复习笔记：匀速圆周运动及万有引力
同学们好！欢迎来到物理学中最引人入胜的课题之一。你有没有想过，行星是如何围绕太阳运行、过山车如何完成垂直回环，又或者宇航员为什么会在空间站中漂浮呢？答案就在于理解匀速圆周运动和万有引力。在这些笔记中，我们会把这些 HKDSE 核心概念拆解成清晰、有系统的各个部分。让我们开始吧！
1. 绕圈圈的学问：匀速圆周运动 (UCM)
想象一辆汽车在圆形赛道上以每小时 50 公里的稳定速度（速率）行驶。它正在作圆周运动，而且速率保持不变。这就是匀速圆周运动的精髓。
什么是 UCM？基本概念
匀速圆周运动 (UCM) 指物体以恒定速率沿圆形路径运动。
记住，速度是一个矢量，同时具有大小（速率）和方向。在 UCM 中：
• 速率是恒定的。
• 运动的方向持续改变（在每一点均沿着圆周的切线方向）。
由于方向不断改变，所以速度也在持续改变，这意味着物体一直在加速。
打个比方：想象你在一个环岛以稳定的步速绕圈步行。你的速率保持不变，但你仍不断向内转向以沿着弯道前进。你的速度正在改变，因为你的方向正在改变。角物理量：\(\omega\)、\(T\) 和 \(f\)
为了描述旋转运动，我们定义了以下圆周运动物理量：
• 角位移 (\(\theta\))：半径矢量转过的角度（单位为弧度，rad）。
• 角速度 (\(\omega\))：角位移的变化率：\(\omega = \frac{\Delta \theta}{\Delta t}\)（单位为 rad s⁻¹）。
• 周期 (\(T\))：完成一次完整旋转所需的时间（单位为 s）：\(T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi r}{v}\)。
• 频率 (\(f\))：每秒旋转的次数（单位为 Hz）：\(f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}\)。
线速率 \(v\) 与角速度 \(\omega\) 之间的关系如下：
\(v = \omega r\)
方向的改变者：向心加速度
作 UCM 的物体会受到指向圆心的加速度，称为向心加速度 (\(a\))。
• 方向：永远指向圆周路径的圆心（垂直于线速度）。
• 作用：它负责改变速度的方向，而不是其大小（速率）。
向心加速度可以用线速度或角速度形式表示：
\(a = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r = v\omega\)
“指向圆心”的力：向心力
根据牛顿第二定律 (\(F = ma\))，维持物体作圆周运动所需的净合力称为向心力 (\(F\))：
\(F = \frac{mv^2}{r} = m\omega^2 r\)
重要概念：向心力并不是一种新的基本力。它只是指向圆心的真实净力（或合力分量）。
向心力的常见 HKDSE 应用：
• 水平圆周运动（绳上的球）：张力提供向心力：\(T = \frac{mv^2}{r}\)。
• 汽车在平路转弯：静摩擦力提供向心力：\(f_s = \frac{mv^2}{r}\)。打滑前的最高安全速率为 \(v_{\max} = \sqrt{\mu g r}\)。
• 倾斜路面（与水平面夹角为 \(\theta\)，不计摩擦力）：支持力的水平分量提供向心力：\(N \sin\theta = \frac{mv^2}{r}\) 及 \(N \cos\theta = mg\)，得出 \(\tan\theta = \frac{v^2}{rg}\)。
• 圆锥摆：张力的水平分量提供向心力：\(T \sin\theta = m\omega^2 r\) 及 \(T \cos\theta = mg\)。
• 垂直圆周运动（变速）：在回环最高点，\(T_{\text{top}} + mg = \frac{mv^2}{r}\)；在最低点，\(T_{\text{bottom}} - mg = \frac{mv^2}{r}\)。
常见错误提醒：虚假的“离心力”
在惯性参考系中，离心力并不是作用于物体上的真实力。乘客在转弯时感受到的，其实是自己的惯性——即当车辆把他们推向内侧时，身体倾向保持直线运动的自然倾向。
2. 万物相吸：万有引力
艾萨克·牛顿确立了引力是一种普遍存在的相互作用，能同时解释地球上物体的下坠以及行星的轨道运动。
牛顿万有引力定律
宇宙中的每个质点都以一种力吸引着其他所有质点，该力与它们质量的乘积成正比，并与它们中心之间距离的平方成反比：
\(F = \frac{GMm}{r^2}\)
其中：
• \(F\) 是两个质量之间的万有引力（单位为 N）。
• \(G\) 是万有引力常量（\(G \approx 6.67 \times 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}\)）。
• \(M\) 和 \(m\) 是相互作用物体的质量（单位为 kg）。
• \(r\) 是中心到中心之间的距离（单位为 m）。
常见错误提醒：'r' 是指中心到中心的距离！
对于距离半径为 \(R\) 的行星表面高度为 \(h\) 的物体，总距离为 \(r = R + h\)。切勿在牛顿公式中只代入高度 \(h\)！
引力场强度 (\(g\))
空间中某点的引力场强度 (\(g\)) 定义为放置在该点的微小检验质量每单位质量所受的引力：
\(g = \frac{F}{m} = \frac{GM}{r^2}\)
在地球表面 (\(r = R\))，\(g \approx 9.81 \text{ N kg}^{-1}\)（或 \(9.81 \text{ m s}^{-2}\)）。当远离地球中心时，场强会随着距离的平方反比而减小。
3. 轨道上的卫星与失重状态
围绕行星作稳定圆形轨道运行的卫星，其所需的向心力完全由引力提供。
轨道速率公式
将向心力设为等于万有引力：
\(\frac{mv^2}{r} = \frac{GMm}{r^2}\)
约去卫星的质量 \(m\) 并解出轨道速率 \(v\)：
\(v = \sqrt{\frac{GM}{r}}\)
请注意，轨道速率只取决于中心天体的质量 \(M\) 和轨道半径 \(r\)，与卫星本身的质量 \(m\) 完全无关。
轨道周期与开普勒第三定律
将 \(v = \frac{2\pi r}{T}\) 代入轨道速率方程中：
\(\frac{4\pi^2 r^2}{T^2} = \frac{GM}{r} \implies T^2 = \left(\frac{4\pi^2}{GM}\right) r^3\)
这证明了开普勒第三定律：轨道周期的平方与轨道半径的立方成正比（\(T^2 \propto r^3\)）。
视失重
为什么在轨道航天器内的宇航员会漂浮？他们并非处于零重力状态（在常见的近地轨道高度，\(g\) 仍然约为 \(8.7 \text{ m s}^{-2}\)）。
• 宇航员和航天器都承受着相同朝向地球中心的重力加速度（\(a = g\)）。
• 他们正一起处于持续的自由下坠状态。
• 由于他们之间没有相对加速度，地板或秤施加在宇航员身上的支持力 \(R\) 为零（\(R = 0\)）。这种状态称为视失重。