歡迎來到數據的世界！

你有沒有試過看著一大堆數字，感到頭暈腦脹？別擔心，你並不孤單！在這個章節——數據的表示中，我們將學習如何將那些凌亂的數字列表，轉化為精美而清晰的圖表。這些圖表可以幫助我們發現規律、做出決策，並用事實說故事。無論是查看考試成績還是留意天氣預報，數據表示在生活中無處不在！

1. 幹葉圖 (Stem-and-Leaf Diagrams)

想像你有一份測驗分數列表：\( 52, 55, 61, 63, 63, 70, 78 \)。幹葉圖是一種聰明的整理方式，讓你既能看到每個原始數值，又能一眼看出整組數據的「形狀」。

運作原理：

我們將每個數字分為兩部分：幹（十位數字）和葉（個位數字）。

以分數 \( 52 \) 為例：
幹： \( 5 \)
葉： \( 2 \)

重要規則：

  • 附註（Key）： 你必須包含附註。例如：附註：\( 5 | 2 \) 表示 \( 52 \) 分。
  • 次序： 葉必須按升序（由小到大）排列。
  • 對齊： 將數字整齊地排列成行，使其看起來就像橫放的棒形圖！

小貼士： 如果同一個數字出現兩次（例如有兩個學生考獲 \( 63 \) 分），你必須寫下兩次葉的數字 \( 3 \)。

重點總結： 幹葉圖非常適合處理小型數據集，因為它不會「隱藏」任何原始數字。

2. 組織圖 (Histograms)

組織圖看起來有點像棒形圖，但它用於處理已分組的連續數據（我們測量出來的數據，例如身高、重量或時間）。

主要特徵：

  • 沒有空隙： 與棒形圖不同，組織圖的直條之間是沒有空隙的。這代表數據是連續的。
  • X 軸（橫軸）： 代表組界（測量的數值）。
  • Y 軸（縱軸）： 代表頻數（該組別中有多少項數據）。

例子： 如果我們測量身高在 \( 150 \le h < 160 \) cm 之間的學生，直條會剛好座落在橫軸 \( 150 \) 與 \( 160 \) 的標記之間。

3. 頻數多邊形及頻數曲線 (Frequency Polygons and Curves)

如果你想比組織圖更清晰地觀察數據的「趨勢」或「流動」，我們可以使用頻數多邊形。

如何製作頻數多邊形：

  1. 找出頻數表中每一組的組中點。對於 \( 10 - 20 \) 這一組，組中點是 \( \frac{10+20}{2} = 15 \)。
  2. 在坐標平面上標示點：x 坐標為組中點，y 坐標為頻數。
  3. 用直線連接各點。
  4. 封閉圖形： 為了使其成為「多邊形」，需要將兩端連接到橫軸上，連接點分別是數據前後兩組虛擬「空組別」的組中點。

什麼是頻數曲線？
它與頻數多邊形非常相似，但不是用尺畫直線，而是用手繪平滑曲線穿過各點。當我們處理極大量的數據時，通常會使用這種圖表。

4. 累積頻數：累計總數

累積頻數其實就是「累計總數」的一種專業說法。它告訴我們「有多少項數據小於或等於某個數值」。

累積頻數多邊形及曲線

繪圖時，我們會將累積頻數對應數據組的組上界標示出來。圖形永遠是向上走的（因為累計總數不會減少！），通常看起來像一個拉長了的「S」形。

我們能從曲線中發現什麼？

這是本章最強大的工具！你可以從中找出：

  • 中位數： 中間位置的值。在縱軸找出 \( 50\% \) 的位置，向右畫橫線碰到曲線，再向下對應橫軸的數值。
  • 四分位數：
    - 下四分位數 (\( Q_1 \))： 第 \( 25\% \) 的位置。
    - 上四分位數 (\( Q_3 \))： 第 \( 75\% \) 的位置。
  • 百分位數： 任何你想找的百分比！例如，第 \( 90 \) 百分位數是指有 \( 90\% \) 的數據低於該數值。

如果起初覺得有點難，別擔心！ 記住：縱軸 = 百分比/排名，橫軸 = 實際測量數值。

5. 選擇合適的圖表

並非每種圖表都適合所有情況。以下是簡單指南：

  • 棒形圖： 最適合比較不同的類別（例如：最受歡迎的水果）。
  • 圓形圖： 最適合顯示部分與整體的比例（例如：你如何分配一天的 24 小時）。
  • 折線圖： 最適合顯示事物隨時間的變化（例如：股價或一天內的氣溫變化）。
  • 組織圖： 最適合顯示已分組測量數據的分佈情況。

你知道嗎？ 有時你會看到複合圖表。例如，一個圖表可能同時用直條顯示降雨量，並用折線顯示氣溫。這能幫我們觀察兩者之間是否有關聯！

6. 統計圖表的應用與誤用

圖表可以用來呈現事實，但有時也會被用來「撒謊」或誤導大眾！看圖表時，一定要像偵探一樣仔細觀察。

需要留意的常見「陷阱」：

  1. 不完整的軸（摺線軸）： 如果縱軸不是從 \( 0 \) 開始，微小的差異看起來也會變得很巨大！請仔細檢查側邊的數字。
  2. 刻度不均勻： 如果 \( 10, 20, 30 \) 之間的距離大小不一，該圖表便具有誤導性。
  3. 面積與高度的誤導： 在象形圖中，如果繪圖者將圖片的高度增加了一倍，同時也將寬度增加了一倍，那麼圖片的面積就會變成四倍大，令增幅看起來比實際大得多。

重點總結： 在相信圖表的內容之前，務必先檢查其刻度和起點！

快速複習： 使用幹葉圖保留所有原始數據。使用組織圖處理連續分組。使用累積頻數圖找出中位數和四分位數。小心誤導性刻度！