = q_{x+t} \cdot S + p_{x+t} \cdot _{t+1}V \)

โดยที่:
- \( _tV \) คือเงินสำรอง ณ เวลา \( t \)
- \( G \) คือเบี้ยประกันภัยรวม
- \( e \) คือค่าใช้จ่ายในการต่ออายุ
- \( S \) คือทุนประกัน (ความคุ้มครอง)
- \( q_{x+t} \) คือความน่าจะเป็นที่จะเสียชีวิตในปีถัดไป

เทคนิคช่วยจำ: ลองคิดเสียว่านี่คือ "รายได้สะสม" ต้องเท่ากับ "รายจ่ายที่คาดว่าจะเกิดขึ้น"

5. สรุปและเคล็ดลับสู่ความสำเร็จ

ตารางทบทวนด่วน:
1. เบี้ยประกันภัยรวม (Gross Premium) = เบี้ยประกันภัยสุทธิ (Net Premium) + ส่วนบวกเพิ่มสำหรับค่าใช้จ่าย
2. หลักความเท่าเทียม (Equivalence Principle) ใช้ได้ดีที่สุด ณ เวลา \( t=0 \)
3. เงินสำรองแบบคาดการณ์ล่วงหน้า = \( PV(\text{รายจ่ายในอนาคต}) - PV(\text{รายรับในอนาคต}) \)
4. ละเว้นค่าใช้จ่ายแรกเข้า เมื่อคำนวณเงินสำรอง ณ เวลา \( t > 0 \)
5. อ่านโจทย์ให้ดี: ค่าใช้จ่ายจ่ายตอน ต้นปี หรือ ปลายปี? ความคุ้มครองจ่าย ทันทีที่เสียชีวิต หรือ สิ้นปี?

อย่าให้สัญลักษณ์เหล่านั้นทำให้คุณกลัว ภายใต้สัญลักษณ์ \( A \) และ \( a \) ทั้งหลาย มันก็แค่การทำบัญชีพื้นฐานเท่านั้นเอง: คือการทำให้แน่ใจว่าคุณมีเงินเข้ามาเพียงพอที่จะจ่ายเงินที่ออกไป ฝึกตั้งสมการมูลค่าสำหรับผลิตภัณฑ์รูปแบบต่างๆ (เช่น ประกันตลอดชีพ, ประกันสะสมทรัพย์, ประกันบำนาญ) แล้วที่เหลือก็จะเป็นแค่เรื่องเลขคณิตธรรมดาๆ ครับ!