欢迎来到进阶向量（Further Vectors）！
在先前的学习中，你已经知道向量本质上是告诉我们方向与大小的“箭头”。在进阶数学（Further Mathematics）中，我们将运用这些箭头来建构整个世界！我们将学习如何描述漂浮在 3D 空间中的直线与平面。你可以把这想象成 GPS、3D 电子游戏以及建筑设计背后的数学引擎。
如果初次接触觉得有点“烧脑”，请不用担心。在 3D 空间中运作是一种只要多花点时间进行可视化，就会变得愈来愈容易掌握的技能。让我们开始吧！
F1：3D 直线方程
在 2D 空间中，我们使用 \(y = mx + c\)。但在 3D 空间中，我们需要更具灵活性的表达方式。
向量形式
若要定义空间中的一条直线，你只需要两个要素：一个起始点和一个方向。
其向量方程为：\(\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda \mathbf{b}\)
- \(\mathbf{r}\)：直线上任意点的位置向量。
- \(\mathbf{a}\)：直线上已知的点（“锚点”）。
- \(\mathbf{b}\)：方向向量（直线延伸的方向）。
- \(\lambda\)：标量（参数），代表沿着 \(\mathbf{b}\) 方向移动的距离或倍数。
笛卡儿形式（Cartesian Form）
若 \(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\) 且 \(\mathbf{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}\)，我们可以将方程改写为：
\(\frac{x - a_1}{b_1} = \frac{y - a_2}{b_2} = \frac{z - a_3}{b_3}\)
快速复习： 要将向量方程转为笛卡儿形式，只需将每个分量设为 \(\lambda\)，然后重新排列使其成为 \(\lambda\) 的主项即可！
常见错误： 学生经常混淆“点”和“方向”。请时刻问自己：“这是一个直线上的坐标，还是直线行进的方向？”
重点归纳： 一条直线就是一个点加上一段“特定量”的方向。
F2：平面方程
平面是一个平坦且无限延伸的表面。想象一张向四面八方无限延伸的纸张。
标量积（法向量）形式
描述平面最常用的方式是使用法向量 (\(\mathbf{n}\))。法向量是一个与平面上每一条直线都成 90 度（垂直）的向量。
比喻： 想象一个垂直竖立在平坦操场上的旗杆。操场是平面，而旗杆则是法向量。
其方程为：\(\mathbf{r} \cdot \mathbf{n} = d\)
其中 \(d = \mathbf{a} \cdot \mathbf{n}\)（使用平面上的一个已知点 \(\mathbf{a}\)）。
平面的笛卡儿形式
若法向量 \(\mathbf{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\)，其方程简单表示为：
\(ax + by + cz = d\)
你知道吗？ 平面方程中 \(x, y,\) 和 \(z\) 的系数，其实就是该平面法向量的分量！
重点归纳： 要找出平面方程，你的主要目标通常是找出它的法向量。
F3 & F4：标量积、角度与垂直性
标量积（Scalar Product，又称点积 Dot Product）是我们计算角度时最强大的工具。
\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta\)
检查向量是否垂直
若两个向量垂直，它们之间的夹角为 \(90^\circ\)。由于 \(\cos(90^\circ) = 0\)：
两个向量垂直，若且唯若 \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0\)。
计算角度
- 两条直线之间： 使用它们方向向量的点积。
- 两个平面之间： 使用它们法向量的点积。
- 直线与平面之间： 使用直线的方向向量与平面的法向量。关键步骤： 这会得出直线与法线的夹角，因此必须使用 \(\sin\theta\) 而非 \(\cos\theta\)（或者用 \(90 - \theta\)）。
重点归纳： 点积 = 0 意味着向量垂直。这就是著名的“垂直检测”！
F5：向量积（叉积 Cross Product）
向量积（Vector Product，又称叉积）\(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\) 有点特别。不像标量积会得到一个数字，向量积会产生一个新的向量。
向量积的性质
- 所得的结果向量与 \(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{b}\) 同时垂直。
- \(|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta\)。
- 若 \(\mathbf{a} \times \mathbf{b} = 0\)，则这两个向量平行。
三角形面积
你可以使用向量积来计算边长为 \(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{b}\) 的三角形面积：
\(面积 = \frac{1}{2} |\mathbf{a} \times \mathbf{b}|\)
直线方程的另一种写法
直线也可以写成 \((\mathbf{r} - \mathbf{a}) \times \mathbf{b} = 0\)。这字面上的意思是：“从点 \(\mathbf{a}\) 指向直线上任意点 \(\mathbf{r}\) 的向量，与方向向量 \(\mathbf{b}\) 平行。”
记忆小撇步： Dot product（点积）涉及 Cosine（余弦，D-C）；Cross product（叉积）涉及 Sine（正弦，C-S）。
F6：交点与距离
这是我们解决“碰撞”问题的地方。
两条直线的交点
1. 使用不同的参数（例如 \(\lambda\) 和 \(\mu\)）写出两条直线的方程。
2. 将 \(x, y,\) 和 \(z\) 分量分别设为相等。
3. 解出 \(\lambda\) 和 \(\mu\)。
4. 检查： 若数值对三个分量都成立，则它们相交。否则，这两条直线是歪斜线（skew）（它们在 3D 空间中互不相交且不平行）。
点到平面的垂直距离
若有一个点 \((x_1, y_1, z_1)\) 和一个平面 \(ax + by + cz = d\)，最短距离为：
\(距离 = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\)
两条歪斜线之间的最短距离
对于歪斜线，最短距离是沿着一条同时与两者都垂直的直线测量的。我们使用这两条直线的方向向量的向量积来找出这个方向。
鼓励一下： 计算歪斜线之间的最短距离是本章最困难的部分之一。请一步步来：先找出公共的垂直向量，然后进行投影！
章节总结
- 直线： \(\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda \mathbf{b}\)（点 + 方向）。
- 平面： \(\mathbf{r} \cdot \mathbf{n} = d\)（专注于法向量）。
- 标量积： 用于计算角度与垂直性检测（\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0\)）。
- 向量积： 产生一个垂直向量；用于计算面积与平行检测。
- 交点： 透过联立方程求解；记住 3D 空间中的直线经常互不相交（歪斜）。