不等式和线性规划：你的终极复习指南

大家好！欢迎来到不等式和线性规划的复习笔记。不要被这个冗长的名字吓倒！这一章的重点，是教你如何运用数学来作出明智的决策。我们会从简单的比较（例如“x 是否大于 5？”）开始，然后学习绘制区域，最后会学会如何找出实际问题的最佳解决方案，例如公司如何赚取最大利润。这绝对是一个非常实用的技能，我们现在就开始吧！


第一部分：一元不等式（数轴上的运算）

预备知识速测：简单线性不等式

还记得这些符号吗？它们是这个课题的核心！

  • > : 大于
  • < : 小于
  • ≥ : 大于或等于
  • ≤ : 小于或等于

最重要的规则是不等式黄金法则：
当你用负数乘或除不等式两边时，你必须将不等号反转。

例子：求解 \(-2x > 6\)
要解出 x，我们将两边除以 -2。由于我们除以负数，所以必须将不等号反转！
\(x < -3\)

8.1：复合线性不等式

这就是我们需要同时处理多于一个不等式的情况。主要有两种：“且” (AND) 和“或” (OR)。

“且”类型（交集）

这表示解必须同时满足所有条件。你可以想象成在数轴上寻找重叠部分。

例子：求解 \(x > 3\) 且 \(x \le 7\)
我们需要找出大于 3 且小于或等于 7 的数字。 在数轴上看，重叠部分就在 3 和 7 之间。
解为 \(3 < x \le 7\)。

“或”类型（并集）

这表示解可以满足其中一个条件（或两者都满足）。你只需要将所有可能的解区域合并起来。

例子：求解 \(x < -1\) 或 \(x \ge 4\)
我们需要找出小于 -1 或大于或等于 4 的数字。由于没有重叠部分，我们只需将两个条件都写出来作为最终答案。
解为 \(x < -1 \text{ 或 } x \ge 4\)。

一个实际应用：三角形不等式

你知道吗？对于任何边长为 a、b、c 的三角形，任意两边之和必须大于第三边。 这为我们提供了三个复合不等式：\(a+b > c\)、\(a+c > b\) 和 \(b+c > a\)。你可以利用这些不等式来找出缺失边长的可行范围！

常犯错误提示：不要将“且”和“或”混淆！像“\(x > 5 \text{ 且 } x < 2\)”这样的解是不可能存在的，因为没有一个数字可以同时大于 5 又小于 2。重叠部分是空的！

8.2 和 8.3：处理二次不等式

现在，让我们看看包含 \(x^2\) 项的不等式，例如 \(x^2 - 5x + 4 > 0\)。不用担心，这里有一个清晰的解题步骤。关键是首先找出表达式等于零的位置。

快速重温：二次函数图像（抛物线）

\(y = ax^2 + bx + c\) 的图像是一条抛物线。

  • 求解 \(ax^2 + bx + c > 0\) 等于问：“抛物线在 x 轴上方哪里？”
  • 求解 \(ax^2 + bx + c < 0\) 等于问：“抛物线在 x 轴下方哪里？”
方法一：图像法（学习目标 8.2）

这个方法非常适合视觉型学习者。

例子：求解 \(x^2 - x - 6 > 0\)

  1. 找出根：首先，解方程 \(x^2 - x - 6 = 0\)。
    \((x-3)(x+2) = 0\)
    所以，根是 \(x = 3\) 和 \(x = -2\)。这些是 x 轴截距。
  2. 绘制草图：由于 \(x^2\) 的系数是正数（它是 1），所以抛物线向上开口。绘制一条在 -2 和 3 穿过 x 轴的 U 形曲线。
  3. 找出解：题目要求 \(x^2 - x - 6 > 0\)，即是“图像在 x 轴上方哪里？”。根据你的草图，当 x 位于 -2 的左方或 3 的右方时，图像位于 x 轴上方。
  4. 写出答案：\(x < -2 \text{ 或 } x > 3\)
方法二：代数法（学习目标 8.3）

这个方法利用数轴，非常可靠。

例子：再次求解 \(x^2 - x - 6 > 0\)。

  1. 找出临界值：这些就是我们之前找到的根。将 \(x^2 - x - 6 = 0\) 设为零，得到 \(x = 3\) 和 \(x = -2\)。
  2. 划分数轴：利用这些临界值将数轴分成三个区域：\(x < -2\)、\(-2 < x < 3\) 和 \(x > 3\)。
  3. 测试每个区域：从每个区域中选取一个简单的测试数字，并将其代入原不等式（\(x^2 - x - 6 > 0\)），看看它是真还是假。
    • 区域一：\(x < -2\)。让我们测试 \(x=-3\)。
      \((-3)^2 - (-3) - 6 = 9 + 3 - 6 = 6\)。\(6 > 0\) 吗？是（真）。
    • 区域二：\(-2 < x < 3\)。让我们测试 \(x=0\)。
      \((0)^2 - (0) - 6 = -6\)。\(-6 > 0\) 吗？否（假）。
    • 区域三：\(x > 3\)。让我们测试 \(x=4\)。
      \((4)^2 - (4) - 6 = 16 - 4 - 6 = 6\)。\(6 > 0\) 吗？是（真）。
  4. 写出答案：不等式在第一个和第三个区域中为真。因此解为 \(x < -2 \text{ 或 } x > 3\)。
第一部分重点摘要
  • 当用负数乘或除时，永远要反转不等号。
  • “且”代表重叠／交集。“或”代表合并／并集。
  • 对于二次不等式，首先找出根。然后可以绘制草图，或者在数轴上测试区域。

第二部分：进入二维平面与线性规划

8.4：绘制二元线性不等式

现在我们在 x-y 坐标平面上操作。像 \(y = 2x + 1\) 这样的方程是一条直线。而像 \(y > 2x + 1\) 这样不等式则代表了直线一侧的整个区域。

绘制图像逐步指南

例子：以图像方式表示不等式 \(2x + y \le 4\)。

  1. 绘制边界线：首先，将它当作一个方程，绘制直线 \(2x + y = 4\)。一个好方法是找出截距：
    • 当 \(x=0\) 时，\(y=4\)。点是 (0, 4)。
    • 当 \(y=0\) 时，\(2x=4\)，所以 \(x=2\)。点是 (2, 0)。
    标示这些点，然后画线连接它们。
  2. 实线还是虚线？这点很重要！
    • 对于 ≤ 和 ≥，使用实线（因为直线本身包含在解中）。
    • 对于 < 和 >，使用虚线（因为直线是边界，但不属于解的一部分）。
    对于我们的例子 \(2x + y \le 4\)，我们使用实线。
  3. 绘制正确的区域：选择一个不在直线上的简单测试点。点 (0, 0) 通常是最佳选择。
    将 (0, 0) 代入原不等式：\(2(0) + (0) \le 4\)，得到 \(0 \le 4\)。
    这个陈述是真吗？是的！
    记忆小贴士：如果测试点为真，你就要向着该点绘制阴影。如果为假，你则会绘制另一侧的阴影。
    由于 (0, 0) 为真，我们绘制包含原点的区域。

8.5：线性不等式组

这听起来很复杂，但它只是指在同一组坐标轴上绘制多个不等式。解就是所有阴影区域重叠的地方。这个重叠区域有一个特别的名称：可行域。

例子：找出以下不等式组的可行域：

  • \(x \ge 0\)
  • \(y \ge 0\)
  • \(x + y \le 5\)

你会绘制所有三个不等式。

  1. \(x \ge 0\) 是一条在 y 轴上的实垂直线，向右绘制阴影。
  2. \(y \ge 0\) 是一条在 x 轴上的实水平线，向上绘制阴影。
  3. \(x + y \le 5\) 是一条穿过 (5,0) 和 (0,5) 的实线，向原点绘制阴影。

可行域就是由点 (0,0)、(5,0) 和 (0,5) 在第一象限所形成的三角形。

注意：课程大纲要求你在坐标平面上用图像法解这些不等式组。

8.6：解线性规划问题

这是本章的“终极挑战”，也是所有知识汇合的地方。线性规划是一种在给定一系列限制或规则下，找出某事物最大值或最小值的方法。

现实生活比喻：面包师傅

想象你是一个面包师傅，制作蛋糕 (x) 和曲奇 (y)。

  • 约束条件：你的面粉和糖是有限的。这些就是你的不等式（例如：面粉 \(2x + y \le 10\) 公斤）。你也不能制作负数数量的产品，所以 \(x \ge 0, y \ge 0\)。
  • 目标函数：你希望利润最大化。如果每个蛋糕赚 $30 利润，每块曲奇赚 $10 利润，你的目标就是将利润 \(P = 30x + 10y\) 最大化。
最优化方法

在 HKDSE 中，在有界可行域内找出最优解主要有两种方法：

  • 顶点测试法：对于一个有界的凸可行域，最大值或最小值必然会在可行域的其中一个（或多个）顶点（角点）出现。你只需计算目标函数在每个顶点的值并进行比较。
  • 平行线移动法：画出目标函数 \(ax + by = k\) 的初始直线。将直尺平行于该直线在可行域上移动。直尺在离开可行域前最后接触到的点（或边界线段），就会得出最大值（或最小值）。
离散／整数约束条件注意事项

在许多 HKDSE 的生活应用试题中，物品（例如蛋糕、桌子或人数）必须为非负整数（\(x, y \in \mathbb{Z}_{\ge 0}\)）。如果顶点不是整数坐标，你必须测试位于可行域内部或边界上最接近的整数格点。

求解逐步指南
  1. 定义变量：清晰说明 x 和 y 代表什么。（例如：设 x 为蛋糕的数量...）注意 \(x\) 和 \(y\) 是否必须为整数。
  2. 写出约束条件：将问题的限制条件转化为线性不等式组。
  3. 写出目标函数：写出你想最大化或最小化量的方程（例如利润 P 或成本 C）。
  4. 绘制图像并找出可行域：绘制你的约束条件，并将重叠区域画上阴影。
  5. 找出顶点／临界点：通过找出直线的交点，确定你的可行域所有角点的坐标。
  6. 计算目标函数的值：将顶点（或适用的整数点）坐标代入你的目标函数，或使用平行线移动法。
  7. 得出结论：确定哪个点产生最大值或最小值，并用完整句子回答问题。（例如：“当制作 5 个蛋糕和 0 块曲奇时，最大利润是 $150。”）
你知不知道？

线性规划在第二次世界大战期间被开发出来，用来解决物流问题，例如如何最有效地部署军队和物资。今天，它到处都在被使用，从航空公司的班次编排到财务规划和制造业！

第二部分重点摘要
  • 对于二元不等式，绘制边界线（实线／虚线），并测试一个点来找出阴影区域。
  • 可行域是所有不等式解的重叠部分。
  • 在线性规划中，计算目标函数在各顶点的值，或使用平行线移动法。
  • 在实际情境问题中，务必检查变量是否受限为整数。
  • 跟着七个步骤来系统性地解决线性规划问题。

以上就是全部内容了！掌握这些概念的最佳方法就是多练习。多做练习，细心画好你的图像，很快你就能像专业人士一样解决这些问题了。祝你好运！