ยินดีต้อนรับสู่แบบจำลองการกำหนดราคาออปชันแบบทวิภาค (Binomial Option-Pricing Model)!

ยินดีต้อนรับเข้าสู่บทเรียนที่นำไปใช้ได้จริงที่สุดบทหนึ่งในวิชา CM2! หากคุณเคยสงสัยว่าเหล่าเทรดเดอร์เขาตั้งราคาออปชันกันอย่างไร คุณมาถูกที่แล้ว แม้ว่าแบบจำลอง Black-Scholes (ซึ่งเราจะได้เจอในบทถัดๆ ไป) จะต้องใช้แคลคูลัสที่ซับซ้อน แต่ Binomial Model นั้นใช้เพียงเลขคณิตพื้นฐานและโครงสร้างแบบ "ต้นไม้" (Tree) เท่านั้น

ลองนึกภาพว่ามันเหมือนหนังสือ "ผจญภัยตามใจคุณ" (Choose Your Own Adventure) ในโลกการเงิน ในทุกๆ ก้าว ราคาหุ้นมีทางไปได้แค่สองทางเท่านั้น คือ ขึ้น (Up) หรือ ลง (Down) เมื่อจบบทนี้ คุณจะสามารถสร้างต้นไม้เหล่านี้และคิดย้อนกลับเพื่อหามูลค่าที่เหมาะสมของออปชันในปัจจุบันได้ ไม่ต้องกังวลหากตอนแรกดูเหมือนมีหลายขั้นตอนนะ—พอคุณมองเห็นรูปแบบของมันแล้ว มันจะกลายเป็นเรื่องที่ทำได้โดยอัตโนมัติเลย!

1. แนวคิดหลัก: แบบจำลองขั้นตอนเดียว (One-Step Model)

ลองนึกภาพหุ้นที่มีมูลค่าปัจจุบันเท่ากับ \( S \) ในช่วงเวลาสั้นๆ (เรียกช่วงเวลานี้ว่า \( \delta t \)) ราคาหุ้นสามารถเปลี่ยนแปลงได้แค่ 2 กรณี:
1. ปรับตัว ขึ้น ไปที่ราคา \( uS \) (โดยที่ \( u > 1 \))
2. ปรับตัว ลง ไปที่ราคา \( dS \) (โดยที่ \( d < 1 \))

คำสำคัญ: ข้อสมมติการไม่มีโอกาสทำกำไรโดยไร้ความเสี่ยง (No-Arbitrage Assumption)
เพื่อให้แบบจำลองนี้ใช้ได้ ปัจจัยการขึ้น (Up) และการลง (Down) ต้องสัมพันธ์กับอัตราดอกเบี้ยปลอดความเสี่ยง \( r \) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง: \( d < e^{r\delta t} < u \)
ทำไมต้องเป็นแบบนี้? เพราะถ้าหุ้นมีโอกาสปรับตัวขึ้นสูงกว่าอัตราดอกเบี้ยเงินฝากธนาคารเสมอ ใครๆ ก็จะกู้เงินมาซื้อหุ้น (เหมือนได้เงินฟรี) และถ้าหุ้นมีโอกาสปรับตัวขึ้นต่ำกว่าอัตราดอกเบี้ยเสมอ ก็จะไม่มีใครซื้อหุ้นนั้นเลย

กล่องทบทวนด่วน
S = ราคาหุ้นปัจจุบัน
u = ปัจจัยการปรับตัวขึ้น (เช่น 1.10 หมายถึงเพิ่มขึ้น 10%)
d = ปัจจัยการปรับตัวลง (เช่น 0.90 หมายถึงลดลง 10%)
r = อัตราดอกเบี้ยปลอดความเสี่ยง (แบบทบต้นต่อเนื่อง)

2. การกำหนดราคาแบบความเสี่ยงเป็นกลาง (Risk-Neutral Pricing): "เคล็ดลับสำคัญ"

นี่คือส่วนที่นักเรียนหลายคนมักจะงง แต่จริงๆ แล้วมันเป็นทางลัดที่อัจฉริยะมาก ในโลกความเป็นจริง นักลงทุนมักจะ "หลีกเลี่ยงความเสี่ยง" (Risk-averse) และต้องการผลตอบแทนที่สูงขึ้นเมื่อต้องเสี่ยง แต่เราสามารถใช้เทคนิคที่เรียกว่า Risk-Neutral Valuation ได้

เราจะสมมติว่านักลงทุนไม่ได้สนใจเรื่องความเสี่ยง ในโลกสมมตินี้ สินทรัพย์ทุกชนิด (รวมถึงหุ้นของเรา) จะสร้างผลตอบแทนเท่ากับอัตราดอกเบี้ยปลอดความเสี่ยง \( r \) โดยเราจะคำนวณความน่าจะเป็นพิเศษที่เรียกว่า ความน่าจะเป็นแบบความเสี่ยงเป็นกลาง (Risk-Neutral Probability - \( q \))

สูตรสำหรับ \( q \) (ความน่าจะเป็นที่จะปรับตัวขึ้น) คือ:
\( q = \frac{e^{r\delta t} - d}{u - d} \)

และความน่าจะเป็นที่จะปรับตัวลง ก็คือ \( 1 - q \) ง่ายๆ แบบนี้เลย!

การเปรียบเทียบ: ลองนึกว่าคุณกำลังวางเดิมพันในเกมหนึ่ง \( q \) ไม่ใช่โอกาสชนะจริงๆ ของทีมนั้น แต่มันคือความน่าจะเป็นที่ "สมดุล" ซึ่งทำให้การเดิมพันยุติธรรม จนทั้งเจ้ามือและนักพนันไม่มีฝ่ายใดได้เปรียบเสียเปรียบเกินควร

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย: อย่าใช้ความน่าจะเป็นใน "โลกความเป็นจริง" (Real-world probability) หากโจทย์ให้มา! ให้คำนวณ \( q \) ด้วยสูตรข้างต้นเสมอเมื่อต้องการหาค่าออปชัน

3. การหามูลค่าออปชัน: การคิดย้อนกลับ (Working Backward)

เมื่อเราได้ค่าความน่าจะเป็นแล้ว เราก็สามารถหามูลค่าของออปชันได้ โดยทำตาม 3 ขั้นตอนนี้:

  1. คำนวณผลตอบแทนที่จุดสิ้นสุด (Payoffs): ถ้าเป็น Call option มูลค่าคือ \( max(S_{final} - K, 0) \) และถ้าเป็น Put option คือ \( max(K - S_{final}, 0) \)
  2. หาค่าคาดหมาย (Expected Value): นำผลตอบแทนฝั่ง "ขึ้น" คูณด้วย \( q \) และผลตอบแทนฝั่ง "ลง" คูณด้วย \( (1-q) \)
  3. คิดลดมูลค่ากลับมา (Discount): เนื่องจากเรากำลังถอยหลังกลับไปตามเวลา เราจึงต้องคิดลดกลับมาที่อัตราดอกเบี้ยปลอดความเสี่ยง

สูตรสำหรับมูลค่าออปชัน (\( f \)) ในปัจจุบันคือ:
\( f = e^{-r\delta t} [ q f_u + (1-q) f_d ] \)

ใจความสำคัญ

มูลค่าของออปชันก็คือ ค่าคาดหมายของผลตอบแทนในอนาคตที่คิดลดมูลค่าแล้ว ซึ่งคำนวณโดยใช้ความน่าจะเป็นแบบความเสี่ยงเป็นกลางนั่นเอง

4. การขยายไปสู่ต้นไม้หลายขั้นตอน (Multi-Step Trees)

ในชีวิตจริงมีช่วงเวลามากกว่าหนึ่งขั้นตอน ต้นไม้ทวิภาคแบบสองขั้นตอนจะดูเหมือนรูปสี่เหลี่ยมข้าวหลามตัด:
- ขั้นที่ 0: \( S \)
- ขั้นที่ 1: \( uS \) และ \( dS \)
- ขั้นที่ 2: \( uuS \), \( udS \), และ \( ddS \)

หมายเหตุ: ในแบบจำลองส่วนใหญ่ของ CM2 เรามักจะสมมติว่าต้นไม้เป็นแบบ รวมกลับจุดเดิมได้ (Recombining) หมายความว่าการ "ขึ้นแล้วลง" จะนำไปสู่ราคาเดียวกับการ "ลงแล้วขึ้น" (\( udS = duS \)) ซึ่งช่วยไม่ให้ต้นไม้ขยายใหญ่จนเกินไป!

วิธีแก้โจทย์ต้นไม้หลายขั้นตอน:
1. เติมราคาหุ้นให้ครบจากซ้ายไปขวา
2. คำนวณผลตอบแทนของออปชันที่จุดปลายสุด (ขวาสุด)
3. คิดย้อนกลับทีละคอลัมน์โดยใช้สูตรการกำหนดราคาจนไปถึงจุดเริ่มต้น

คุณรู้หรือไม่? ยิ่งคุณเพิ่มจำนวนขั้นตอนมากขึ้นเรื่อยๆ (ทำให้ \( \delta t \) เล็กลงและเล็กลง) แบบจำลอง Binomial นี้จะกลายเป็นแบบจำลอง Black-Scholes! มันคือตรรกะเดียวกัน เพียงแค่เป็นจำนวนขั้นตอนที่ไม่สิ้นสุดเท่านั้น

5. ออปชันแบบอเมริกัน (American) กับ แบบยุโรป (European)

นี่เป็นหัวข้อโปรดของผู้ออกข้อสอบ IFoA เลย!

European Options: ใช้สิทธิได้เฉพาะตอนสิ้นสุดอายุสัญญาเท่านั้น คุณจึงคิดย้อนกลับผ่านต้นไม้ได้ตามปกติ

American Options: สามารถใช้สิทธิได้ ตลอดเวลา
ดังนั้น เมื่อคิดย้อนกลับในแต่ละจุด (Node) คุณต้องตรวจสอบเสมอว่า:
มูลค่าที่จุดนั้น = Max(มูลค่าจากสูตร, มูลค่าหากใช้สิทธิทันที)

หากมูลค่าของการใช้สิทธิทันทีสูงกว่ามูลค่าแบบ "ถือไว้รอดูสถานการณ์ก่อน" ผู้ถือออปชันก็จะใช้สิทธิก่อนกำหนด ซึ่งพบได้บ่อยมากใน American Put options เมื่อราคาหุ้นลดลงอย่างมีนัยสำคัญ

6. เดลต้า (\( \Delta \)): พอร์ตโฟลิโอจำลอง (Replicating Portfolio)

แบบจำลองนี้ไม่ได้มีไว้แค่กำหนดราคา แต่มีไว้เพื่อ ป้องกันความเสี่ยง (Hedging) อีกด้วย เดลต้า (\( \Delta \)) บอกเราว่าต้องซื้อหุ้นอ้างอิงกี่หุ้นเพื่อ "เลียนแบบ" พฤติกรรมของออปชัน

สูตรสำหรับ \( \Delta \):
\( \Delta = \frac{f_u - f_d}{S_u - S_d} \)

ตัวช่วยจำ: เดลต้าก็คือ "ความชัน" (Slope) นั่นเอง คือการเปลี่ยนแปลงของราคาออปชันหารด้วยการเปลี่ยนแปลงของราคาหุ้น
- สำหรับ Call option ค่า \( \Delta \) จะเป็นบวก (0 ถึง 1)
- สำหรับ Put option ค่า \( \Delta \) จะเป็นลบ (-1 ถึง 0)

หากคุณถือหุ้นจำนวน \( \Delta \) และกู้เงินมาจ่ายส่วนต่างของค่าออปชัน คุณจะสร้าง ออปชันสังเคราะห์ (Synthetic Option) ขึ้นมาได้ นี่คือตรรกะเบื้องหลัง "Delta Hedging"

สรุปสิ่งที่ต้องตรวจสอบก่อนสอบ

ก่อนที่คุณจะไปทำโจทย์ฝึกหัด ตรวจสอบให้แน่ใจว่าคุณสามารถ:
1. คำนวณความน่าจะเป็นแบบความเสี่ยงเป็นกลาง \( q \) ได้
2. สร้างต้นไม้ราคาหุ้นแบบ 2 หรือ 3 ขั้นตอนได้
3. คิดย้อนกลับจากผลตอบแทนปลายทางเพื่อหาราคาออปชันปัจจุบันได้
4. ระบุได้ว่าออปชันแบบอเมริกันควรใช้สิทธิก่อนกำหนดหรือไม่
5. คำนวณค่าเดลต้า (\( \Delta \)) ณ จุดใดๆ ในต้นไม้ได้

ไม่ต้องกังวลถ้าตอนแรกจะรู้สึกยาก! ลองวาดต้นไม้ลงบนกระดาษสำหรับตัวอย่างง่ายๆ 2 ขั้นตอนดูนะ เมื่อเห็นตัวเลขไหลย้อนกลับไปมา ตรรกะมันจะคลิกเข้าที่เอง คุณทำได้แน่นอน!