定積分法的應用：练习题

求由曲線 \( y = e^x \)、\( x \) 軸及直線 \( x = 0 \) 與 \( x = 1 \) 所圍成的平面區域的面積。

求由曲線 \(y = 2x\)、\(x\) 軸及直線 \(x = 1\) 與 \(x = 3\) 所圍成的平面區域的面積。

求由曲線 \(y = e^x\)，x 軸，直線 \(x = 0\) 及直線 \(x = 2\) 所圍成的區域的面積。

圖中，曲線 \(y = e^{-x} + 1\)、\(x\) 軸、\(y\) 軸與直線 \(x = -2\) 圍成的陰影區域繞 \(x\) 軸旋轉。求所得的旋轉體的體積。

求由曲線 \(y = x^2\) 與 \(y = \sqrt{x}\) 所圍成的區域繞 \(x\) 軸旋轉一周所得的旋轉體的體積。

求由曲線 \(y = e^x\)、x 軸及直線 \(x = 0\) 和 \(x = 1\) 所圍成的區域的面積。

考慮由曲線 C: \(y = \ln x\)，x 軸及直線 \(x = e\) 所圍成的區域 R。

(a) 求區域 R 的面積。

(b) 求當區域 R 繞 x 軸旋轉一周所得的旋轉體的體積。