欢迎来到二进制算术的世界！
你有没有想过，当电脑在游戏中计算你的分数或解决数学题时，它是如何“思考”的呢？由于电脑是由无数个只能处于开启 (1) 或关闭 (0) 状态的微小开关所组成的，因此它们只能用这两个数字来进行所有运算。这就是所谓的二进制算术 (Binary Arithmetic)。
在本指南中，我们将学习如何像电脑一样进行二进制加法，以及如何使用“位移 (binary shifts)”来以闪电般的速度进行乘法和除法。如果一开始觉得困难也不用担心——只要学会这四条简单的加法规则，你也能成为人脑计算机！
第一部分：二进制加法
二进制加法与你在小学学过的加法非常相似。你需要将数字按位对齐，并从右到左进行计算。唯一的区别是你不能出现“2”或“3”——你必须将多出的值“进位 (carry)”到下一栏。
四大黄金法则
当你对两个二进制位进行加法时，只有四种可能的结果：
1. \( 0 + 0 = 0 \)
2. \( 0 + 1 = 1 \)
3. \( 1 + 0 = 1 \)
4. \( 1 + 1 = 10 \)（在本栏写 0，并向左边下一栏进位 1）。
三个数字相加（进阶级）
根据 AQA 教学大纲，你可能需要一次相加多达三个二进制数字。这意味着你可能会遇到同一栏中有三个 1 的情况！
• 如果该栏加起来等于 3（三个 1），规则是：写下 1 并向下一栏进位 1。这是因为十进制的 3 在二进制中是 11。
速查小盒子：
• 总和为 0：写 0，进位 0
• 总和为 1：写 1，进位 0
• 总和为 2：写 0，进位 1
• 总和为 3：写 1，进位 1
逐步示例
让我们来相加 0110 (6) 和 0111 (7)：
步骤 1（右栏）： \( 0 + 1 = 1 \)。写下 1。
步骤 2（下一栏）： \( 1 + 1 = 10 \)。写下 0，进位 1。
步骤 3（下一栏）： \( 1 + 1 + \)（进位的 1） \( = 11 \)。写下 1，进位 1。
步骤 4（左栏）： \( 0 + 0 + \)（进位的 1） \( = 1 \)。写下 1。
最终答案： 1101（即十进制的 13！）
常见错误：忘记加上“进位”的数字。请务必在下一栏的顶部清楚写下你的进位数字，以免漏掉！
重点总结：二进制加法其实就是“数一数”该栏有多少个 1。如果有两个 1，就要进位；如果有三个 1，就是写 1 并进位 1。
第二部分：二进制位移 (Binary Shifts)
二进制移位是一种聪明的技巧，用来将数字乘以或除以 2 的幂次（2, 4, 8, 16 等）。对于电脑来说，将位元向左或向右“移位”比进行长乘法运算要快得多。
左移：乘法
当执行左移 (left shift) 时，二进制数中的每一位都会向左移动。每移动一位，该数字就会翻倍。
• 左移 1 位：乘以 \( 2^1 \)（乘以 2）
• 左移 2 位：乘以 \( 2^2 \)（乘以 4）
• 左移 3 位：乘以 \( 2^3 \)（乘以 8）
示例：以二进制数 0000 0101（即 5）为例。
向左移 2 位：“101”向左移动两个位置，并在右边留下的空位补 0。
结果：0001 0100（即 20！注意 \( 5 \times 4 = 20 \)）。
右移：除法
右移 (right shift) 会将每一位向右移动。每移动一位，该数字就会除以 2。
• 右移 1 位：除以 2
• 右移 2 位：除以 4
示例：以 0000 1000（即 8）为例。
向右移 1 位：将所有位元向右移动一位。
结果：0000 0100（即 4！注意 \( 8 \div 2 = 4 \)）。
你知道吗？二进制移位是“逻辑移位 (Logical Shifts)”。这意味着当位元移出 8 位元的界限时，它们就会直接消失！此外，产生的空位总是会填入 0。
第三部分：移位的实际应用
为什么我们不直接进行普通算术而要用移位？在计算机科学中，效率就是一切。
1. 速度：移位是 CPU 能执行的最快操作之一。如果程序员需要乘以 8，他们会告诉电脑“左移 3 位”，因为这比“乘以 8”更快。
2. 图形处理：当电脑计算颜色或移动屏幕上的像素时，它们使用二进制移位来每秒处理数百万次计算。
鼓励一下：如果移位让你感到困惑，试着把它想象成将十进制数字乘以 10。你只需要把数字向左移，然后补一个 0。二进制移位完全一样，只是基数换成了 2！
重点总结：左移 = 变大（乘法）。右移 = 变小（除法）。每一次跳跃都是 2 的幂次。
复习速查表
二进制加法规则：
• \( 0+0 = 0 \)
• \( 1+0 = 1 \)
• \( 1+1 = 0 \) 进位 1
• \( 1+1+1 = 1 \) 进位 1
二进制移位规则：
• 左移 \( n \) 位：乘以 \( 2^n \)
• 右移 \( n \) 位：除以 \( 2^n \)
• 8 位元限制：在考试中，你通常处理的是 8 位元。如果 1 被移出了边界，它就会丢失。
最后小贴士：务必将你的二进制答案转回十进制来检查你的计算结果。如果你的十进制加法结果与二进制加法相符，那就代表你做对了！