等差數列與等比數列及其求和法：练习题

已知一個等差數列的首項為 \(a_1 = 4\) 且公差為 \(d = 3\)。求該數列的首 \(10\) 項之和 \(S_{10}\)。

圖中，第 1 個圖案包含 7 粒點子。對任意正整數 \(n\)，第 \((n+1)\) 個圖案是由第 \(n\) 個圖案加上 4 粒點子所組成。求第 8 個圖案的點子數目。

已知一等差數列 \( \{a_n\} \) 的首項為 \( a \) 且公差為 \( d \)，其中 \( a > 0 \) 及 \( d \neq 0 \)。
另有一等比數列 \( \{b_n\} \) 的首項也是 \( a \)，公比為 \( r \)。
若 \( a_1 \)、\( a_2 \) 及 \( a_5 \) 分別等於 \( b_1 \)、\( b_2 \) 及 \( b_3 \)，且滿足 \( \sum_{k=1}^{10} \frac{1}{a_k a_{k+1}} = \frac{10}{21} \)。
求等比數列 \( \{b_n\} \) 的首 5 項之和。

下列何者為等差數列?

I. \(100, 100^2, 100^3\)

II. \(100, 200, 300\)

III. \(100-1, 100-2, 100-3\)

設 \(a_n\) 為某數列的第 \(n\) 項。若 \(a_1=5\), \(a_2=2\) 及對任意正整數 \(n\), \(a_{n+2} = a_n + a_{n+1}\) , 則 \(a_{10} =\)

已知一個等比數列的首項為 \(2\)，且公比為 \(3\)。求該數列的第 \(5\) 項。

已知一個等比數列的第 2 項為 6，第 5 項為 48。
(a) 求該等比數列的首項及公比。
(b) 求該數列前 10 項之和。

已知一等差數列的首項為 \(a\)，公差為非零常數 \(d\)。若該數列的第 \(1\) 項、第 \(3\) 項及第 \(7\) 項按順序成一等比數列，且該等差數列首 \(10\) 項之和為 \(100\)，求 \(d\) 的值。

設 \(\alpha\) 及 \(\beta\) 均為實數使得 \(\begin{cases} 2^{\beta-\alpha} = 64 \\ \log_3 (4\alpha - \beta) = 1 \end{cases}\) 。

(a) 求 \(\alpha\) 及 \(\beta\)。 (2 分)

(b) 某等比數列的第 1 項及第 2 項分別為 \(\log \alpha\) 及 \(\log \beta\)。求 \(n\) 的最小值使得該數列的首 \(n\) 項之和大於 1000。 (4 分)

考慮一個等差數列 \( \{a_n\} \)，其首項及公差分別為 \( a \) 及 \( d \)，其中 \( a > 0 \) 及 \( d \neq 0 \)。另有一等比數列 \( \{g_n\} \)，其首項及公比分別為 \( a \) 及 \( r \)。

(a) 若 \( a_1 \)、\( a_5 \) 及 \( a_{21} \) 依序組成一個等比數列，試以 \( a \) 表示 \( d \)。 (3分)

(b) 承接 (a) 部，若 \( g_2 = a_2 + a_6 \)，求 \( r \) 的值。 (2分)

(c) 設 \( S_n \) 為等比數列 \( \{g_n\} \) 的首 \( n \) 項之和。若 \( a = 4 \)，求最小的整數 \( n \) 使得 \( S_n > 5000 \)。 (3分)

(d) 設某變量 \( V_n \) 隨 \( a_n \) 正變且隨 \( g_n \) 反變。當 \( n=1 \) 時，\( V_n=1 \)。
(i) 試以 \( n \) 表 \( V_n \)。
(ii) 隨着 \( n \) 無限增加，描述 \( V_n \) 的變化。 (4分)

(e) 考慮多項式 \( P(x) = x^3 + Bx^2 + (4B+81)x + (5B+165) \)，其中 \( B \) 為常數。
(i) 證明 \( x-5 \) 是 \( P(x) \) 的一個因式。
(ii) 若方程 \( P(x) = 0 \) 的三根恰好為上述等差數列 \( \{a_n\} \) 的首三項，求 \( B \) 的值。
(iii) 設 \( a=4 \)。若從 \( \{V_1, V_2, V_3, V_4, V_5\} \) 中隨機抽出一個變量，求抽出的變量小於 \( \frac{1}{20} \) 的概率。 (5分)