欢迎来到函数式程序设计的世界！
在你至今接触过的大多数程序设计中，你可能都在使用命令式范式 (Imperative paradigm)——即一步步告诉电脑“如何”去做某事（就像食谱一样）。在本章中，我们将探索函数式程序设计范式 (Functional programming paradigm)。与其编写一连串的指令，我们将程序视为一系列数学转换的过程。
如果起初觉得这听起来有点“数学味”，别担心！我们将透过你已经熟悉的简单概念，例如自动贩卖机和乐高积木，来深入浅出地讲解这些概念。
4.12.1.1 函数类型 (Function Type)
在函数式程序设计中，函数 (Function) 是一条将一组输入映射至一组输出的规则。我们使用以下符号来表示：
\( f: A \rightarrow B \)
这个符号是什么意思？
- \( f \)：这只是函数的名称。
- \( A \)：这是定义域 (Domain)。它是所有可能“输入”值的集合。
- \( B \)：这是对应域 (Co-domain)。它是从中选择“输出”值的集合。
规则：对于定义域中的每一个输入，函数都会在对应域中指派唯一一个输出。但请注意，对应域中的值并不一定全部都要被用到！
例子：想象一个告知你字母在字母表中位置的函数。
定义域：{a, b, c... z}
对应域：{0, 1, 2... 25}
如果你输入 'a'，函数会将其映射到 0。如果你输入 'b'，则映射到 1。
快速回顾：定义域 vs. 对应域
试想一台自动贩卖机：
定义域是你按下的按钮（A1, B2 等）。
对应域是机器里的所有零食。即使机器刚好卖完了薯片，但“薯片”仍然属于对应域，因为它们“可能”作为一种输出。
重点总结：定义域是你的数据来源；对应域则是可能的结果“池”。
4.12.1.2 一等对象 (First-class Objects)
在函数式程序设计中，函数是一等对象 (First-class objects)。这是一个比较正式的说法，意思是函数被视为与其他数据类型（如整数或字符串）完全相同。
如果某物是一等对象，它可以：
- 出现在表达式 (Expressions) 中。
- 被指派给变量 (Assigned to a variable)。
- 作为参数 (Argument) 传递给另一个函数。
- 作为函数调用的结果被返回 (Returned)。
你知道吗？在 Python 或 Haskell 等语言中，你可以直接将变量设为一个函数，例如：my_function = print。现在，my_function("Hello") 的运作方式就和 print 指令完全一样！
重点总结：一等对象是程序语言中的“VIP”公民——它可以出现在任何地方，并像普通数据一样被使用。
4.12.1.3 函数应用 (Function Application)
函数应用就是将输入（参数）提供给函数的过程。
例子：如果你有一个名为 add 的函数，那么 add(3, 4) 就是该函数对参数 3 和 4 的应用。
“单一参数”的秘密
尽管我们可能会说像 add(x, y) 这样的函数接受两个参数，但在函数式程序设计中，技术上将其视为仅接受一个参数：一对数字。
在数学上，我们这样写： \( f: \text{integer} \times \text{integer} \rightarrow \text{integer} \)
符号 \( \times \) 代表笛卡儿积 (Cartesian product)，这只是一种称呼“一对整数”的华丽说法。
重点总结：应用函数意味着用真实数据来“触发”它。
4.12.1.4 偏函数应用 (Partial Function Application)
这部分非常酷！由于函数是一等对象，我们可以只给函数“部分”参数。这会返回一个新的、特化的函数，它在等待剩余的参数。
类比：想象一台咖啡机。
1. 你放入“咖啡胶囊”作为参数。
2. 机器还不会给你饮料；它现在变成了一台特化机器，正在等待“水”这个参数。
3. 一旦你加入水，流程就完成了。
标记法
让我们看看 add 函数：
通常情况： add(x, y)
在偏函数应用中： add: integer \( \rightarrow \) (integer \( \rightarrow \) integer)
如果我们调用 add 4，它会返回一个新的函数，该函数会将你给它的任何数字加上 4。如果你随后给这个新函数一个 6，最终结果就是 10。
避免常见错误：
不要将偏函数应用与普通的函数调用搞混。在普通调用中，你想要一个最终答案（如 10）。在偏函数应用中，你是刻意建立一个新的、更简单的函数以供稍后使用。
重点总结：偏函数应用将一个需要多个参数的函数，转化为一系列每次仅接受一个参数的函数。
4.12.1.5 函数复合 (Composition of Functions)
函数复合 (Functional composition) 是将两个函数结合起来建立一个全新函数的过程。你将第一个函数的输出作为第二个函数的输入。
如果我们有两个函数：
\( f: A \rightarrow B \)
\( g: B \rightarrow C \)
我们可以将它们组合成一个新函数：\( g \circ f \)
重要：在符号 \( g \circ f \) 中，右边的函数（\( f \)）先执行！其结果随后会传递给左边的函数（\( g \)）。
现实生活中的例子：
想象两个函数：
1. f(x)：将数字加 2。
2. g(x)：将数字取立方 (\( x^3 \))。
复合函数 \( g \circ f \) 就是： \( (x + 2)^3 \)。
如果你输入 1：先加 2（结果为 3），然后取立方（最终结果为 27）。
记忆法： “Fog”法则
当你看到 \( g \circ f \) 时，可以把它倒着读，或者将其想成 "g of f"。这就像一条生产线——数据从右边的函数流入左边的函数。
重点总结：复合就像将乐高积木拼在一起。一个“积木”的输出必须完美契合下一个积木的输入，才能构建出更大的东西。
本章总结 - 快速回顾
- 函数类型：由其定义域（输入）和对应域（可能的输出）定义。
- 一等对象：函数可以像任何其他变量一样被处理（传递、返回等）。
- 函数应用：使用带有特定输入的函数。
- 偏函数应用：仅提供部分参数以建立一个新的、特化的函数。
- 复合：将两个函数（\( f \) 和 \( g \)）结合，使前者的输出成为后者的输入（\( g \circ f \)）。