Health insurance premium and benefit structures

บทนำสู่โครงสร้างการประกันสุขภาพ

ยินดีต้อนรับ! ในบทนี้ เราจะนำทฤษฎี "โมเดลหลายสถานะ (Multiple State Models)" ที่เราได้เรียนรู้มาประยุกต์ใช้กับสถานการณ์ในโลกแห่งความเป็นจริง นั่นคือ การประกันสุขภาพ (Health Insurance) หากคุณเคยสงสัยว่าบริษัทประกันภัยกำหนดค่าเบี้ยประกันสำหรับความคุ้มครองรายได้ (Income Protection) หรือความคุ้มครองโรคร้ายแรง (Critical Illness) อย่างไร จุดนี้แหละคือส่วนที่น่าตื่นเต้นที่สุด

ถ้ารู้สึกว่าสัญลักษณ์การเปลี่ยนสถานะ (transition symbols) ดูเหมือนเป็นภาษาต่างดาวในตอนแรก ก็ไม่ต้องกังวลนะ เราเพียงแค่ขยับขยายจากโมเดล "อยู่หรือตาย" (โมเดลการลดลงแบบทางเดียว หรือ single decrement model) ไปสู่โลกที่เราสามารถเป็นได้ทั้ง "สุขภาพดี (Healthy)", "ป่วย (Sick)" หรือ "เสียชีวิต (Dead)" เมื่อคุณอ่านโน้ตชุดนี้จบ คุณจะสามารถสร้างสมการที่จำเป็นในการประเมินมูลค่ากระแสเงินสดที่ดูซับซ้อนเหล่านี้ได้อย่างมั่นใจ

โมเดลพื้นฐานสามสถานะ (The Basic Three-State Model)

พื้นฐานของคณิตศาสตร์การประกันสุขภาพส่วนใหญ่คือ โมเดลสุขภาพดี-ป่วย-เสียชีวิต (Healthy-Sick-Dead Model) (มักเรียกว่า Sickness-Death model) ซึ่งโดยปกติจะประกอบด้วยสามสถานะ ได้แก่:

• สถานะ H (Healthy - สุขภาพดี): จุดเริ่มต้น ผู้ถือกรมธรรม์กำลังทำงานและชำระเบี้ยประกัน
• สถานะ S (Sick - ป่วย): ผู้ถือกรมธรรม์เจ็บป่วยและได้รับผลประโยชน์จากการเจ็บป่วย
• สถานะ D (Dead - เสียชีวิต): สถานะดูดซับ (absorbing state) ไม่มีการชำระเบี้ยประกันหรือจ่ายผลประโยชน์จากการเจ็บป่วยอีกต่อไป

แรงของการเปลี่ยนสถานะ (Transition Forces): เราใช้ \(\mu_{x+t}^{jk}\) เพื่อแทน "แรง" หรืออัตราการเปลี่ยนสถานะแบบทันทีทันใดจากสถานะ \(j\) ไปยังสถานะ \(k\) ณ อายุ \(x+t\) ในการประกันสุขภาพ การเปลี่ยนสถานะที่พบบ่อยที่สุดคือ:

• \(\mu_{x+t}^{HS}\): แรงของการเจ็บป่วย (กลายเป็นผู้เรียกร้องค่าสินไหมทดแทน)
• \(\mu_{x+t}^{SH}\): แรงของการฟื้นตัว (กลับมามีสุขภาพดี)
• \(\mu_{x+t}^{HD}\): แรงของการมรณะสำหรับผู้ที่มีสุขภาพดี
• \(\mu_{x+t}^{SD}\): แรงของการมรณะสำหรับผู้ที่ป่วย (ซึ่งอาจจะสูงกว่าผู้ที่มีสุขภาพดี!)

ทบทวนสั้นๆ: ในวิชา CM1 เรามักจะสมมติว่าแรงเหล่านี้คงที่ในช่วงระยะเวลาหนึ่ง (เช่น ในแต่ละช่วงอายุปี) เพื่อให้การคำนวณอินทิกรัลจัดการได้ง่ายขึ้น!

ประเภทของผลประโยชน์การประกันสุขภาพ

ในบทนี้ เราจะเน้นไปที่สองวิธีหลักที่กรมธรรม์จะจ่ายเงินคืนให้:

1. ผลประโยชน์จากการเจ็บป่วย (Sickness Benefits / Income Protection)

นี่คือ การจ่ายเงินแบบต่อเนื่อง ในขณะที่บุคคลนั้นอยู่ในสถานะ "ป่วย" ให้ลองนึกถึง "ค่าชดเชยรายได้" ที่จะจ่ายไปเรื่อยๆ ตราบเท่าที่บุคคลนั้นยังคงเจ็บป่วยอยู่

มูลค่าปัจจุบันที่คาดหมาย (EPV) ของผลประโยชน์จากการเจ็บป่วยจำนวน \(S\) ต่อปี ซึ่งจ่ายเป็นเวลา \(n\) ปี คือ:

\(EPV = \int_{0}^{n} S \cdot e^{-\delta t} \cdot {}_t p_x^{HS} dt\)

โดยที่ \({}_t p_x^{HS}\) คือความน่าจะเป็นที่ใครบางคนที่ปัจจุบันมีสุขภาพดี (อายุ \(x\)) จะอยู่ในสถานะป่วย ณ เวลา \(t\)

2. ผลประโยชน์แบบเงินก้อน (Lump Sum Benefits / Critical Illness/Death)

นี่คือ เงินก้อน ที่จ่าย ณ ขณะที่เกิดการเปลี่ยนสถานะพอดี ตัวอย่างเช่น กรมธรรม์โรคร้ายแรงอาจจ่ายเงินก้อน \(B\) ทันทีที่ใครบางคนเปลี่ยนจากสถานะ "สุขภาพดี" ไปเป็น "ป่วย"

EPV สำหรับผลประโยชน์ \(B\) ที่จ่ายทันทีเมื่อมีการเปลี่ยนจากสถานะสุขภาพดีไปเป็นป่วย คือ:

\(EPV = \int_{0}^{n} B \cdot e^{-\delta t} \cdot {}_t p_x^{HH} \cdot \mu_{x+t}^{HS} dt\)

ข้อควรจำสำคัญ: หากผลประโยชน์นั้นจ่ายสำหรับการ อยู่ในสถานะใดสถานะหนึ่ง เราจะใช้ความน่าจะเป็นของการอยู่ในสถานะเยี่ยงนั้น แต่หากผลประโยชน์นั้นจ่ายสำหรับการ เคลื่อนย้ายระหว่างสถานะ เราจะใช้ความน่าจะเป็นของการอยู่ในสถานะเริ่มต้นคูณด้วยแรงของการเปลี่ยนสถานะ

โครงสร้างเบี้ยประกัน

ประกันไม่ได้ให้กันฟรีๆ นะ! ผู้ถือกรมธรรม์ต้องชำระเบี้ยประกันเพื่อให้ความคุ้มครองยังมีผลบังคับอยู่ ในโมเดลการประกันสุขภาพ เรามักจะสมมติว่า:

• เบี้ยประกันชำระแบบ ต่อเนื่อง ในอัตรา \(P\) ต่อปี
• เบี้ยประกันจะ ชำระในขณะที่บุคคลนั้นมีสุขภาพดีเท่านั้น (สถานะ H)
• หากบุคคลนั้นป่วย โดยปกติจะได้รับการยกเว้นการชำระเบี้ยประกัน (หยุดจ่ายเบี้ยในขณะที่กำลังรับผลประโยชน์)

EPV ของเบี้ยประกันเหล่านี้สำหรับระยะเวลา \(n\) ปี คือ:

\(EPV(Premiums) = \int_{0}^{n} P \cdot e^{-\delta t} \cdot {}_t p_x^{HH} dt\)

รู้หรือไม่? "การยกเว้นการชำระเบี้ยประกัน" (Waiver of Premium) เป็นคุณสมบัติทั่วไปในประกันชีวิตจริง ซึ่งหมายความว่าบริษัทประกันจะจ่ายเบี้ยประกันแทนคุณในขณะที่คุณป่วยหนักจนทำงานไม่ได้นั่นเอง

การใช้สมการแห่งมูลค่า (Equation of Value)

ในการหา เบี้ยประกันสุทธิ (Net Premium) (เบี้ยประกันที่สมดุลกับต้นทุนของผลประโยชน์พอดี โดยไม่รวมค่าใช้จ่ายดำเนินงานหรือกำไร) เราจะใช้ หลักความเท่าเทียม (Equivalence Principle):

EPV ของเบี้ยประกัน = EPV ของผลประโยชน์

ขั้นตอนการคำนวณทีละขั้น:

1. ระบุสถานะต่างๆ: โดยปกติจะเป็น สุขภาพดี, ป่วย และเสียชีวิต
2. ระบุกระแสเงินสด:
   • กระแสเงินสดออก: เบี้ยประกันขณะมีสุขภาพดี (\(P \times {}_t p_x^{HH}\))
   • กระแสเงินสดเข้า: ผลประโยชน์จากการเจ็บป่วยขณะป่วย (\(S \times {}_t p_x^{HS}\))
   • กระแสเงินสดเข้า: เงินก้อนเมื่อเปลี่ยนสถานะเป็นป่วย (\(B \times {}_t p_x^{HH} \mu_{x+t}^{HS}\))
3. ตั้งสมการอินทิกรัล: คิดลดกระแสเงินสดแต่ละรายการโดยใช้ \(e^{-\delta t}\)
4. แก้สมการหาตัวแปรที่ไม่ทราบค่า: โดยส่วนใหญ่ คุณจะถูกถามให้อัตราเบี้ยประกันรายปี \(P\)

ข้อผิดพลาดที่ควรหลีกเลี่ยง

1. สับสนระหว่างความน่าจะเป็น: การใช้ \({}_t p_x^{HS}\) สำหรับผลประโยชน์เงินก้อนเมื่อเปลี่ยนสถานะ จำไว้ว่า: \({}_t p_x^{HS}\) หมายถึงบุคคลนั้น ป่วยอยู่แล้ว ณ เวลา \(t\) แต่สำหรับเงินก้อน ณ วินาทีที่เริ่มป่วย คุณต้องใช้แรงของการเปลี่ยนสถานะ \(\mu\) ร่วมด้วย

2. ลืมเงื่อนไข "การมีชีวิตอยู่": สำหรับการจ่ายเบี้ยประกัน บุคคลนั้นต้องมีสุขภาพดี (\(HH\)) หากพวกเขาป่วยหรือเสียชีวิต รายได้จากเบี้ยประกันจะหยุดลง

3. ขอบเขตการอินทิเกรต: ตรวจสอบเสมอว่าผลประโยชน์นั้นคุ้มครองตลอดชีพหรือมีกำหนดระยะเวลา (\(n\))

ตารางสรุป: สูตร EPV

หมายเหตุเรื่องการฟื้นตัว: หากโมเดลอนุญาตให้มีการฟื้นตัว (\(S \to H\)) ความน่าจะเป็น \({}_t p_x^{HH}\) จะซับซ้อนขึ้น เพราะต้องคำนึงถึงคนที่เคยป่วยแล้วหายดีด้วย! ความน่าจะเป็นเหล่านี้มักจะคำนวณโดยใช้วิธีการที่อยู่ในบท "โมเดลมาร์คอฟแบบหลายสถานะ" (Multiple-state Markov models)

ข้อแนะนำสำหรับการสอบ: ข้อสอบ CM1 ส่วนใหญ่ในหัวข้อนี้จะให้ความน่าจะเป็นในการเปลี่ยนสถานะมาให้ หรือขอให้คุณเขียนนิยามของอินทิกรัล ให้มุ่งเน้นไปที่การทำความเข้าใจว่า ทำไม ถึงใช้ความน่าจะเป็นเฉพาะตัว (\(p\)) หรือแรงเฉพาะตัว (\(\mu\)) สำหรับผลประโยชน์แต่ละประเภท