Expected present value and variance of benefit payments

บทนำ: ทำไม "มูลค่าคาดหมาย" ถึงสำคัญ

ในบทก่อนหน้าของ CM1 คุณได้เรียนรู้วิธีคำนวณมูลค่าปัจจุบันของกระแสเงินสดที่แน่นอนไปแล้ว แต่สำหรับการประกันชีวิตนั้น ทุกอย่างมีความไม่แน่นอน! เราไม่รู้แน่ชัดว่าผู้เอาประกันภัยจะเสียชีวิตเมื่อไหร่ ซึ่งหมายความว่าเราไม่รู้ว่าเราจะต้องจ่ายผลประโยชน์กรณีเสียชีวิตตอนไหน หรือจะต้องจ่ายเงินบำนาญไปนานเท่าใด

เพื่อรับมือกับความไม่แน่นอนนี้ เราจึงถือว่า มูลค่าปัจจุบัน (Present Value - PV) ของผลประโยชน์เป็น ตัวแปรสุ่ม (Random Variable) ในบทนี้ เราจะมาเรียนรู้วิธีการหา "ค่าเฉลี่ย" ของตัวแปรสุ่มนี้ (เรียกว่า มูลค่าปัจจุบันคาดหมาย หรือ Expected Present Value - EPV) และดูว่ามันมีความผันผวนมากน้อยเพียงใด (เรียกว่า ความแปรปรวน - Variance) นี่คือรากฐานสำคัญในการตั้งราคาผลิตภัณฑ์ประกันภัยทุกประเภทที่คุณเห็นในโลกแห่งความเป็นจริงครับ

1. ตัวแปรสุ่ม: \(T_x\) และ \(K_x\)

ก่อนที่เราจะไปดูเรื่องเงิน เราต้องมาดูเรื่องเวลากันก่อน มีสองวิธีในการวัดว่าคนอายุ \(x\) จะมีชีวิตอยู่ต่อไปอีกนานแค่ไหน:

• ระยะเวลาการมีชีวิตในอนาคตแบบต่อเนื่อง (Continuous Future Lifetime) \(T_x\): คือระยะเวลาที่แน่นอนจนถึงขณะเสียชีวิต สามารถเป็นค่าใดก็ได้ (เช่น 12.432 ปี) เราใช้ค่านี้สำหรับผลประโยชน์ที่จ่าย ทันที เมื่อเสียชีวิต
• ระยะเวลาการมีชีวิตในอนาคตแบบจำนวนเต็มปี (Curtate Future Lifetime) \(K_x\): คือจำนวน ปีเต็ม ที่มีชีวิตอยู่ก่อนเสียชีวิต โดยจะเป็นเลขจำนวนเต็มเสมอ (เช่น ถ้าใครบางคนมีชีวิตอยู่ได้อีก 12.7 ปี ค่า \(K_x\) จะเท่ากับ 12) เราใช้ค่านี้สำหรับผลประโยชน์ที่จ่าย ณ สิ้นปี ของการเสียชีวิต

2. มูลค่าปัจจุบันคาดหมาย (EPV) ของการประกันชีวิต (Assurances)

EPV ของการประกันชีวิต คือจำนวนเงินที่บริษัทประกันต้องสำรองไว้ในวันนี้เพื่อให้เพียงพอต่อการจ่ายผลประโยชน์กรณีเสียชีวิตในอนาคตโดยเฉลี่ย เรามักเรียกค่าเหล่านี้ว่า ปัจจัยการประกันชีวิต (Assurance Factors)

การประกันชีวิตแบบตลอดชีพ (Whole Life Assurance)

กรมธรรม์แบบนี้จะจ่ายผลประโยชน์เมื่อผู้เอาประกันภัยเสียชีวิตไม่ว่าจะเป็นเมื่อใดก็ตาม
หากจ่าย ณ สิ้นปีที่เสียชีวิต ตัวแปรสุ่ม PV คือ \(Z = v^{K_x+1}\)
สัญลักษณ์ของ EPV คือ \(A_x\):
\(A_x = E[v^{K_x+1}] = \sum_{k=0}^{\infty} v^{k+1} \cdot P(K_x = k) = \sum_{k=0}^{\infty} v^{k+1} \cdot {}_k|q_x\)

หากจ่าย ทันทีเมื่อเสียชีวิต ตัวแปรสุ่ม PV คือ \(Z = v^{T_x}\)
สัญลักษณ์ของ EPV คือ \(\bar{A}_x\):
\(\bar{A}_x = E[v^{T_x}] = \int_{0}^{\infty} v^t \cdot f_x(t) dt\)

การประกันชีวิตแบบชั่วระยะเวลา (Term Assurance)

จะจ่ายผลประโยชน์เฉพาะเมื่อมีการเสียชีวิตภายในระยะเวลา \(n\) ปีที่กำหนดเท่านั้น หากผู้เอาประกันภัยมีชีวิตอยู่จนครบกำหนด ผลประโยชน์จะเป็นศูนย์
สัญลักษณ์: \(A^1_{x:\overline{n|}}\) (เลข "1" จะอยู่เหนือตัว \(x\) เพื่อบอกว่าต้องเสียชีวิตก่อนครบกำหนดถึงจะจ่าย)
\(A^1_{x:\overline{n|}} = \sum_{k=0}^{n-1} v^{k+1} \cdot {}_k|q_x\)

การประกันชีวิตแบบสะสมทรัพย์แท้จริง (Pure Endowment)

นี่คือขั้วตรงข้ามของการประกันชีวิตแบบชั่วระยะเวลา คือจะจ่ายผลประโยชน์ก็ต่อเมื่อผู้เอาประกันภัย มีชีวิตอยู่ จนครบ \(n\) ปีเท่านั้น
สัญลักษณ์: \(A_{x:\overline{n|}}^{\ \ \ 1}\) (เลข "1" จะอยู่เหนือตัว \(n\) เพื่อบอกว่าต้องมีชีวิตอยู่จนถึงเวลา \(n\) ถึงจะจ่าย)
\(A_{x:\overline{n|}}^{\ \ \ 1} = v^n \cdot {}_n p_x\)

เคล็ดลับเล็กๆ: คุณสามารถนำสิ่งเหล่านี้มาผสมกันได้! การประกันชีวิตแบบสะสมทรัพย์ (Endowment Assurance) (\(A_{x:\overline{n|}}\)) ก็คือ การประกันชีวิตแบบชั่วระยะเวลา + การประกันชีวิตแบบสะสมทรัพย์แท้จริง นั่นเองครับ
\(A_{x:\overline{n|}} = A^1_{x:\overline{n|}} + A_{x:\overline{n|}}^{\ \ \ 1}\)

3. มูลค่าปัจจุบันคาดหมาย (EPV) ของเงินบำนาญ (Annuities)

เงินบำนาญคือการจ่ายเงินอย่างสม่ำเสมอในขณะที่ผู้เอาประกันภัยยังมีชีวิตอยู่ เราเรียกค่าเหล่านี้ว่า ปัจจัยเงินบำนาญ (Annuity Factors)

เงินบำนาญแบบจ่ายต้นงวดตลอดชีพ (Whole Life Annuity Due)

เป็นการจ่ายเงินจำนวน 1 หน่วย ณ ต้นปี ของทุกปีในขณะที่บุคคลนั้นยังมีชีวิตอยู่
สัญลักษณ์: \(\ddot{a}_x\)
\(\ddot{a}_x = \sum_{k=0}^{\infty} v^k \cdot {}_k p_x\)

ความสัมพันธ์ที่สำคัญ (The Crucial Relationship)

หนึ่งในสูตรที่สำคัญที่สุดใน CM1 คือการเชื่อมโยงระหว่างการประกันชีวิตและเงินบำนาญ ลองคิดแบบนี้ดูนะครับ: ถ้าคุณมีเงิน 1 หน่วยในวันนี้ คุณสามารถเลือกได้ว่าจะเก็บมันไว้ หรือจะแลกมันเป็นเงินบำนาญจากดอกเบี้ย (\(d\)) และรับเงินต้นคืนเมื่อคุณเสียชีวิต (\(A_x\))
\(A_x = 1 - d\ddot{a}_x\)
ในทำนองเดียวกัน สำหรับฟังก์ชันแบบต่อเนื่อง: \(\bar{A}_x = 1 - \delta \bar{a}_x\)

สรุปประเด็นสำคัญ: ถ้าคุณรู้มูลค่าเงินบำนาญ คุณก็จะหามูลค่าการประกันชีวิตได้ง่ายๆ (และในทางกลับกัน) โดยไม่ต้องคำนวณผลรวมยาวๆ เลย!

4. การคำนวณความแปรปรวน: "กฎของโมเมนต์" (Rule of Moments)

ความแปรปรวนของมูลค่าปัจจุบันบอกเราเกี่ยวกับ ความเสี่ยง หากความแปรปรวนสูง ต้นทุนที่เกิดขึ้นจริงอาจสูงกว่า (หรือต่ำกว่า) EPV มาก

สูตรสำหรับความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม \(Z\) คือ:
\(Var(Z) = E[Z^2] - (E[Z])^2\)

วิธีหา \(E[Z^2]\) สำหรับการประกันชีวิต

เรามีทางลัดที่ยอดเยี่ยมมาก! ในการหา "โมเมนต์ที่สอง" (\(E[Z^2]\)) ของการประกันชีวิต คุณแค่ใช้สูตร EPV มาตรฐานแล้ว เพิ่มอัตราดอกเบี้ยต่อเนื่องเป็นสองเท่า (\(\delta\)) ซึ่งเทียบเท่ากับการยกกำลังสองตัวประกอบส่วนลด \(v\)
สัญลักษณ์: \({}^2 A_x\)

ขั้นตอนการคำนวณความแปรปรวนของการประกันชีวิตแบบตลอดชีพ:
1. คำนวณ \(A_x\) ที่อัตราดอกเบี้ย \(i\)
2. คำนวณ \({}^2 A_x\) โดยใช้สูตรเดิม แต่ใช้อัตราดอกเบี้ยใหม่ \(i^*\) ที่ทำให้ \((1+i^*) = (1+i)^2\)
3. \(Var(Z) = {}^2 A_x - (A_x)^2\)

หมายเหตุ: ทางลัดนี้ใช้ได้กับการประกันชีวิต (Assurances) เท่านั้น ไม่สามารถใช้โดยตรงกับเงินบำนาญ (Annuities) ได้ ในการหาความแปรปรวนของเงินบำนาญ เราต้องแปลงให้เป็นรูปของการประกันชีวิตก่อนโดยใช้ความสัมพันธ์ \(Z_{annuity} = \frac{1-Z_{assurance}}{d}\)

5. การใช้ตารางมรณะ (Life Table): \(l_x\) และ \(d_x\)

ในข้อสอบ คุณอาจจะไม่ได้รับค่าความน่าจะเป็นอย่าง \({}_k p_x\) มาให้โดยตรง คุณจะต้องรู้วิธีดึงข้อมูลจาก ตารางมรณะ (Life Table):

• \(l_x\): จำนวนคนที่มีชีวิตอยู่ ณ อายุ \(x\)
• \(d_x\): จำนวนคนที่เสียชีวิตระหว่างอายุ \(x\) ถึง \(x+1\) (คำนวณจาก \(d_x = l_x - l_{x+1}\))
• \({}_n p_x = \frac{l_{x+n}}{l_x}\) (ความน่าจะเป็นที่จะมีชีวิตอยู่ต่อไปอีก \(n\) ปี)
• \({}_n q_x = \frac{l_x - l_{x+n}}{l_x}\) (ความน่าจะเป็นที่จะเสียชีวิตภายใน \(n\) ปี)

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย (ควรระวัง!)

• สิ้นปี vs. ต้นปี: จำไว้ว่า \(\ddot{a}_x\) (เงินบำนาญแบบจ่ายต้นงวด) เริ่มจ่ายที่เวลา 0 ในขณะที่ \(A_x\) (การประกันชีวิต) จ่าย ณ เวลา \(K_x + 1\)
• ยกกำลังสองผิดตัว: เวลาคำนวณความแปรปรวน นักศึกษามักจะเผลอไปยกกำลังสองที่อัตราดอกเบี้ย (\(i^2\)) อย่าทำแบบนั้นเด็ดขาด! คุณต้องยกกำลังสองที่ ตัวประกอบส่วนลด (\(v^2\)) ซึ่งหมายถึงการใช้อัตราดอกเบี้ยใหม่คือ \(i^* = (1+i)^2 - 1\)
• ลืมเลข "1": ในความสัมพันธ์ \(A_x = 1 - d\ddot{a}_x\) อย่าลืมเลข "1" นะครับ! มันหมายถึงมูลค่าปัจจุบันของเงิน 1 หน่วยที่รับรองการจ่ายแน่นอน

ทบทวนสั้นๆ

EPV: ค่าเฉลี่ยทางคณิตศาสตร์ประกันภัยของต้นทุนผลประโยชน์
ปัจจัยการประกันชีวิต (Assurance Factor): \(A_x\) (จ่ายสิ้นปี) หรือ \(\bar{A}_x\) (จ่ายทันที)
ปัจจัยเงินบำนาญ (Annuity Factor): \(\ddot{a}_x\) (จ่ายล่วงหน้า/ต้นงวด) หรือ \(a_x\) (จ่ายสิ้นงวด)
เทคนิคความแปรปรวน: ใช้ \({}^2 A_x\) (คำนวณโดยใช้อัตราดอกเบี้ยต่อเนื่องสองเท่า) เพื่อหาโมเมนต์ที่สองของการประกันชีวิต