Two-life functions dependent on a fixed term as well as age

บทนำ: การรวมเรื่องชีวิตและเวลาเข้าด้วยกัน

ยินดีต้อนรับเข้าสู่บทเรียนเรื่อง ฟังก์ชันสองชีวิตที่ขึ้นอยู่กับระยะเวลาคงที่และอายุ (Two-life functions dependent on a fixed term as well as age) ในเส้นทางการเรียน CM1 ที่ผ่านมา คุณได้เรียนรู้วิธีการวัดมูลค่าสัญญาสำหรับบุคคลคนเดียว และวิธีวัดมูลค่าสัญญาที่ขึ้นอยู่กับการมีชีวิตอยู่ของคนสองคน (ชีวิตร่วม หรือ Joint Life และ ชีวิตที่เหลืออยู่คนสุดท้าย หรือ Last Survivor) มาแล้ว

ในโลกความเป็นจริง ผลิตภัณฑ์ประกันภัยหลายประเภทไม่ได้คุ้มครอง "ตลอดไป" หรือคุ้มครองจนกว่าจะเสียชีวิตเท่านั้น แต่มักจะมี ระยะเวลาคงที่ (Fixed term) กำหนดไว้ ตัวอย่างเช่น คู่สามีภรรยาอาจต้องการกรมธรรม์ประกันชีวิตที่คุ้มครองเฉพาะในช่วง 25 ปีที่ยังต้องผ่อนสินเชื่อบ้าน หรือเงินบำนาญอาจมีการรับรองการจ่ายขั้นต่ำเป็นเวลา 10 ปี ไม่ว่าผู้ถือกรมธรรม์จะเสียชีวิตเมื่อใดก็ตาม ในบทนี้คุณจะได้เรียนรู้วิธีการใช้คณิตศาสตร์เพื่อรวมอัตราการมรณะของบุคคลสองคนเข้ากับกรอบระยะเวลาคงที่ \(n\)

รู้หรือไม่? ฟังก์ชันเหล่านี้คือ "ชิ้นส่วนพื้นฐาน" สำหรับผลิตภัณฑ์ที่ซับซ้อน เช่น สินเชื่อบ้านที่คุ้มครองชีวิตร่วม (Joint-life mortgages) และผลประโยชน์รายได้ครอบครัว (Family income benefits) หากคุณเข้าใจบทนี้อย่างถ่องแท้ ส่วนของ "การกำหนดราคาและการตั้งสำรอง" (Pricing and Reserving) ในวิชา CM1 จะกลายเป็นเรื่องง่ายขึ้นมาก!

1. สถานะ "ชีวิตร่วม" พร้อมระยะเวลาคงที่ (The "Joint Life" Status with a Fixed Term)

จำไว้ว่า สถานะชีวิตร่วม (Joint Life Status) (เขียนแทนด้วย \(xy\)) จะคงอยู่ตราบเท่าที่ ทั้งคู่ ยังมีชีวิตอยู่เท่านั้น หากเราเพิ่มระยะเวลาคงที่ \(n\) เข้าไป เราจะสร้างสถานะที่จะสิ้นสุดลงเมื่อ เหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งในสามอย่างนี้เกิดขึ้นเป็นอันดับแรก:
1. ชีวิต \(x\) เสียชีวิต
2. ชีวิต \(y\) เสียชีวิต
3. ครบกำหนดระยะเวลา \(n\)

เราเขียนแทนสถานะรวมนี้ด้วย \(xy:\overline{n|}\) ลองจินตนาการว่ามันเหมือนกับการแข่งขันวิ่งสามทางที่เส้นชัยจะเกิดขึ้นทันทีที่มีใครก็ตาม (รวมถึง "เวลา" ที่เดินไปจนครบปีที่ \(n\)) วิ่งไปถึงก่อน

เงินบำนาญชีวิตร่วมแบบชั่วคราว (Joint Life Temporary Annuity)

เงินบำนาญแบบชั่วคราวจะจ่ายผลประโยชน์ตราบเท่าที่สถานะ \(xy:\overline{n|}\) ยังดำเนินอยู่ หรือพูดง่ายๆ คือ จะมีการจ่ายเงินในขณะที่ทั้งคู่ยังมีชีวิตอยู่ แต่จะจ่ายไม่เกิน \(n\) ปี

สูตรคำนวณ:
\(a_{xy:\overline{n|}} = \sum_{t=1}^{n} v^t \cdot {}_t p_{xy}\)
(สมมติเป็นการจ่ายปลายงวด หากเป็นการจ่ายต้นงวด ให้ใช้ \(\ddot{a}_{xy:\overline{n|}}\) และเริ่มผลรวมจาก \(t=0\) ถึง \(n-1\))

ความสัมพันธ์ที่สำคัญ:
จำไว้ว่า \({}_t p_{xy} = {}_t p_x \cdot {}_t p_y\) (ภายใต้สมมติฐานว่าการมีชีวิตอยู่ของทั้งสองเป็นอิสระต่อกัน) ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่สถานะจะยังคงอยู่ก็คือผลคูณของความน่าจะเป็นในการรอดชีวิตของแต่ละคนนั่นเอง

การประกันชีวิตแบบสะสมทรัพย์ชนิดชีวิตร่วม (Joint Life Endowment Assurance)

การประกันแบบสะสมทรัพย์สำหรับคนสองคนจะจ่ายเงินคืนเมื่อสิ้นปีที่ คนแรก เสียชีวิต หรือเมื่อสิ้นสุดปีที่ \(n\) หากทั้งคู่ยังมีชีวิตอยู่

ตรรกะในการคำนวณ:
\(A_{xy:\overline{n|}} = A_{xy:\overline{n|}}^1 + A_{xy:\overline{n|}}^{\: \: \: 1}\)
โดยที่:
• \(A_{xy:\overline{n|}}^1\) คือส่วนของ การประกันชีวิตแบบชั่วระยะเวลา (Term Assurance) (จ่ายหากมีการเสียชีวิตคนแรกเกิดขึ้นภายใน \(n\) ปี)
• \(A_{xy:\overline{n|}}^{\: \: \: 1}\) คือส่วนของ การประกันแบบมีเงินคืนเมื่อครบกำหนด (Pure Endowment) (จ่าย ณ สิ้นปีที่ \(n\) หากทั้งคู่ยังมีชีวิตอยู่) ซึ่งมีค่าเท่ากับ \(v^n \cdot {}_n p_{xy}\)

ข้อสรุปสำคัญ: สถานะชีวิตร่วมที่มีระยะเวลา \(n\) จะมีลักษณะการทำงานเหมือนกับสถานะชีวิตเดียวที่มีระยะเวลา \(n\) ทุกประการ เพียงแต่คุณเปลี่ยนความน่าจะเป็นในการรอดชีวิตคนเดียว \({}_t p_x\) เป็นความน่าจะเป็นในการรอดชีวิตร่วม \({}_t p_{xy}\)

2. สถานะ "ชีวิตที่เหลืออยู่คนสุดท้าย" พร้อมระยะเวลาคงที่ (The "Last Survivor" Status with a Fixed Term)

สถานะชีวิตที่เหลืออยู่คนสุดท้าย (Last Survivor Status) (เขียนแทนด้วย \(\overline{xy}\)) จะคงอยู่ตราบเท่าที่ อย่างน้อยหนึ่งคน ยังมีชีวิตอยู่ เมื่อเราเพิ่มระยะเวลาคงที่ \(n\) เข้าไป สถานะ \(\overline{xy}:\overline{n|}\) จะสิ้นสุดลงเมื่อผู้ที่เหลืออยู่คนสุดท้ายเสียชีวิต หรือเมื่อครบกำหนดระยะเวลา \(n\)

เรามักจะพบสิ่งนี้ใน เงินบำนาญชีวิตที่เหลืออยู่คนสุดท้ายแบบชั่วคราว (Last Survivor Temporary Annuities) ซึ่งจะจ่ายเงินต่อไปตราบเท่าที่มีคนใดคนหนึ่งยังมีชีวิตอยู่ แต่จะหยุดจ่ายหลังจากผ่านไป \(n\) ปีไม่ว่ากรณีใดก็ตาม

วิธี Z-Method (หลักการรวมเข้า-ตัดออก)

เมื่อต้องจัดการกับฟังก์ชันของชีวิตที่เหลืออยู่คนสุดท้ายและระยะเวลาคงที่ วิธีที่ง่ายที่สุดคือการใช้หลักการรวมเข้า-ตัดออก (Inclusion-Exclusion Principle) สำหรับฟังก์ชันใดๆ (สมมติว่าเป็น \(f\)) ความสัมพันธ์คือ:
\(f_{\overline{xy}:\overline{n|}} = f_{x:\overline{n|}} + f_{y:\overline{n|}} - f_{xy:\overline{n|}}\)

ตัวอย่าง: เงินบำนาญชีวิตที่เหลืออยู่คนสุดท้ายแบบชั่วคราว
\(\ddot{a}_{\overline{xy}:\overline{n|}} = \ddot{a}_{x:\overline{n|}} + \ddot{a}_{y:\overline{n|}} - \ddot{a}_{xy:\overline{n|}}\)

ทำไมวิธีนี้ถึงใช้ได้ผล?
ลองจินตนาการถึงการจ่ายผลประโยชน์ให้คนสองคน หากเราจ่ายให้ \(x\) (เป็นเวลา \(n\) ปี) และจ่ายให้ \(y\) (เป็นเวลา \(n\) ปี) เราจะกลายเป็นว่าจ่าย "ซ้ำสองครั้ง" ในช่วงเวลาที่ทั้งคู่ ยังมีชีวิตอยู่พร้อมกัน การลบด้วยเงินบำนาญชีวิตร่วม (\(xy:\overline{n|}\)) จะช่วยหักการจ่ายซ้ำนั้นออกไป ทำให้เหลือการจ่ายเงินเพียงครั้งเดียวตราบเท่าที่มีใครคนใดคนหนึ่งยังมีชีวิตอยู่

ถ้าตอนแรกดูเหมือนจะยากก็ไม่ต้องกังวลนะ! แค่จำกฎง่ายๆ ไว้ว่า: ชีวิตที่เหลืออยู่คนสุดท้าย = คนที่ 1 + คนที่ 2 - ทั้งคู่ กฎนี้ใช้ได้ทั้งกับการประกันภัย, เงินบำนาญ และความน่าจะเป็น

3. ฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับระยะเวลาคงที่: กรณีพิเศษ

ในหลักสูตรระบุถึงฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับระยะเวลาคงที่เป็นส่วนขยายเพิ่มเติม ซึ่งรูปแบบ "สไตล์ข้อสอบ" ที่พบบ่อยมีอยู่ 2 แบบ คือ เงินบำนาญแบบรับรองการจ่าย (Guaranteed Annuities) และ ผลประโยชน์แบบรอจ่าย (Deferred Benefits) ที่เกี่ยวข้องกับชีวิตสองคน

เงินบำนาญแบบรับรองการจ่ายสำหรับสองชีวิต

สัญญาที่พบบ่อยคือเงินบำนาญที่จะจ่ายตาม ระยะเวลาที่มากกว่า ระหว่างระยะเวลาคงที่ \(n\) กับระยะเวลาที่ผู้รอดชีวิตยังมีชีวิตอยู่ มักเขียนแทนด้วย \(\ddot{a}_{\overline{xy}:\overline{n|}}\) แต่ในบริบทที่ต่างออกไป: สถานะนี้จะคงอยู่ตลอดระยะเวลา \(n\) ปีอย่างแน่นอน และจะบวกเวลาเพิ่มตราบเท่าที่ \(x\) หรือ \(y\) ยังมีชีวิตอยู่

ตรรกะทีละขั้นตอนสำหรับ \(\ddot{a}_{\overline{xy}}\) ที่มีการรับรองการจ่าย \(n\) ปี:
1. วัดมูลค่าส่วนที่จ่ายแน่นอน: \(\ddot{a}_{\overline{n|}}\) (นี่คือเงินบำนาญแน่นอนทางการเงินทั่วไป)
2. บวกส่วนที่ "ขึ้นอยู่กับเหตุการณ์" (Contingent): คือการจ่ายเงินที่เกิดขึ้น หลังจาก \(n\) ปี หากยังมีใครบางคนมีชีวิตอยู่
3. เขียนเป็นสูตรได้ว่า: \(\ddot{a}_{\overline{n|}} + v^n \cdot {}_n p_{\overline{xy}} \cdot \ddot{a}_{\overline{x+n:y+n}}\)
(หรือแบบง่ายๆ: \(\ddot{a}_{\overline{n|}} + {}_n|\ddot{a}_{\overline{xy}}\))

เงินบำนาญชีวิตร่วมแบบรอจ่าย (Deferred Joint Life Benefits)

เงินบำนาญรอจ่าย \({}_n|\ddot{a}_{xy}\) หมายถึง: "ให้รอไปก่อน \(n\) ปี ถ้าตอนนั้น ทั้งคู่ ยังมีชีวิตอยู่ จึงจะเริ่มจ่ายเงินบำนาญชีวิตร่วม"

สูตรคำนวณ:
\({}_n|\ddot{a}_{xy} = v^n \cdot {}_n p_{xy} \cdot \ddot{a}_{x+n:y+n}\)

ข้อควรระวังที่มักจะพลาด:
ระวังเรื่องความน่าจะเป็นให้ดี! สำหรับเงินบำนาญ ชีวิตร่วม แบบรอจ่าย ทั้งคู่ ต้องรอดชีวิตผ่านช่วงเวลารอไปให้ได้ แต่สำหรับเงินบำนาญ ชีวิตที่เหลืออยู่คนสุดท้าย แบบรอจ่าย ขอเพียงแค่ คนเดียว รอดชีวิตก็พอแล้ว

4. สรุปสูตรสำคัญ

นี่คือ สรุปสั้นๆ เพื่อทบทวนความสัมพันธ์ที่สำคัญที่สุดในบทนี้:

1. ความสัมพันธ์ของความน่าจะเป็น:
\({}_t p_{\overline{xy}:\overline{n|}}\) จะเท่ากับ 1 ถ้า \(t \le n\) และยังมีใครคนใดคนหนึ่งมีชีวิตอยู่ โดยปกติเราจะดูการรอดชีวิตของสถานะ ความน่าจะเป็นที่ สถานะร่วม \(xy:\overline{n|}\) จะยังมีสถานะอยู่ ณ เวลา \(t\) คือ:
• \({}_t p_{xy}\) ถ้า \(t < n\)
• \(0\) ถ้า \(t \ge n\)

2. ความสัมพันธ์ของเงินบำนาญ:
\(\ddot{a}_{xy:\overline{n|}} = \ddot{a}_{xy} - {}_n|\ddot{a}_{xy}\)
(เงินบำนาญแบบชั่วคราว คือ เงินบำนาญตลอดชีพ ลบด้วยส่วนที่รอจ่ายที่เราไม่ต้องการออกไปนั่นเอง)

3. กฎ "Z" สำหรับชีวิตที่เหลืออยู่คนสุดท้าย:
ใช้ \(\text{Last Survivor} = X + Y - \text{Joint}\) เสมอเมื่อมีระยะเวลาคงที่ \(n\) เข้ามาเกี่ยวข้อง เพื่อให้การคำนวณของคุณไม่สับสน

5. เคล็ดลับสำหรับการสอบ

เคล็ดลับที่ 1: อ่านจังหวะเวลาการจ่ายเงินให้ดี!
เงินจะจ่ายเมื่อมีการเสียชีวิต คนแรก หรือ คนที่สอง? มีระยะเวลาคงที่กำหนดไว้หรือไม่? ใช้สัญลักษณ์เป็นตัวช่วยนำทาง หากคุณเห็นเส้นขีดเหนืออายุ (\(\overline{xy}\)) แสดงว่าเป็นชีวิตที่เหลืออยู่คนสุดท้าย หากมีเลข "1" อยู่เหนือสถานะ (เช่น \(A_{xy:\overline{n|}}^1\)) แสดงว่าจะจ่ายก็ต่อเมื่อสถานะเฉพาะนั้น "สิ้นสุด" ลงเป็นลำดับแรก

เคล็ดลับที่ 2: ความเร็วในการใช้ Excel (Paper B)
ในข้อสอบ CM1B คุณมักจะต้องสร้างตารางของ \({}_t p_x\) และ \({}_t p_y\) เพื่อให้ได้ค่าของชีวิตร่วม คุณเพียงแค่สร้างคอลัมน์ใหม่ที่นำสองค่านี้มาคูณกัน: \({}_t p_{xy} = {}_t p_x \cdot {}_t p_y\) และถ้าต้องการแบบชั่วคราว ก็เพียงแค่หยุดผลรวมไว้ที่แถวที่ \(n\)

เคล็ดลับที่ 3: ตรรกะ "อย่างน้อยหนึ่งคน"
ถ้าโจทย์ถามหาความน่าจะเป็นที่ "อย่างน้อยหนึ่งคนจะมีชีวิตอยู่เมื่อสิ้นปีที่ \(n\)" นั่นคือ \({}_n p_{\overline{xy}} = {}_n p_x + {}_n p_y - {}_n p_x \cdot {}_n p_y\) หรือถ้าจะให้ง่ายกว่านั้นคือ: \(1 - (1 - {}_n p_x)(1 - {}_n p_y)\) ซึ่งก็คือ \(1 - (\text{ความน่าจะเป็นที่ทั้งคู่เสียชีวิต})\)

ข้อสรุปสำคัญ: การเพิ่มระยะเวลาคงที่ \(n\) เข้าไปในฟังก์ชันสองชีวิตไม่ได้เปลี่ยนตรรกะพื้นฐานของคณิตศาสตร์ประกันภัยเลย มันเพียงแค่หมายความว่าการหาผลรวม (Sum) หรือการอินทิเกรตของเราจะมีขอบเขตบนเป็น \(n\) แทนที่จะเป็น \(\infty\) เท่านั้นเอง อย่าลืมใช้หลักการรวมเข้า-ตัดออกสำหรับชีวิตที่เหลืออยู่คนสุดท้าย และตรวจสอบเสมอว่าสัญญานั้นเป็นแบบ "ชีวิตร่วม" (จบลงเมื่อคนแรกตาย) หรือ "ชีวิตที่เหลืออยู่คนสุดท้าย" (จบลงเมื่อคนที่สองตาย)