面積與體積：练习题

一個扇形的半徑是 \(6\text{ cm}\)，其圓心角是 \(60^\circ\)。求該扇形的面積，答案須以 \(\pi\) 表示。

如圖所示，一個直立圓錐的底半徑為 \(6\text{ cm}\)，斜高為 \(10\text{ cm}\)。求該圓錐的總表面面積。答案以 \(\pi\) 表示。

一個實心直立圓錐體 L 的高度為 \(12\text{ cm}\)。該圓錐體 L 被一個平行於底面的平面所截，產生了一個較小的實心直立圓錐體 S (作為頂部) 和一個圓錐台 (作為底部)。已知圓錐體 S 與圓錐體 L 相似，且圓錐體 S 的高度為 \(4\text{ cm}\)，底半徑為 \(2\text{ cm}\)。

求底部圓錐台的體積，答案須以 \(\pi\) 表示。

已知一個扇形的圓心角為 \(45^\circ\)，半徑為 \(8\text{ cm}\)。求該扇形的弧長。答案以 \(\pi\) 表示。

下圖顯示由一個長方形和一個半圓組成的圖形。長方形的長為 \(10 \text{ cm}\)，闊為 \(6 \text{ cm}\)。半圓的直徑與長方形的闊度重合。求該圖形的總周界。(取 \(\pi = 3.14\))

一個直立角柱的底是一個直角三角形，其兩條直角邊的長度分別為 \(3\text{ cm}\) 和 \(4\text{ cm}\)。若該角柱的體積為 \(60\text{ cm}^3\)，求該角柱的高度。

下圖顯示一個邊長為 \(10\text{ cm}\) 的正方體容器，內部放置了一個半徑為 \(r\text{ cm}\) 的實心球體。若球體的體積剛好是正方體體積的一半，求 \(r\) 的值。（答案準確至三位有效數字）

一個實心圓柱體的底半徑是 \(3\text{ cm}\)，高是 \(8\text{ cm}\)。另一個實心球體的體積與此圓柱體的體積相等。求該球體的總表面面積，答案以 \(\pi\) 表示。

一個直立圓錐體的底半徑為 \(3\text{ cm}\)，高度為 \(4\text{ cm}\)。

(a) 求該圓錐體的體積，答案須以 \( \pi \) 表示。

(b) 求該圓錐體的斜高。

(c) 求該圓錐體的總表面面積，答案須以 \( \pi \) 表示。

一個底面半徑為 \(6 \text{ cm}\) 的圓柱形容器盛有部分的水。現將一個半徑為 \(3 \text{ cm}\) 的實心金屬球體完全浸入水中。

(a) 求該實心金屬球體的體積，答案以 \(\pi\) 表示。(2 分)

(b) 求容器內水面上升的高度。(2 分)

(c) 若該容器的高度為 \(20 \text{ cm}\)，而原本的水深為 \(19.5 \text{ cm}\)，當球體放入後，水會否溢出？試透過計算解釋你的答案。(1 分)