欢迎来到二进制算术！
你有没有想过电脑在进行数学运算时，实际上是怎样「思考」的？由于电脑是由只能处于 开启 (ON, 1) 或 关闭 (OFF, 0) 状态的小型开关组成的，因此它们不能像我们一样使用 0-9 的数字。取而代之的是，它们使用二进制算术 (binary arithmetic)。
在本章中，我们将学习电脑处理数字的两种主要方式：将它们相加，以及通过位移 (shifting) 来进行乘法或除法。如果一开始觉得有点奇怪也不用担心——只要学会了四个简单的加法规则，你很快就会成为二进制专家！
1. 二进制加法
二进制加法的运作方式与你在小学学过的「竖式加法」完全相同，但实际上更简单，因为需要记住的数字更少。在我们的十进制系统（基数 10）中，当数字达到十时就需要进位。而在二进制（基数 2）中，当数字达到二时，我们就需要进位！
四大黄金规则
要计算任何二进制加法，你只需要记住这四个结果：
1. \(0 + 0 = 0\)
2. \(0 + 1 = 1\)
3. \(1 + 1 = 0\) （进位 1 到下一位）
4. \(1 + 1 + 1 = 1\) （进位 1 到下一位）
逐步教学：两个数字相加
让我们将 \(00101011\) (43) 和 \(00010110\) (22) 相加。
步骤 1： 从最右侧（最低有效位，Least Significant Bit）开始。
步骤 2： 逐位应用规则。
步骤 3： 如果遇到 1 加 1，写下 0 并将 1「进位」到左边的邻位。
快速复习： 我们为什么要进位？就像在 \(7 + 5 = 12\) 中，你写下 2 并进位 1。在二进制中，\(1 + 1\) 等于「二」，写作 \(10\)。因此，我们写下 \(0\) 并进位 \(1\)。
三个数字相加
课程大纲指出你可能需要同时相加多达三个二进制数字。规则是一样的！
例子： 如果某一列有三个 1 (\(1 + 1 + 1\))，总和就是「三」。在二进制中，三写作 \(11\)。
所以，你需要写下 1 并进位 1。
常见错误：溢出 (Overflow)
在考试中，答案的长度最多为 8 位 (8 bits)。你不需要将数字进位到第 9 位。如果你发现 8 位加法运算最后多出了一个「进位」，请务必检查你的计算！
重点总结： 二进制加法就是带进位的竖式加法。记住 \(1+1\) 是 \(0\) 进位 \(1\)，而 \(1+1+1\) 是 \(1\) 进位 \(1\)。
2. 二进制位移
二进制位移 (binary shifts) 是电脑进行乘法和除法的一种超快速方法。电脑不需要进行复杂的数学运算，只需将位向左或向右滑动即可。
逻辑左移 (乘法)
当你将位向左移动时，数值会变大。
- 向左移 1 位，数值乘以 \(2\)。
- 向左移 2 位，数值乘以 \(4\) (\(2 \times 2\))。
- 向左移 3 位，数值乘以 \(8\) (\(2 \times 2 \times 2\))。
操作方法：
1. 将每个位向左移动指定的位数。
2. 在右侧的空位补上 0。
3. 任何从左侧「掉出」的位会直接被舍弃。
逻辑右移 (除法)
当你将位向右移动时，数值会变小。
- 向右移 1 位，数值除以 \(2\)。
- 向右移 2 位，数值除以 \(4\)。
操作方法：
1. 将每个位向右移动。
2. 在左侧的空位补上 0。
3. 任何从右侧「掉出」的位就永远消失了！
现实生活中的类比
想象数字 \(500\)。如果你将所有位数向左移动一位并补上一个 \(0\)，它就变成了 \(5000\)（乘以 10）。二进制位移的做法完全相同，但因为基数是 2，所以它是乘以或除以 2 的幂次方 (powers of 2)。
你知道吗？ 对电脑处理器来说，位移比实际的乘法运算「便宜」得多。只需滑动位就能节省更多的能量和时间！
2 的幂次方速查表
如果考试要求你使用位移进行乘法或除法，请使用此清单：
- \(2^1 = 2\)（左/右移 1 位）
- \(2^2 = 4\)（左/右移 2 位）
- \(2^3 = 8\)（左/右移 3 位）
- \(2^4 = 16\)（左/右移 4 位）
重点总结： 左移 = 乘法。右移 = 除法。记得将新的空位补上 0。
总结清单
在继续学习之前，请确保你能：
- 将两个 8 位二进制数相加。
- 将三个 8 位二进制数相加。
- 使用左移将数字乘以 2、4 或 8。
- 使用右移将数字除以 2、4 或 8。
- 解释位移是如何用于 2 的幂次方的简单乘除法。
考试小撇步： 检查二进制加法时，可以先将数字转换为十进制进行正常加法，看看你的二进制答案是否匹配！