Dependent probabilities and forces of transition

บทนำสู่ความน่าจะเป็นแบบพึ่งพิงกัน (Dependent Probabilities)

ในการศึกษาที่ผ่านมา คุณน่าจะเคยเน้นเรื่อง แบบจำลองการลดลงทางเดียว (Single Decrement Model) ซึ่งเป็นกรณีที่มีทางเดียวเท่านั้นที่จะ "ออกจาก" สถานะหนึ่งได้ นั่นคือเหตุการณ์เฉพาะเจาะจงเพียงอย่างเดียว (โดยปกติคือการเสียชีวิต) อย่างไรก็ตาม ในโลกแห่งความเป็นจริง ผู้คนออกจากสัญญาประกันภัยด้วยเหตุผลหลายประการ เช่น พวกเขาอาจเสียชีวิต, อาจเจ็บป่วยรุนแรง หรืออาจจะแค่ยกเลิกกรมธรรม์ไปเฉย ๆ (Lapse)

บทนี้จะสำรวจวิธีการสร้างแบบจำลองสำหรับ ความเสี่ยงที่เกิดขึ้นพร้อมกัน (Competing risks) เหล่านี้ เราเรียกสิ่งเหล่านี้ว่าความน่าจะเป็นแบบ "พึ่งพิงกัน" (Dependent probabilities) เพราะโอกาสที่จะออกจากสถานะด้วยเหตุผลหนึ่งนั้นขึ้นอยู่กับการมีอยู่ของเหตุผลอื่น ๆ ด้วย ตัวอย่างเช่น หากคุณเสียชีวิตไปแล้ว คุณก็ไม่สามารถมายกเลิกกรมธรรม์ได้อีก! เป้าหมายหลักของบทนี้คือการทำความเข้าใจความเชื่อมโยงทางคณิตศาสตร์ระหว่าง อัตราความเสี่ยงของการเปลี่ยนสถานะ (Force of transition) ซึ่งเป็นความเสี่ยง ณ ขณะใดขณะหนึ่ง กับ ความน่าจะเป็นแบบพึ่งพิงกัน (Dependent probability) ซึ่งเป็นโอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์นั้นขึ้นในช่วงเวลาหนึ่งปี

1. แบบจำลองการลดลงหลายทาง (The Multiple Decrement Model)

แบบจำลองการลดลงหลายทาง (Multiple Decrement Model) เป็นกรณีพิเศษของ แบบจำลองมาร์คอฟหลายสถานะ (Multiple-State Markov Model) ในขณะที่แบบจำลองมาร์คอฟทั่วไปอนุญาตให้คุณย้อนกลับไปมาระหว่างสถานะได้ (เช่น จาก "สุขภาพดี" ไปเป็น "ป่วย" และกลับมา "สุขภาพดี" ใหม่) แต่แบบจำลองการลดลง (Decrement model) เปรียบเสมือน "ถนนเดินรถทางเดียว" เมื่อบุคคลออกจากสถานะ "ปกติ" (Active) ผ่านการลดลงทางใดทางหนึ่งแล้ว พวกเขาจะไม่สามารถกลับมาได้อีก

การเปรียบเทียบ: ถังน้ำที่มีรูรั่ว
ลองจินตนาการถึงถังน้ำที่มีรูรั่วสามรูที่ก้นถัง รูที่ 1 คือ "การเสียชีวิต" รูที่ 2 คือ "การเจ็บป่วย" และรูที่ 3 คือ "การยกเลิกกรมธรรม์" ความเร็วที่น้ำไหลออกทางรูที่ 1 ขึ้นอยู่กับขนาดของรูนั้น แต่ ปริมาณน้ำรวม ที่ไหลออกมาทางรูที่ 1 ในท้ายที่สุด จะถูกจำกัดด้วยความเร็วที่น้ำไหลออกทางรูที่ 2 และ 3 ด้วย รูรั่วเหล่านี้กำลัง "แย่ง" น้ำจากถังเดียวกันนั่นเอง

สัญลักษณ์ที่สำคัญ

• \(x\): อายุปัจจุบันของบุคคล
• \(j\): ประเภทของการออกจากสถานะ (เช่น \(j=1\) สำหรับการเสียชีวิต, \(j=2\) สำหรับการยกเลิกกรมธรรม์)
• \(\mu_{x+t}^j\): อัตราการออกจากสถานะ (Force of decrement) \(j\) ณ อายุ \(x+t\) นี่คือความเสี่ยง "ณ ขณะใดขณะหนึ่ง"
• \((aq)_x^j\): ความน่าจะเป็นแบบพึ่งพิงกัน (Dependent probability) ที่บุคคลจะออกจากสถานะเนื่องจากสาเหตุ \(j\) ภายในหนึ่งปี ภายใต้การมีอยู่ของสาเหตุอื่น ๆ ทั้งหมด
• \(ap_x\): ความน่าจะเป็นที่บุคคลจะ คงอยู่ใน สถานะเดิมตลอดทั้งปี (รอดพ้นจากทุกสาเหตุการออกจากสถานะ)

ทบทวนสั้น ๆ: ตัวอักษร "a" ใน \((aq)_x^j\) ย่อมาจาก "absolute" หรือ "all-causes" เพื่อแสดงว่าเรากำลังทำงานภายใต้กรอบการลดลงหลายทาง ซึ่งทุกสาเหตุการออกจากสถานะมีผลพร้อม ๆ กัน

2. ความสัมพันธ์ระหว่าง Force และ Probability

ในการหาความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งจะเกิดขึ้น เราพิจารณาจากสองส่วนคือ: บุคคลนั้นต้อง รอดพ้น จากทุกสาเหตุการออกจากสถานะจนถึงเวลา \(t\) และจากนั้นจึง ออกจากสถานะ ผ่านสาเหตุ \(j\) ณ วินาทีนั้นพอดี

ความน่าจะเป็นของการคงอยู่ในสถานะปกติจนถึงเวลา \(t\) คือ:
\( {}_tp_x^{aa} = \exp\left( -\int_0^t \sum_k \mu_{x+s}^k ds \right) \ )

ความน่าจะเป็นแบบพึ่งพิงกันของการออกจากสถานะด้วยสาเหตุ \)j\) ในช่วงเวลาหนึ่งปี คือค่าอินทิกรัลของความน่าจะเป็นที่ยังคงอยู่ ณ เวลา \(t\) คูณกับอัตราความเสี่ยงของสาเหตุเฉพาะนั้น:
\( (aq)_x^j = \int_0^1 {}_tp_x^{aa} \cdot \mu_{x+t}^j dt \ )

สรุปประเด็นสำคัญ: ความน่าจะเป็นรวมของการออกจากสถานะด้วยเหตุผลใดก็ตาม คือผลรวมของความน่าจะเป็นแบบพึ่งพิงกันของแต่ละสาเหตุ: \) (aq)_x^{total} = \sum_j (aq)_x^j \ )

3. สมมติฐานอัตราคงที่ (The Constant Force Assumption)

ในหลักสูตร IFoA CM1 สมมติฐานที่พบบ่อยและสำคัญมากคือ อัตราความเสี่ยงของการเปลี่ยนสถานะมีค่าคงที่ในช่วงอายุรายปี ซึ่งหมายความว่าระหว่างอายุ \(x\) ถึง \(x+1\) ความเสี่ยง \(\mu_{x+t}^j\) จะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อ \(t\) ขยับจาก 0 ไปถึง 1

สมมติว่ามีสาเหตุการออกจากสถานะทั้งหมด \(m\) สาเหตุ ถ้า \(\mu_{x+t}^j = \mu^j\) (ค่าคงที่) สำหรับ \(0 \le t < 1\):

ก. การคำนวณ Dependent Probabilities จากค่า Force

ถ้าเราทราบค่า Force คงที่ \(\mu^1, \mu^2, ..., \mu^m\) ค่า Force รวมคือ:
\( \mu^{total} = \mu^1 + \mu^2 + ... + \mu^m \ )

ความน่าจะเป็นที่จะคงอยู่ในสถานะเดิมเป็นเวลาหนึ่งปีคือ: \) ap_x = e^{-\mu^{total}} \ )

ความน่าจะเป็นแบบพึ่งพิงกันสำหรับสาเหตุ \(j\) คือ:
\( (aq)_x^j = \frac{\mu^j}{\mu^{total}} (1 - e^{-\mu^{total}}) \ )

ถ้ารู้สึกว่าสูตรนี้ดูยาก ไม่ต้องกังวลนะ! แค่จำไว้ว่าส่วนในวงเล็บ \)(1 - e^{-\mu^{total}})\) คือความน่าจะเป็นที่จะออกจากสถานะด้วยเหตุผล ใดก็ตาม ส่วนเราแค่นำมาปรับสัดส่วนตามอัตราส่วนของ "Force \(j\)" ต่อ "Force รวม" เท่านั้นเอง

ข. การคำนวณ Force จาก Dependent Probabilities

บางครั้งข้อสอบจะให้ค่าความน่าจะเป็น \((aq)_x^1, (aq)_x^2, ...\) มา แล้วให้เราหาค่า Force ขั้นแรก ให้หาความน่าจะเป็นรวมที่จะคงอยู่ก่อน:
\( ap_x = 1 - \sum (aq)_x^j \ )

จากนั้น ค่า Force รวมคือ: \) \mu^{total} = -\ln(ap_x) \ )

สุดท้าย เราจะหาค่า Force ของแต่ละสาเหตุ \(j\) ได้จาก:
\( \mu^j = \frac{(aq)_x^j}{\sum (aq)_x^k} \cdot \mu^{total} \ )

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย: การลืมว่า \)\sum (aq)_x^k = 1 - ap_x\) อย่าลืมตรวจสอบเสมอว่าความน่าจะเป็นรวมของการออกจากสถานะ บวกกับความน่าจะเป็นที่คงอยู่ ต้องเท่ากับ 1 เสมอ

4. ตัวอย่างโจทย์ทีละขั้นตอน

โจทย์: กรมธรรม์ประกันภัยฉบับหนึ่งมีความเสี่ยงที่จะออกจากสถานะสองทาง คือ การเสียชีวิต (\(j=1\)) และการบอกเลิกกรมธรรม์ (\(j=2\)) ระหว่างอายุ 40 ถึง 41 ปี อัตราความเสี่ยงคงที่ของการเสียชีวิตคือ \(0.02\) และอัตราความเสี่ยงคงที่ของการบอกเลิกกรมธรรม์คือ \(0.08\) จงคำนวณหาความน่าจะเป็นที่ผู้ถือกรมธรรม์อายุ 40 ปีจะบอกเลิกกรมธรรม์ภายในหนึ่งปี

ขั้นตอนที่ 1: ระบุค่า Force ต่าง ๆ
\( \mu^1 = 0.02 \ ) \) \mu^2 = 0.08 \ )

ขั้นตอนที่ 2: คำนวณหา Force รวม
\( \mu^{total} = 0.02 + 0.08 = 0.10 \ )

ขั้นตอนที่ 3: ใช้สูตรหาความน่าจะเป็นของการบอกเลิกกรมธรรม์ \)(aq)_{40}^2\)
\( (aq)_{40}^2 = \frac{0.08}{0.10} (1 - e^{-0.10}) \ ) \) (aq)_{40}^2 = 0.8 \cdot (1 - 0.90484) \ )
\( (aq)_{40}^2 = 0.8 \cdot 0.09516 = 0.07613 \ )

การตีความ: แม้จะมีความเสี่ยงในการบอกเลิกกรมธรรม์ "ณ ขณะใดขณะหนึ่ง" อยู่ที่ 8% แต่เนื่องจากมีบางคนเสียชีวิตไประหว่างปี (สาเหตุที่ 1) จึงมีเพียง 7.613% เท่านั้นที่อยู่รอดนานพอที่จะได้บอกเลิกกรมธรรม์จริง ๆ

5. ทำไมเรื่องนี้ถึงสำคัญ?

ในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ประกันภัย เราใช้ความน่าจะเป็นเหล่านี้เพื่อประมาณการกระแสเงินสด หากเรากำลังคำนวณ มูลค่าปัจจุบันที่คาดหมาย (Expected Present Value - EPV) ของผลประโยชน์กรณีเสียชีวิต เราต้องใช้ความน่าจะเป็นแบบ พึ่งพิงกัน ของการเสียชีวิต หากเราใช้ความน่าจะเป็นแบบการลดลง ทางเดียว (โดยละเลยเรื่องการบอกเลิกกรมธรรม์) เราจะประมาณการจำนวนเงินเอาประกันภัยที่จะต้องจ่ายสูงเกินจริง เพราะเราลืมไปว่ามีคนจำนวนมากที่ออกจากกลุ่มประกันไปก่อนจากการยกเลิกกรมธรรม์ก่อนที่พวกเขาจะเสียชีวิตนั่นเอง

สรุปประเด็นสำคัญ: 1. แบบจำลองการลดลงหลายทางถูกนำมาใช้เมื่อมีหลายสาเหตุที่แข่งขันกันในการทำให้สมาชิกออกจากสถานะ 2. ภายใต้ สมมติฐานอัตราคงที่ (Constant Force Assumption) ความน่าจะเป็นของสาเหตุการออกเฉพาะอย่างจะแปรผันตรงตามสัดส่วน Force ของมัน 3. ความน่าจะเป็นแบบพึ่งพิงกัน \)(aq)_x^j\) จะมีค่าน้อยกว่าค่า Force \(\mu^j\) เสมอ (เมื่อ \(\mu\) มีค่าน้อย) เพราะสาเหตุอื่น ๆ ได้ "แย่ง" ผู้ที่จะออกจากสถานะไปก่อนแล้ว

พร้อมสำหรับขั้นตอนต่อไปหรือยัง? ตรรกะเหล่านี้เป็นรากฐานในการสร้าง ตารางการลดลงหลายทาง (Multiple Decrement Tables) ซึ่งเราจะใช้ความน่าจะเป็นเหล่านี้เพื่อติดตามกลุ่มชีวิตสมมติ (ซึ่งปกติจะเริ่มต้นที่ \(l_x = 100,000\))