正態分佈的應用

M1 复习笔记：正态分布的应用

您好！欢迎来到统计学中最实用课题之一的复习笔记：正态分布的应用。

您有没有想过，公司如何知道每种尺码的T恤要生产多少件，或者老师如何判断一份新测验的“好”分数是多少？答案往往藏在正态分布中，它也以“钟形曲线”的别称而闻名。

在本章中，我们将会超越理论层面，学会如何运用正态分布来解决现实世界的问题。我们会学会如何计算概率（例如学生考获90分以上的机会），以及如何寻找特定数据点（例如考入前10%所需的分数）。如果一开始觉得有些困难，请别担心，我们会逐步拆解！

快速回顾：什么是标准化？

在我们深入新问题之前，让我们先回顾最重要的工具：标准化。大多数现实生活中的数据都是正态分布的，但它们都有自己独特的平均值（\(\mu\)）和标准差（\(\sigma\)）。这就好比每个国家都有自己的货币。为了方便比较，我们需要将它们转换成一个共同的标准。

在统计学中，我们的“共同标准”就是标准正态分布，它的平均值永远是0，标准差永远是1。我们将它表示为 \(Z \sim N(0, 1)\)。

将任何值 (\(X\)) 从正态分布 \(N(\mu, \sigma^2)\) 转换为标准值 (\(Z\)) 的公式就是z分数公式：

\(Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\)

其中：

• \(X\) 是特定数据点（例如，学生的身高）。
• \(\mu\) (mu) 是分布的平均值。
• \(\sigma\) (sigma) 是分布的标准差。

常见错误提示！

问题通常会提供方差（\(\sigma^2\)），而不是标准差（\(\sigma\ streak\)）。记住，在使用公式之前，务必先将方差开方！如果 \(X \sim N(100, 25)\)，那么 \(\mu = 100\) 而 \(\sigma = \sqrt{25} = 5\)。

第一部分：从数值寻找概率（“正向问题”）

这是最常见的问题类型。您会获得一个（或多个）\(X\)值，然后需要寻找与之相关的概率。

例题：某学校学生的身高呈正态分布，平均值为165厘米，标准差为5厘米。随机抽取一名学生，其身高矮于172厘米的概率是多少？

寻找概率的步骤指南

让我们一起解决这个问题。过程总是相同的：\(X \rightarrow Z \rightarrow\) 概率。

第一步：识别变量。
我们已知身高的正态分布 \(X\)，所以 \(X \sim N(165, 5^2)\)。
平均值，\(\mu = 165\)
标准差，\(\sigma = 5\)
我们感兴趣的值是 \(X = 172\)。我们想寻找 \(P(X < 172)\)。

第二步：将X值标准化为Z分数。
使用公式：
\(Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{172 - 165}{5} = \frac{7}{5} = 1.4\)
所以，寻找 \(P(X < 172)\) 与寻找 \(P(Z < 1.4)\) 完全相同。

第三步：绘制曲线（非必要但强烈建议！）。
快速绘制一条钟形曲线。中心标记为0。标记Z分数（1.4在0的右边），并划定所需的区域。在这种情况下，需要划定1.4左边的所有区域。这有助于您图像化如何利用平均值（0）来拆分面积！

第四步：使用香港中学文凭考试（HKDSE）标准正态分布表。
在文凭考试中，附表提供的是由平均值到 \(z\) 的面积，即 \(P(0 < Z < z)\)。
由于平均值（0）左侧的总面积是 \(0.5\)，我们将面积拆分：
\(P(Z < 1.4) = 0.5 + P(0 < Z < 1.4)\)
从表格中查得，\(P(0 < Z < 1.4) = 0.4192\)。
因此，\(P(Z < 1.4) = 0.5 + 0.4192 = 0.9192\)。

所以，随机抽取一名学生，其身高矮于172厘米的概率是 0.9192 或 91.92%。

处理不同类型的概率

• 大于 ( > )
例如，寻找 \(P(X > 172)\)
我们知道上半部分（0的右侧）的面积是 \(0.5\)。
因此，\(P(Z > 1.4) = 0.5 - P(0 < Z < 1.4) = 0.5 - 0.4192 = 0.0808\)。
或者，\(P(X > 172) = 1 - P(X < 172) = 1 - 0.9192 = 0.0808\)。

• 介乎两值之间 ( < X < )
例如，寻找学生身高介乎160厘米和172厘米之间的概率，即 \(P(160 < X < 172)\)。
首先，将两个X值都转换为Z分数：
\(Z_1 = \frac{160 - 165}{5} = -1.0\)
\(Z_2 = \frac{172 - 165}{5} = 1.4\)
所以我们需要寻找 \(P(-1.0 < Z < 1.4)\)。
透过在平均值 \(Z = 0\) 处拆分，并利用对称性 \(P(-1.0 < Z < 0) = P(0 < Z < 1.0)\)：
\(P(-1.0 < Z < 1.4) = P(0 < Z < 1.0) + P(0 < Z < 1.4)\)
使用表格：
\(P(-1.0 < Z < 1.4) = 0.3413 + 0.4192 = 0.7605\)

第一部分重点总结

要寻找概率，务必先将X值转换为Z分数。然后透过相对于中心（0）拆分面积来使用文凭考试标准正态分布表，其中曲线的每一半面积均为 \(0.5\)。

第二部分：从概率寻找数值（“逆向问题”）

现在我们把问题反过来。您会获得一个概率（曲线下的面积），然后需要寻找与之对应的特定X值。

例题：一次测验的成绩呈正态分布，平均值为70，方差为64。要获得“A”级成绩，学生必须考获前10%。获得“A”级成绩所需的最低分数是多少？

寻找数值的步骤指南

这次，过程是：概率 \(\rightarrow Z \rightarrow X\)。

第一步：识别变量和所需面积。
成绩 \(X\) 的分布为 \(X \sim N(70, 64)\)。
平均值，\(\mu = 70\)
方差，\(\sigma^2 = 64 \implies\) 标准差，\(\sigma = \sqrt{64} = 8\)。（请勿忘记这一步骤！）
我们正在寻找分数 \(x\)，使得考获高于它的概率是10%（即0.10）。
所以，我们需要寻找 \(x\)，其中 \(P(X > x) = 0.10\)。

第二步：绘制曲线并寻找由平均值到 \(z\) 的面积。
绘制钟形曲线。“前10%”是极右端尾部（其中 \(z > 0\)）一块面积为 \(0.10\) 的区域。
由于平均值（0）右侧的总面积是 \(0.50\)，因此0与 \(z\) 之间的面积为：
\(P(0 < Z < z) = 0.50 - 0.10 = 0.4000\)。

第三步：反向使用香港中学文凭考试标准正态分布表。
在表格内部查找最接近 \(0.4000\) 的概率值。您会找到 \(P(0 < Z < 1.28) = 0.3997\) 和 \(P(0 < Z < 1.29) = 0.4015\)。\(0.3997\) 最接近 \(0.4000\)。
所以，相应的Z分数是 \(Z \approx 1.28\)。

第四步：将Z分数还原以寻找X值。
重新排列Z分数公式以解出 \(X\)：\(X = \mu + Z\sigma\)
现在，代入数值：
\(X = 70 + (1.28)(8) = 70 + 10.24 = 80.24\)

因此，获得“A”级成绩所需的最低分数是 80.24。

第二部分重点总结

要从概率寻找数据值（\(X\)），首先确定平均值与目标点之间的面积 \(P(0 < Z < z)\)。在表格中查阅此面积以取得Z分数（记住，若 \(z\) 位于平均值以下，须加上负号），然后利用 \(X = \mu + Z\sigma\) 计算出最终答案。

第三部分：综合应用——文字题

这就是您展现实力的时候了！现实世界的问题不会直接说“寻找 \(P(X > 50)\)”。您需要阅读题目情境，提取关键信息，然后判断它是“正向”还是“逆向”问题。

解题策略

1. 仔细阅读：情境是什么？（例如，体重、分数、时间）。
2. 提取数值：平均值（\(\mu\)）是什么？方差（\(\sigma^2\)）或标准差（\(\sigma\)）是什么？
3. 确定目标：
• 您是否获提供X值，并被要求寻找概率、百分比或比例？ → 这是正向问题（\(X \rightarrow Z \rightarrow P\)）。
• 您是否获提供概率、百分比（如“前5%”）或比例，并被要求寻找特定数值、分数或量度？ → 这是逆向问题（\(P \rightarrow Z \rightarrow X\)）。
4. 执行计划：按照第一部分或第二部分的步骤进行。
5. 回答问题：撰写一个在问题情境中有意义的总结句。例如：“因此，最低体重是10.5公斤。”

您知道吗？

正态分布有时也被称为高斯分布，以著名数学家卡尔·弗里德里希·高斯的名字命名，他曾广泛使用它。然而，它最初是由亚伯拉罕·棣莫弗发现，作为二项分布的近似值。这说明即使在数学中，伟大的思想往往也是建立于前人的努力之上！

继续练习和绘制曲线，您就能成为解决这些问题的高手。祝您好运！